福建省福州市2024-2025学年高一上学期期末质量抽测模拟数学试卷-A4

这是一份福建省福州市2024-2025学年高一上学期期末质量抽测模拟数学试卷-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设f（x）＝asin（πx+α）+b•cs（πx+β），其中a，b，α，β∈R，若f（2021）＝5，则f（2022）等于（ ）
A．4B．3C．﹣5D．5
2．（5分）命题p：“∀x∈Q，有x2∈Q”的否定形式¬p为（ ）
A．∀x∉Q，有x2∉QB．∀x∈Q，有x2∉Q
C．∃x∉Q，使x2∉QD．∃x∈Q，使x2∉Q
3．（5分）若函数f（x）＝a+x+lgx（1＜x＜10）有零点，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣10，﹣1）B．（1，10）C．（1，11）D．（﹣11，﹣1）
4．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2﹣x≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0≤x＜3}D．{x|﹣2＜x≤0}
5．（5分）设x∈R，则“sinx＝1”是“csx＝0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜a＜b
7．（5分）若α∈（），且3cs2α＝2sin（），则sin2α＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
8．（5分）某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（ ）
A．y＝ax+bB．y＝ax2+bx+c
C．y＝a•lgbxD．y＝k•ax
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示、将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数g（x）为奇函数
B．函数g（x）在上单调递减
C．函数F（x）＝xf（x）为偶函数
D．函数f（x）的图象的对称轴为直线
（多选）10．（6分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，有f（x）＝﹣f（﹣x+2），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式f（x）＜0的解为{x|1＜x＜3}
B．（﹣∞，0）是f（x）的增区间
C．方程f（f（x））＝0有5个解
D．∀x1，x2∈[0，2]，都有
（多选）11．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1＞1，x2＞1，则
B．若2x1＝x2+3，则或3
C．若，则m＝±4
D．∃m∈R，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）已知函数f（x）＝ax+5+4（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+nx的图像不经过第 象限．
13．（5分）扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的面积为 cm2．
14．（5分）已知函数在上恰有一个极值点，则ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若第一象限角β满足，求csβ的值．
16．（15分）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcsx﹣cs2x．
（1）求f（x）的最小正周期及上的最值；
（2）若函数f（x）在（0，m）单调递增，求m的取值范围．
17．（15分）设函数f（x）＝cs﹣1．
（1）求函数y＝f（x）在（0，10）上的单调区间；
（2）求证：函数φ（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点x0，并求[h（g（x0））]（[x]表示不超过x的最大整数，如[2.7]＝2，[﹣3.2]＝﹣4）．
参考数据：≈0.223．
18．（17分）已知函数为奇函数．
（1）求a，判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围．
19．（17分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水筒P到水面的距离为y（单位：米）（在水面下则y为负数）．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时少t（单位：秒）之少的关系为y＝Asin（ωt+φ）+K，其中．
（1）求A，ω，φ，K的值；
（2）当t∈（40，50）时，判断盛水筒P的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．
2024-2025学年第一学期福州市高一期末质量抽测模拟
数学试卷
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设f（x）＝asin（πx+α）+b•cs（πx+β），其中a，b，α，β∈R，若f（2021）＝5，则f（2022）等于（ ）
A．4B．3C．﹣5D．5
【考点】运用诱导公式化简求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用三角函数的诱导公式求出结果．
【解答】解：由于f（x）＝asin（πx+α）+bcs（πx+β），
所以f（2021）＝asin（2021π+α）+bcs（2021π+β）＝﹣asinα﹣bcsβ＝5；
所以f（2022）＝asin（2022π+α）+bcs（2022π+β）＝asinα+bcsβ＝﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
2．（5分）命题p：“∀x∈Q，有x2∈Q”的否定形式¬p为（ ）
A．∀x∉Q，有x2∉QB．∀x∈Q，有x2∉Q
C．∃x∉Q，使x2∉QD．∃x∈Q，使x2∉Q
【考点】全称量词命题的否定．
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题得
命题p：“∀x∈Q，有x2∈Q”的否定形式¬p为∃x∈Q，使x2∉Q．
故选：D．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
3．（5分）若函数f（x）＝a+x+lgx（1＜x＜10）有零点，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣10，﹣1）B．（1，10）C．（1，11）D．（﹣11，﹣1）
【考点】函数零点的判定定理．
【答案】D
【分析】首先判断f（x）＝a+x+lgx在（1，10）上单调递增，则只需要即可，解出不等式即可得到．
【解答】解：因为函数y＝x+a与y＝lgx均在（1，10）上单调递增，
所以f（x）＝a+x+lgx在（1，10）上单调递增．
要使函数f（x）＝a+x+lgx（1＜x＜10）有零点，则只需要即可，
即，解得﹣11＜a＜﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查零点判断定理的应用，是基础题．
4．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|2﹣x≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣2＜x＜0}C．{x|0≤x＜3}D．{x|﹣2＜x≤0}
【考点】交集及其运算．
【答案】C
【分析】解指数不等式得到B＝{x|x≥0}，根据交集的概念求出答案．
【解答】解：B＝{x|2﹣x≤20}＝{x|x≥0}，
故A∩B＝{x|﹣2＜x＜3}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）设x∈R，则“sinx＝1”是“csx＝0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件必要条件的判断；任意角的三角函数的定义．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
【解答】解：∵sin2x+cs2x＝1，
①当sinx＝1时，则csx＝0，∴充分性成立，
②当csx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，
∴sinx＝1是csx＝0的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充分必要条件的判定，属于基础题．
6．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【答案】D
【分析】根据对数函数、幂函数等知识来确定正确答案．
【解答】解：因为c＝＝＝﹣1，
所以c＜0，
因为y＝x0.3在（0，+∞）上单调递增，且0.4＞0.3，
所以0.40.3＞0.30.3＞0，
所以b＞a＞c．
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数函数和幂函数的单调性，属于基础题．
7．（5分）若α∈（），且3cs2α＝2sin（），则sin2α＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数．
【答案】C
【分析】由已知利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简已知等式可得csα+sinα＝，两边平方利用二倍角的正弦公式即可求解．
【解答】解：∵α∈（），且3cs2α＝2sin（），
∴3（cs2α﹣sin2α）＝（csα﹣sinα），
∴3（csα﹣sinα）（csα+sinα）＝（csα﹣sinα），
∴csα+sinα＝或csα﹣sinα＝0（舍去），
∴两边平方，可得1+sin2α＝，解得sin2α＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了二倍角公式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8．（5分）某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（ ）
A．y＝ax+bB．y＝ax2+bx+c
C．y＝a•lgbxD．y＝k•ax
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【答案】B
【分析】由题意观察出y随x的变化趋势，对比函数单调性即可得解．
【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，
而三个函数中y＝ax+b、y＝algbx、y＝k•ax显然都是单调函数，不满足题意，
∴选择y＝ax2+bx+c．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数模型的选择，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示、将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数g（x）为奇函数
B．函数g（x）在上单调递减
C．函数F（x）＝xf（x）为偶函数
D．函数f（x）的图象的对称轴为直线
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】AB
【分析】由图象结合最值求出A，由周期求出ω，结合函数图象所经过的点可求φ，进而可求函数解析式，再结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：由图象可知，A＝3，＝，
所以T＝π，ω＝2，f（x）＝3sin（2x+φ），
又f（）＝3sin（φ）＝3，
故φ＝2kπ，k∈Z，
所以f（x）＝3sin（2x﹣），g（x）＝3sin2x为奇函数，A正确；
令得，g（x）在（）上单调递减，B正确；
F（x）＝xf（x）＝3xsin（2x﹣）为非奇非偶函数，C错误；
令2x＝得x＝，k∈Z，D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象求解函数解析式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
（多选）10．（6分）已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，有f（x）＝﹣f（﹣x+2），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式f（x）＜0的解为{x|1＜x＜3}
B．（﹣∞，0）是f（x）的增区间
C．方程f（f（x））＝0有5个解
D．∀x1，x2∈[0，2]，都有
【考点】抽象函数的周期性．
【答案】BC
【分析】由题意求得当当x≤1时，f（x）＝1﹣x2，作出函数y＝f（x）的图象，结合图象可判断A，B；
对于C，令f（x）＝t，由f（t）＝0，可得t1＝﹣1，t2＝1，t3＝3，再结合图象分别求f（x）＝﹣1、f（x）＝1、f（x）＝3时根的个数即可判断；
对于D，当x1，x2∈[0，1]时，可得f（）﹣[f（x1）+f（x2）]＞0，即可判断．
【解答】解：因为当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，
又因为对任意x∈R，有f（x）＝﹣f（﹣x+2），
所以当x≤1时，﹣x≥﹣1，2﹣x≥1，
所以f（x）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣[（2﹣x）2﹣4（2﹣x）+3]＝1﹣x2，
作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：
对于A，由图象可得不等式f（x）＜0的解为{x|1＜x＜3}∪{x|x＜﹣1}，故错误；
对于B，由图象可得（﹣∞，0）是f（x）的增区间，故正确；
对于C，令f（x）＝t，
则f（f（x））＝0，即为f（t）＝0，可得t1＝﹣1，t2＝1，t3＝3，
当t1＝﹣1时，则有f（x）＝﹣1，由图象可得此时有2个解分别为x1＝﹣，x2＝2；
当t2＝1时，则有f（x）＝1，由图象可得此时有2个解分别为x3＝0，x4＝2+；
当t3＝3时，则有f（x）＝3，由图象可得此时有1个解为x5＝4；
所以方程f（f（x））＝0有5个解，故正确；
对于D，当x1，x2∈[0，1]时，f（）﹣[f（x1）+f（x2）]＝1﹣（）2﹣[1﹣+1﹣]＝≥0，当x1＝x2时，等号成立，故错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了求函数的解析式、单调性、分类讨论思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
（多选）11．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1＞1，x2＞1，则
B．若2x1＝x2+3，则或3
C．若，则m＝±4
D．∃m∈R，使得
【考点】函数的零点与方程根的关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【答案】AC
【分析】结合韦达定理、一元二次方程的解法逐项判断．
【解答】解：由已知得Δ＝m2﹣8＞0，解得或m，且x1+x2＝m，x1x2＝2，
对于A，由题意x1﹣1+x2﹣1＞0，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＞0，
即m﹣2＞0，2﹣m+1＞0，解得2＜m＜3，综上＜m＜3符合题意，A正确；
对于B，因为2x1＝x2+3且x1x2＝2，解得x1＝2，x1＝1，此时m＝3，B错误；
|x1﹣x2|＝＝＝，解得m＝±4，C对；
因为，即＝＝1，解得m＝2，由于m，故不存在符合题意的m．
故选：AC．
【点评】本题考查一元二次方程根的分布问题，注意函数思想的应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）已知函数f（x）＝ax+5+4（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+nx的图像不经过第 二 象限．
【考点】指数函数的单调性与最值；指数函数的图象．
【答案】二．
【分析】由题意，根据指数函数的单调性和特殊点，求出m、n的值，再根据指数函数图像和性质，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝ax+5+4（a＞0，a≠1），令x+5＝0，求得x＝﹣5，y＝5，
可得它的图像恒过定点（﹣5，5），再根据定点坐标为M（m，n），
可得m＝﹣5，n＝5，
则函数g（x）＝m+nx＝﹣5+5x．
由于当x＜0时，g（x）＜0，故它的的图像不经过第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数图像经过定点问题，属于基础题．
13．（5分）扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的面积为 cm2．
【考点】扇形面积公式．
【答案】．
【分析】根据弧长公式算出半径，再利用扇形的面积公式求解．
【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，则：
l＝|α|R，即＝×R，所以R＝1，
所以＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积公式、弧长公式等，属于基础题．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
14．（5分）已知函数在上恰有一个极值点，则ω的取值范围是 [﹣11，﹣5）∪（1，7] ．
【考点】三角函数的最值．
【答案】[﹣11，﹣5）∪（1，7]．
【分析】当，求所在区间，由上恰有一个极值点，即可求ω的取值范围．
【解答】解：函数f（x）在上恰有一个极值点，ω＝0显然不合题意；
若ω＜0，当，可得，
函数f（x）在上恰有一个极值点，则有，解得﹣11≤ω＜﹣5；
若ω＞0，当，，
函数f（x）在上恰有一个极值点，则有，解得1＜ω≤7．
所以ω的取值范围为[﹣11，﹣5）∪（1，7]．
故答案为：[﹣11，﹣5）∪（1，7]．
【点评】本题考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想和分类讨论思想，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若第一象限角β满足，求csβ的值．
【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义．
【答案】（Ⅰ）﹣；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义可求得sinα与csα，继而可求得的值；
（Ⅱ）依题意，可得α为第一象限角，α+β为第二象限角，结合已知及β＝（α+β）﹣α，利用两角差的余弦可求得csβ的值．
【解答】解：（Ⅰ）角α的终边经过点，所以．（2分）
所以．（5分）
（Ⅱ）由条件可知α为第一象限角，
又β为第一象限角，，
所以α+β为第二象限角，（6分）
由得c，（8分）
由β＝（α+β）﹣α，
得csβ＝csαcs（α+β）+sinαsin（α+β）（10分）
＝＝．（13分）
【点评】本题考查三角函数的定义及两角和与差的三角函数，考查转化归思想及运算求解能力，属于中档题．
16．（15分）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcsx﹣cs2x．
（1）求f（x）的最小正周期及上的最值；
（2）若函数f（x）在（0，m）单调递增，求m的取值范围．
【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．
【答案】（1）T＝π；最大值为，最小值为﹣1；（2）（0，．
【分析】（1）应用二倍角余弦公式、辅助角公式可得f（x）＝，根据正弦函数的性质即可求最小正周期和最值；
（2）令，可得m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝﹣（cs2x﹣sin2x）+sin2x＝，
∴f（x）的最小正周期；
∵，∴，
即，
∴函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为﹣1；
（2）由函数f（x）在（0，m）单调递增，
令，得．
故实数m的取值范围为（0，．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17．（15分）设函数f（x）＝cs﹣1．
（1）求函数y＝f（x）在（0，10）上的单调区间；
（2）求证：函数φ（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点x0，并求[h（g（x0））]（[x]表示不超过x的最大整数，如[2.7]＝2，[﹣3.2]＝﹣4）．
参考数据：≈0.223．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）在（0，10）上的单调增区间是[3，6]和[9，10），单调减区间是（0，3]和[6，9]；
（2）详见解答过程．
【分析】（1）根据余弦函数的单调区间求出y＝f（x）的单调区间；φ
（2）根据函数单调性判断函数的零点个数，求出零点的范围，进而求解．
【解答】解：（1）令，解得﹣3+6k≤x≤6k，k∈Z，
令，解得6k≤x≤3+6k，k∈Z，
∴函数y＝f（x）在（0，10）上的单调增区间是[3，6]和[9，10），单调减区间是（0，3]和[6，9]；
证明：（2）由（1）知y＝f（x）在（0，3）上是减函数，y＝g（x）在（0，3）上是增函数，
所以在（0，3）上是减函数，
又，
则y＝φ （x）在（0，3）上有唯一零点，
当x＞3时，f（x）≤1，g（x）＞1，
所以，即y＝φ（x）在（3，+∞）上无零点，
综上，y＝φ（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点x0．
∵，
∴，
∴，
∴[h（g（x0））]＝0．φ
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
18．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求a，判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的奇偶性．
【答案】（1）1，增函数，证明过程见解答；
（2）（﹣3，0]．
【分析】（1）先根据奇函数的定义计算参数，再由函数的单调性定义证明即可；
（2）利用函数的奇偶性及单调性脱去函数符号，结合一元二次不等式恒成立讨论计算即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
即，则，
即，则2a＝2，得a＝1；
所以，
函数f（x）在R上为增函数，
证明如下：
设x1＜x2，则
＝
∵x1＜x2，所以，且，，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数y＝f（x）在R上为增函数；
（2）∵不等式恒成立，
∴，
∵函数f（x）为奇函数，∴，
∵函数f（x）在R上单调递增，则，
即恒成立，
当k＝0时，不等式恒成立，满足题意；
当k≠0时，需满足，即，解得﹣3＜k＜0，
综上，实数k的取值范围为（﹣3，0]．
【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义法证明函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想、分类讨论思想和方程思想，属中档题．
19．（17分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水筒P到水面的距离为y（单位：米）（在水面下则y为负数）．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时少t（单位：秒）之少的关系为y＝Asin（ωt+φ）+K，其中．
（1）求A，ω，φ，K的值；
（2）当t∈（40，50）时，判断盛水筒P的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．
【考点】三角函数应用；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【答案】（1），，；
（2）y单调递减，盛水筒P处于向下运动的状态．
【分析】（1）设筒车与水面的交点为M，N，连接OM，过点P作PB⊥MN于点B，过点O分别作OD⊥MN于点D，OC⊥PB于点C，可求A，K，利用周期公式可求ω，可求，，即可求解；
（2）由题意可求，利用正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）如图，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM，过点P作PB⊥MN于点B，
过点O分别作OD⊥MN于点D，OC⊥PB于点C，
则，
因为筒车转一周需要1分钟，
所以，故，
在Rt△OMD中，，
所以，即；
（2）盛水筒P处于向下运动的状态，
理由如下：，
当，
此时y单调递减，
所以盛水筒P处于向下运动的状态．
【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90