2024-2025学年甘肃省金昌市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省金昌市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．已知，是实数，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．观察下列式子:，，，…，则可归纳出小于（ ）
A．B．C．D．
5．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
7．已知函数，其导函数为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．（多选题）下列命题中的真命题是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为的最小值
C．D．
11．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（ ）
A．双曲线是黄金双曲线
B．若，则该双曲线是黄金双曲线
C．若，则该双曲线是黄金双曲线
D．若，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题（本大题共4小题）
12． .
13．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 ．
14．已知变量线性相关，由观测数据算得样本的平均数，线性回归方程中的系数满足，则线性回归方程为 .
15．古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式．例如，可这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分2成5份，每人得，这样每人分得．形如的分数的分解：，，，按此规律，则 ．
四、解答题（本大题共6小题）
16．已知，集合，函数的定义域为.
（1）若，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
17．已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
18．如图，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点，点在线段上．
（1）证明：平面；
（2）如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置．
19．已知（）在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值.
20．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价（单位：元/件）及相应月销量（单位：万件），对近5个月的月销售单价和月销售量的数据进行了统计，得到如下表数据：
（Ⅰ）建立关于的回归直线方程；
（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？
（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？
参考公式：回归直线方程，其中，．
参考数据：，．
21．已知.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）若，求函数的单调递增区间；
（3）若，存在正实数，使得成立，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
由并集定义直接得到结果.
【详解】由并集定义可得.
故选：C.
2．【正确答案】A
【详解】若，则，即，故.
取，此时，但，
故推不出，
故选：A.
3．【正确答案】D
设该女子第一天织布尺，根据题意，求得尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得.故选：D．
4．【正确答案】C
根据已知式子分子和分母的规律归纳出结论.
【详解】由已知式子可知所猜测分式的分母为，分子第个正奇数，即，
.
故选：C.
5．【正确答案】B
【分析】
根据题意可得已知圆与圆相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.
【详解】
由题意可得：已知圆与圆相交，
∴，
∴，
解得且，
故选：B.
6．【正确答案】D
【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．
故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cs〈，〉===−.
设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cs θ=|cs〈，〉|=.
7．【正确答案】C
求得可得的解析式，求出解析式，可得为偶函数，即可求出的值，再求，即可求得的值，即可求得答案.
【详解】，，
所以为偶函数，所以，
因为，
所以，
所以．
故选：C．
8．【正确答案】B
分离变量，利用导函数应用得到函数在无零点，则有两个零点，利用函数最值得到参数范围
【详解】当时，，∴不是函数的零点.当时，由，得，设，，则在−∞,0上单调递减，且.所以时无零点
当时，等价于，令，，
得在上单调递减，在上单调递增，，.
因为有2个零点，所以.
故选：B.
9．【正确答案】ACD
【详解】指数函数值域为，所以，A选项正确；
当时，，所以是假命题，B选项错误；
当时，，所以，C选项正确；
函数值域为R，所以，D选项正确.
故选：ACD.
10．【正确答案】AC
【详解】
利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;
根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.
【详解】
,
,
对于也成立，
所以，故A正确；
当时，,当n=17时,当时，,
只有最大值，没有最小值，故B错误；
因为当时，,∴，故C正确；
，
故D错误.
故选：AC.
本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.
和与项的关系,若数列的前 项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前 项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值.
11．【正确答案】BCD
A选项，，不是黄金双曲线；通过计算得到BCD是黄金双曲线.
【详解】A选项，，不是黄金双曲线；
B选项，，化成，即，
又，解得，是黄金双曲线；
C选项，∵，∴，
∴，
化简得，由选项知是黄金双曲线；
D选项，∵，∴轴，，且是等腰，
∴，即，由选项知是黄金双曲线.
综上，BCD是黄金双曲线.
故选：BCD.
12．【正确答案】1
直接利用指数幂的运算法则求解.
【详解】,
,
故答案为:1
13．【正确答案】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.
【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，，
设向量满足，，
由题意可得，解得，取，则，，
可得，
因此，.
故答案为.
关键点点睛：解本题的关键在于将长度的最小值转化为异面直线、的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.
14．【正确答案】
【详解】由题知，点在回归直线上，则，
又，
所以，即回归直线方程为.
故答案为.
15．【正确答案】
【分析】
根据,，，…进行归纳推理.
【详解】
由题意得，，即，
，即，
，即，
由此归纳出．
经验证，结论成立，
∴．
故答案为.
方法点睛：由数列的前项归纳通项公式时，首先要分析项的结构，然后再探究结构中的各部分与项的序号间的函数关系，进而求得通项公式．
16．【正确答案】（1）；（2）.
（1）化简集合，求出集合，由可得的取值范围；
（2）是的必要不充分条件，即是的真子集，列不等式求出的取值范围即可．
【详解】
令，即
（1）∵，∴且，即；
（2）由题知是的真子集，故且，即.
17．【正确答案】(1);
(2)
【详解】（1）由题意知，，所以，
所以E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，设椭圆E的方程为，
则，，所以，所以E的轨迹方程为．
（2）设，，联立，消去y得，
由得①，
所以，．
因为原点О总在以FQ为直径的圆的内部，所以，
即．而，
所以，
即，所以，且满足①式，所以m的取值范围是．
18．【正确答案】（1）证明见解析；（2）点与点重合．
【详解】（1）证明：在梯形中，∵，且，
∴，，∴，
∵点为的中点，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，，∴，
又∵底面，底面，∴，
又平面，平面，，∴平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：
则、、、、，
∴，，，
设()，则，
则，，
设平面的法向量为，由得，
令得，则平面的一个法向量为，
则
，
所以，整理得，
解得或，
因为，所以应舍去，
所以，即，
∴当点与点重合时直线与平面所成的角的正弦值为．
19．【正确答案】（1）1；（2）增区间为，，减区间为；（3）最大值为9，最小值为.
（1）求导，由已知得，解得的值，再代入检验可得结论.
（2）由（1）得，求导，分析导函数取得正负的区间可得原函数的单调区间.
（3）由（2）得出的函数的单调性可求得函数的极值，从而求得函数的最值.
【详解】（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.
（2）由（1）得，，由得或；由得.
故的单调增区间为，，单减区间为.
（3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
20．【正确答案】（Ⅰ）（Ⅱ）可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润
【详解】（Ⅰ）因为，．
所以，所以，
所以关于的回归直线方程为：．
（Ⅱ）当时，，则，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．
（Ⅲ）设销售利润为，则
，所以时，取最大值，
所以该产品单价定为元时，公司才能获得最大利润．
21．【正确答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【详解】（1），
∵函数在处取得极值，，解得，
当时，.
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
∴当时，函数在处取得极小值；
（2），
，
令，则或，
①当时，令可得，
∴函数的单调递增区间为；
②当时，令可得或，
∴函数的单调递增区间为；
③当时，在上恒成立，
∴函数的单调递增区间为；
④当时，令可得或，
∴函数的单调递增区间为；
（3），，
，，
整理可得，
令，，
，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴当时，取得极小值即最小值为，
即，
解得（舍去）或，
的取值范围为.月销售单价（元/件）
9
10
11
月销售量（万件）
11
10
8
6
5