2024-2025学年河南省南阳市高二上学期12月联考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市高二上学期12月联考数学质量检测试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设，向量，，，且，，则等于（ ）
A．B．3C．D．4
2．已知，，，若，，共面，则（ ）
A．0B．1C．2D．－1
3．已知空间三点，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的中点，则点的坐标为
B．若四边形为平行四边形，则点的坐标为
C．向量与向量夹角为
D．以为邻边的平行四边形面积为
4．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ）
A．B．C．D．或
6．设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，若E为DD1的中点，F在BD上，且BF＝2FD，则等于（ ）
A．B．
C．D．
8．棱长为的正四面体中，点是AD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
10．下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点与点关于轴对称
B．点与点关于轴对称
C．点与点关于平面对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
11．已知空间中三点，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量是
C．是平面的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，则 ， .
13．设直线，的方向向量分别为，，若，则 .
14．如图，在正六棱柱中.

（1）化简： ；
（2）化简： .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知空间三点，设
(1)求；
(2)若向量与互相垂直，求实数k的值.
16．如图，在棱长为6的正四面体中，，点E为AD的中点，设，，.

(1)试用向量，，表示向量：
(2)求OE的长.
17．如图，在正方体中，分别是棱的中点.
(1)证明：；
(2)证明：；
18．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
19．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．
(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；
(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【详解】由题可得，
所以向量，，所以，
所以.
故选：B.
2．【正确答案】D
【详解】因为共面，所以，
即，
则解得.
故选：D.
3．【正确答案】D
【详解】对于A，因为为的中点，所以，
即，故A错误；
对于B，因为四边形为平行四边形，所以，
由，设，则，
所以，解得，即，故B错误；
对于C，由，，
则，，，
所以，
所以向量与向量夹角为，故C错误；
对于D，由C知，，，，
所以以为邻边的平行四边形面积为：
，故D正确.
故选：D.
4．【正确答案】D
【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且，
则，则，所以，，解得，，
因此，.
故选：D.
5．【正确答案】D
【详解】因为，
所以，则或.
故选：D
6．【正确答案】C
【详解】因为，
由“”可以推出“”，
由“”也可以推出“”，
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．【正确答案】B
【详解】.
故选：B.
8．【正确答案】A
【详解】因为，
所以，
又，，，，
所以．
故选：A．
9．【正确答案】ABD
【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确；
设，即方程无解，
所以，，不共面，B选项正确；
设，即，解得： ，
即，所以，，共面，C选项错误；
设，显然三个向量不共面，D选项正确；
故选：ABD.
10．【正确答案】AD
【详解】点关于轴对称的点是，所以A选项正确；
点关于轴对称的点是，所以B选项错误；
点关于平面对称的点是，所以C选项错误；
空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，所以D选项正确．
故选：AD.
11．【正确答案】ACD
【详解】由题意：，，.
对A：因为，故A正确；
对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误；
对C：因为，，
所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确；
对D：由，故D正确.
故选：ACD
12．【正确答案】
【详解】空1，因为向量，所以；
空2，因为向量，，
所以.
故；.
13．【正确答案】
【详解】由已知，即，
则，
解得，
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】（1）
.
（2）
故
15．【正确答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得；
（2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值.
【详解】（1）由题意，，则；
（2）由（1）可得
因向量与互相垂直，则得：，
解得，或.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意，
，
即.
（2）解：因为
，
所以，即OE的长.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则
,
故,
由于，故，显然，不重合，故；；
（2）
故，
因此，故
18．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）∵为正方形，∴，
∵二面角为直二面角，∴平面，
以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
设()，
∵为上的点，，
∴设，∴，
∴，，，
∵平面，、平面，∴，
且，解得，，∴，，
所以，，∴，∴，
∵平面，平面，∴，
又，、平面，∴平面；
（2）由题意可知，平面的法向量为，
设面的法向量为，，，
∴且，取，则，，
∴，∴，∴平面平面.
19．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【详解】（1）证明：设的中点为，连接，
因为P为的中点，Q为的中点，
所以，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
（2）在直三棱柱中，平面，，
故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
则，，
又，则，
所以，
若平面，则，
则，解得，
所以线段上存在点P，使得平面，此时.