2024-2025学年河南省南阳市高三上册第二次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市高三上册第二次月考数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．集合，若．则实数a的范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
2．已知、为非零向量，未知数，则“函数为一次函数”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为（ ）
A．2 020B．2 019C．1D．－1
4．已知向量满足，，若，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．或D．或
5．设函数是定义在0,+∞上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．数列an满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数列满足且的前项和为，则（ ）
A．是等差数列B．为周期数列
C．成等差数列D．成等比数列
10．已知 的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．在中，若，则
B．若在线段上，且，，，，则的面积为8
C．若，则是等腰三角形
D．若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为
11．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减
B．当和时，函数分别取得极大值点、极小值点
C．无最大值，有最小值
D．当时，有三个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 .
13．已知向量，，，满足，，，，则在方向上的投影向量为 .
14．已知不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列an的前项和为，其中，且.
(1)求an的通项公式.
(2)设，求bn的前项和.
16．如图，在凸四边形中，已知．
(1)若，，求的值；
(2)若，四边形的面积为4，求的值．
17．已知函数.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）当时，判断的零点个数并说明理由；
（3）若恒成立，求的取值范围.
18．已知函数，为的导函数．
（1）设，求的单调区间；
（2）若，证明：．
19．我们规定：若数列为递增数列且也为递增数列，则为“—数列”.
(1)已知：，，，数列，，中其中只有一个—数列，它是：__________（不需说明理由）；并从另外两个数列中任选一个证明其不是一数列；
(2)已知数列满足：，，为的前项和，试求的通项并判断数列是否为—数列并证之；
(3)已知数列、均为—数列，且，，求证：数列也为—数列.
答案
1．【正确答案】A
【详解】因为，则，
当时，不成立，所以，所以满足，
当时，因为，所以，
又因为，所以，所以，
当时，因为，所以，
又因为，所以，所以，
综上可知.
故选：A.
2．【正确答案】A
【详解】
，
若，则，
如果同时有，则函数恒为0，
不是一次函数，故是不必要条件；
如果是一次函数，则，
故，故是充分条件.
故选：A．
3．【正确答案】D
【分析】
对曲线求导，求出导函数，再把点代入导函数中，求出，再利用对数的运算性质化简，即可求出答案.
【详解】
因为，所以切线方程是，所以，
所以
故选：D.
4．【正确答案】B
【分析】利用，结合数量积的运算律可解方程求得，结合可确定，由此可得结果.
【详解】由得：，
即，
，解得：或；
，，，
又，.
故选：B.
5．【正确答案】A
【详解】由条件，∴在0,+∞上单调递减，
所求不等式可化为，故，∴.
故选：A．
6．【正确答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以，
故，，，
又
因为，，，
由基本不等式就可得，
当且仅当，时等号成立，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
7．【正确答案】A
【详解】由题意可得：，
因为在区间上单调递增，
因为，，
所以，解得：，
又在区间上有且仅有1个零点，
所以，，
结合，所以，
所以这个零点可能为或或，
当时，，，
解得：，
当时，，，
解得：，
当时，无解，
综上：的取值范围为.
故选：A.
8．【正确答案】C
【详解】数列满足①，
当时，，即，
当时，②，
由②①得，
数列的所有奇数项，，
数列的所有偶数项，，
综上，数列的通项公式为.
记，
所以数列的前项和为：
，
由得，即，
因为，随着的增大而增大，
故当时，刚好满足，
所以，的最小值为.
故选：C.
9．【正确答案】AB
【分析】根据已知可得、为奇数时，为偶数时，结合等差、等比数列定义判断各项的正误.
【详解】由且则且，故，
所以在上成立，A对；
综上，为奇数时，为偶数时，B对；
为奇数，为偶数，
不成等差数列，C错；
不成等比数列，D错.
故选：AB
10．【正确答案】ABD
【详解】对于A，，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由在线段上，且，，，，
则，设，，
在中，利用余弦定理，
整理得，解得或（舍去），
所以，，
在中，可得，则，
所以的面积为，故B正确；
对于C，由，
可得，
整理得，
由正弦定理得，可得，
因为，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，在中，因为，，
则点在以为弦的一个圆上，
由正弦定理可得外接圆的直径为，即，
当点在外部时，如图所示，
因为，可得，所以，
所以的长度为，
同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，
所以动点的轨迹的长度为，故D正确．
故选：ABD.
11．【正确答案】ACD
【详解】，
对于A，当时，，，
所以在上单调递减，故A正确；
对于B，当时，f'x>0，当时，f'x0，单调递增，
可得，即，所以，
由不等式，可得，
因为，
当且仅当时等号成立，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到时，，再由，结合等比数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）得到，利用错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）由，可得，则，
两式相减，可得，即，
又由，易知，
所以当时，，
所以数列an的通项公式为.
（2）因为，可得，
则，
所以，
两式相减得
，
所以.
16．【正确答案】(1)；
(2)﹒
【分析】
(1)△中求出BD，在△中，由正弦定理求出，根据即可求；
(2)在△、△中，分别由余弦定理求出，两式相减可得csA与csC的关系式；又由的sinA与sinC的关系式；两个关系式平方后相加即可求出cs(A＋C)﹒
【详解】
(1)
在△中，∵，
∴．
在△中，由正弦定理得，，
∴．
∵，∴，
∴．
(2)
在△、△中，由余弦定理得，
，
，
从而①，
由得，
②，
得，，
∴．
17．【正确答案】（1）；（2）无零点，理由见解析；（3）.
（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求导，并判断导数的单调性，以及利用零点存在性定理说明存在使，并利用导数判断函数的单调性，证明函数的最小值的正负，说明零点个数；（2）不等式等价于，构造函数，利用函数的单调性可知，利用参变分离的方法，求的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
，切线方程为，
即
（2）当时，，易知在0,+∞单调递增，且，
存在唯一零点，
且当时，单调递减，
当时，单调递增.
对两边取对数，得：
无零点.
（3）由题意得，，即，
即，易知函数单调递增，，
，令，则，令得，
列表得，
.
18．【正确答案】（1）的单调递增区间是；单调递减区间是；（2）证明见解析.
【详解】（1）由已知，，
所以，，
令，得，解得，
令，得，解得，
故的单调递增区间是；
单调递减区间是.
（2）要证，只需证：．
设，，则．
记，则．
当时，，又，，所以；
当时，，，所以，
又，，所以．
综上，当时，恒成立，
所以在上单调递增．
所以，，即，
所以，在上递增，则，证毕．
19．【正确答案】(1)；条件选择见解析，证明见解析
(2)；不是，证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）空格处填.
原因如下：因为，则，由幂函数与在上都是增函数，
由，故数列与都是递增数列，则为“数列”.
若选，下面证明不是数列.
证明：由，则 ，.
故，所以不是递增数列.
故不是数列；
若选，下面证明不是数列.
证明：由，则 ，.
所以不是递增数列.
故不是数列.
（2）由可得，
所以，
设，则，，...，，
累加得，
又，故，所以.
由，
故是以为首项，为公差的等差数列.
所以，则，.
即数列是递增数列，但不是递增数列，故不是数列.
（3）数列、均为数列，且，，
由题意可得，且，，
由不等式的性质可得，，又，
则，所以为递增数列，且有，
则，
故也是递增数列，故为数列.0
单调递增
极大值
单调递减