2023-2024学年北京市东城区高三上学期期末统一检测数学试题

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1 已知集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：A
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性的定义，结合增函数的定义逐一判断即可.
【详解】A：因为函数的定义域为全体正实数，不关于原点对称，所以不是奇函数，不符合题意；
B：因为，所以该函数不是奇函数，不符合题意；
C：因为，所以该函数是奇函数，根据幂函数的性质可知：该函数是定义域内的增函数，符合题意；
D：因为，所以该函数不是实数集上的增函数，
故选：C
3. 在等比数列中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列的性质即可求解.
【详解】解：，所以，
故选：B.
4. 在二项式的展开式中，含项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的系数.
【详解】由题设，，
∴当时，.
∴含项的系数为.
故选：D.
5. 在平面直角坐标系中，角的终边过点，将的终边绕原点按逆时针方向旋转与角的终边重合，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由终边上的点知，，进而可得，即可求.
【详解】由角的终边过点，知：，，
∴，故.
故选：A.
6. 人类已进入大数据时代，目前，全球年数据产生量已经从级别跃升到，乃至级别（，，，）．由国际数据公司的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：）的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量和实际的函数模型是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据散点图及幂函数、指数函数、对数函数的图象特征即可求解.
【详解】解：由散点图知：全球年数据产生量随年份的增加而增加，且增加的速度越来越快，
因为的图象是一条直线，
的图象，随x增大，y增大，但图象越来越平缓，
的图象，随x增大，y增大，但图象越来越平缓，
的图象，随x增大，y增大，图象越来越陡峭，
所以D选项正确，A、B、C选项错误.
故选：D．
7. 已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线定义及已知条件知△为等边三角形，进而可求.
【详解】由抛物线的定义知：，又，
∴△为等边三角形，易知：.
故选：C.
8. 已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得出直线过定点，再求出圆心坐标，由圆的对称性以及斜率公式得出的值.
【详解】因为，所以直线过定点，圆可化为，则圆心，，由圆的对称性可知，当时，到直线距离的最大，则，.
故选：A
9. 已知点不共线，为实数，，则“”是“点在内（不含边界）”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量共线的推论及充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若，且，可知三点共线，
若，点在内部（不含边界），则；
反之不成立，例如时，此时外部，
所以“”是“点在内（不含边界）”的必要不充分条件，
故选：B.
10. 已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，由题设易知或有一项为1，则，判断各项取值情况，进而求的最小值.
【详解】当满足时，，
令，则或有一项为1，而，
∴，又是各项均为正整数的数列，
∴，，，，
此时的最小值为，
当满足时，，，，，，，时，
，
因为，
所以的最小值为20
故选：B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在复平面内，复数对应点的坐标是，则_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，结合共轭复数的定义进行求解即可.
【详解】因为复数对应点的坐标是，所以，因此，
故答案为：
12. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则_________；的离心率为_________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】求出渐近线，利用渐近线垂直得到，求出和离心率.
【详解】由题意得：两条渐近线方程为，且，解得：，此时离心率为
故答案为：1，
13. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，写出以之间的部分位置关系为条件（除外），为结论的一个真命题：_____________.
【答案】若，则.(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据平面基本性质写出一个符合题设的真命题即可.
【详解】若，则.
故答案为：若，则.
14. 函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为.若，则_________；_________.
【答案】 ①. 2 ②. ##
【解析】
【分析】根据函数相邻的两个零点之间相距半个周期，结合，即可求出，求出，再根据即可求出.
【详解】解：因为函数相邻的两个零点之间相距半个周期，
所以，
所以，
所以，
令，
则，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：2；.
15. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用. 如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去. 给出下列四个结论：
①对于任意正整数，；
②存在正整数，为整数；
③存在正整数，三角形的面积为；
④对于任意正整数，三角形为锐角三角形.
其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据题意得出，，进而得出，由判断②；由判断③；利用余弦定理证明从而判断④.
【详解】由题意可知，，，且点在同一坐标轴的点的同侧，则，故①正确；同理，故②正确；，不可能等于，故③错误；，，，因为，所以在三角形中，为最大角，，则为锐角，即三角形为锐角三角形，故④正确；
故答案为：①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在△中，，.
（1）求证：△为等腰三角形；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值.
条件①：；
条件②：△的面积为；
条件③：边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析；
（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）把转化为边a、b之间的倍数关系，把转化为三边a、b、c之间的关系，综合可得证；
（2）条件①,与已知矛盾，三角形无解，不可选；
条件②，通过三角形面积公式解得a，可使△存在且唯一；
条件③，通过转化条件，可使△存在且唯一.
【小问1详解】
在△中，由，可得
则由，可得
即，故有
故△为等腰三角形.
【小问2详解】
选择条件①：时，由（1）知，则有，
此时，
与已知矛盾，三角形无解.不能选；
选择条件②：△的面积为时，
由得，
故有，解得，,.
三角形存在且唯一，可选.
选择条件③：边上的高为.
由得，
可得，则有,.
三角形存在且唯一，可选.
综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，.
选择条件③时，三角形存在且唯一，.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点.
（1）若直线平面，求证：为的中点；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点；
（2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值.
【小问1详解】
连接交于点，再连接，
由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点；
【小问2详解】
以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系
设，则
设，，
设平面的法向量为，则，即
取，则.
设平面的法向量，则，即，
可得平面的法向量，
设平面与平面夹角为
，整理得，
18. 2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和. 某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.
（1）从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；
（2）从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求的分布列和数学期望；
（3）从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式. 直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，的数学期望为；
（3）.
【解析】
【分析】（1）运用古典概率公式即可；
（2）的取值有0，1，2，分别求得随机变量取每一个值的概率得出分布列，由公式求得其数学期望；
（3）由表中数据可得结论.
【小问1详解】
解：由已知得，清楚垃圾分类后处理方式的有人，
所以从该校学生中随机抽取一人，该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为；
【小问2详解】
解：高中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，
初中部共有名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有人，
从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，则的取值有0，1，2，所以
，，，
所以的分布列为：
所以的数学期望为；
【小问3详解】
解：.
19. 已知椭圆过点，其右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一动点（不在轴上），为中点，过原点作的平行线，与直线交于点. 问：直线与斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再结合即可得答案；
（2）设，进而得，，再计算斜率即可得，最后结合即可得答案.
【小问1详解】
解：因为椭圆过点，其右焦点为
所以，即，所以，
所以椭圆方程为
【小问2详解】
解：设，则，
所以，所以过原点与的平行的线的方程为，
所以，
所以，，
所以，
因为，故，
所以，
所以直线与斜率的乘积是为定值.
20. 曲线在点处的切线交轴于点.
（1）当时，求切线的方程；
（2）为坐标原点，记的面积为，求面积以为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.
【答案】（1）
（2），定义域，增区间为和和
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线方程.
（2）利用导数的几何意义求出切线方程，求得坐标，利用面积公式，写成分段函数，进而求得函数的定义域，再利用导数结合换元法研究函数的单增区间.
【小问1详解】
由，求导，当时，切点为，
切线的斜率，则切线方程为：，即
所以切线的方程为：
【小问2详解】
由，求导，切点
切线斜率，则切线方程为
令，则，所以切线与轴的交点
，
所以面积为
当时，；
当或时，
所以面积以为自变量函数解析式为
由表示面积，，
即或或
解得：或或
所以函数的定义域为
令，令，则
则，求导
令，即，解得
所以在区间上单调递增，其余部分单调递减；
所以在区间上单调递增，其余部分单调递减，
又，且，，由翻折变换可知，
的单调递增区间为和和
21. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
（1）若数列具有性质，求数列前项和；
（2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
（3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.
【答案】（1）5 （2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论.
【小问1详解】
由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和；
【小问2详解】
由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得：
【小问3详解】
要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以，
所以，所以成立
【点睛】本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高.
高中部
初中部
男生
女生
男生
女生
清楚
12
8
24
24
不清楚
28
32
38
34
X
0
1
2
P