九年级数学期末模拟卷01（北师大版）2024-2025学年初中上学期期末模拟考试

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版九年级上册、下册。
5．难度系数：0.55。
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在中，对角线相交于点，添加下列一个条件，能判定是菱形的是（ ）
A．B．C．D．
3．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，那么的值等于（ ）
A．B．43C．D．45
6．如图， 点A， B， C均在上， 若， 则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形的对角线交于点，，，为等边三角形，点是直线上一点，连接，则线段的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ．
10．一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同．小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则可估计红球的个数约为 个．
11．黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇宽与长的比等于黄金比的矩形窗户的长为米，则宽为 米．（结果保留根号）
12．如图，点在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，，反比例函数的图像分别交边，于点．作轴于点，轴于点．若，为的中点，且阴影部分面积等于，则的值为 ．
13．如图， 四边形为矩形，，点E在边上，从点D运动到点C，运动速度为每秒2个单位，点F从点A开始沿射线方向运动，运动速度为每秒3个单位，当点E停止时，点F也随之停止．连接和交于点G，直线交直线于点 M，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共13小题，满分81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）解方程：．
15．（5分）如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．
16．（5分）如图，在中，请用尺规作图法，在边确定一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（5分）某商场销售一种服装，原价卖时，该服装每日销售额为4500元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价促销．经过两轮的促销活动后，该服装每日的销售额增长至6480元，求该种服装日销售额的每轮平均增长率．
18．（5分）如图，在中，， 于，作于．求证：；
19．（5分）如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为．
(1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点；
(2)在(1)的情况下直接写出点的坐标．
20．（6分）如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同），转盘甲上的数字分别是，转盘乙上的数字分别是（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．

(1)单独转动转盘甲一次，转盘甲指针指向正数的概率是 ；
(2)若同时转动两个转盘一次，请用列表法或画树状图法，求两个转盘指针所指的数字乘积为负数的概率．
21．（6分）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，并尽可能减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．设销售单价提高x元（x为正整数）．
(1)求当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(2)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
22．（7分）如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，，求和的长．
23．（7分）小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，）
24．（7分）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形状，它距离地面的高度y（单位：）与到树干的水平距离x（单位：）之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)小明头顶距离地面，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？
25．（8分）如图，是的直径，是的弦，是延长线上一点，过点作交于，交于，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求的长．
26．（10分）（1）如图1，在中，，，．与、两边分别相切于点E，F，圆心O恰好在上，求的半径．
（2）已知某文创园区原有一块草坪（区域）如图2所示，经测量：，，在M处建有一个亭子，满足．现要在原基础上扩大面积重新规划为花卉展区，要求在上找一点P，连接并延长到点D，使得，过点P分别作于E，于F．按设计要求，四边形区域为游客观赏区，其余部分为花卉展区（、、三部分总和）．为了游客得到更好的体验，需要尽可能把花卉展区布置大一些，请问能否将花卉展区面积设计最大？若可以，请求出最大面积；若不可以，请说明理由．
选择题
二、填空题
9．310．6011．
12．613．
三、解答题
14．解：∵a=2，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
15．证明：四边形是菱形，
在和中，
，
16．解：如图，点D即为所求．
17．解：设该种服装日销售额的每轮平均增长率为，
由题意得：
解得：，（不符合题意，舍去）
答：该种服装日销售额的每轮平均增长率为．
18．证明：∵于D，于E，
∴，
∵，于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
19．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，位似比为，
∴点坐标为．
20．（1）解：转盘甲被等分为3份，其中1份标有正数，
∴转动转盘甲1次，指针指向正数的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两个转盘指针所指的数字乘积为负数的结果有5种，
∴两个转盘指针所指的数字乘积为负数的概率
21．（1）解：由售价单价提高x元，则每天销售量，
由题可知售价为元，
由，即，
解得，，
故售价为：或，
∵需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，当售价定为10元时，每天的利润为140元；
（2），
∴当时，w最大值为144，故售价为，
故当售价为11元时，利润最大为144元．
22．（1）证明：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，，
，
∵平分，，，
，
，
在和中，
，
，
，即，
解得，
由（1）已证：四边形是菱形，
23．解：由题意得
，
米，
设米，
在中：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：；
答：该古树的高为米．
24．（1）根据题意，得抛物线经过点和点．
∴，解得．
∴该抛物线的函数解析式为．
（2）在中，令，得，
解得（不合题意，含去），．
∴小明走出远时，头顶刚好碰到树枝.
25．（1）解：连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线，
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，解得：，·
∴，
故答案为：．
26．（1）∵，，，
∴，
连接，设的半径为，则：，
∵与、两边分别相切于点E，F，
∴，
∴，
∴；
∴的半径为
（2）能；
∵，，
∴，
∴四点共圆， 如图：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
过点作，交于点，
则：，
∴，
又，
∴，
∴，，
设，则：，
∴
，
∵，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为：，
∴的最大值为：．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
D
D
C
A
B
D