2024-2025学年北京市东城区高三上学期12月联考数学检测试卷

这是一份2024-2025学年北京市东城区高三上学期12月联考数学检测试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，且，那么的值可以是
A. B. C. D.
2. 下列函数中，定义域为的奇函数是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则下列结论错误是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为D. 在上单调递减
5. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 已知与是非零向量，且，则是与垂直的（ ）
A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；
C. 充要条件；D. 既不充分也不必要条件．
7. 已知直线与圆有公共点,则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A 1条B. 2条C. 3条D. 4条
9. 已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A. 2B. C. D.
10. 已知圆与圆交于、两点，则（为圆圆心）面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．
11. 已知，其中为虚数单位，，则_________．
12. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，则_________；_________．
13. 已知正方形的边长为2，以为圆心的圆与直线相切．若点是圆上的动点，则的最大值是_________．
14. 已知，且双曲线与椭圆有共同的焦点，则双曲线的离心率为__________．
15. 给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论：
①；
②点在圆的内部；
③曲线关于原点对称，也关于直线对称；
④曲线至少经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
其中正确命题的序号为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
17. 在中，内角所对的边分别为，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 已知函数．
（1）求曲线y=fx在点处的切线方程；
（2）是否存在，使得曲线y=fx在点和点处的切线互相垂直？并说明理由（参考数据：）
19. 已知函数．
（1）设是极值点．求的值，并讨论的零点个数；
（2）证明：当时，．
20. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为.
（1）求椭圆的方程;
（2）设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围.
21. 设数列：．已知，定义数表，其中
（1）若，写出；
（2）若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；
（3）若数列与中的1共有个，求证：数表中1的个数不大于．