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福建省福州市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（Word版附答案）
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这是一份福建省福州市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023~2024学年第一学期福州市高一年级期末质量检测
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A.B.C.D.
2.命题“，”的否定是
A.，B.，
C.，D.，
3.在下列区间中，方程的实数解所在的区间为
A.B.C.D.
4.已知集合，，则
A.B.C.D.
5.设，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知，，，则
A.B.C.D.
7.已知，则
A.B.C.D.
8.某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为
（参考数据：，）
A.23小时B.25小时C.42小时D.44小时
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则下列不等式成立的是
A.B.
C.D.
10.已知函数的部分图象如下所示，则
A.
B.在上单调递增
C.的图象关于直线对称
D.将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
11.已知函数的定义域为，，都有，且，则
A.B.
C.是增函数D.是偶函数
12.已知函数若关于的方程有3个实数解，，，则
A.
B.
C.
D.关于的方程恰有3个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是______.
14.已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.
15.已知函数不恒为0，且同时具备下列三个性质：
①；②是偶函数；③，，.
写出一个函数______.
16.用表示函数在闭区间上的最大值，已知.
（1）若，则的取值范围是______.
（2）若，则的取值范围是______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
18.（12分）
已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，，的值；
（2）将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.
19.（12分）
已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
20.（12分）
已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式.
21.（12分）
已知函数为奇函数，.
（1）求实数的值；
（2），，使得，求实数的取值范围.
22.（12分）
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.
（1）求，，，的值；
（2）若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值；
（3）若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值.
数学参考答案与评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.AD 10.ACD 11.BC 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13..14.2.
15..（答案不唯一，如，（且）等均可）
16.（1）；（第一空2分） （2）.（第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）.
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为7.
（2）由（1）知函数的最小值为7，
因为恒成立，所以，
解得，
所以的取值范围是.
18.解法：（1）根据题意可得，，
则，，.
（注：每个三角函数值各2分）
（2）根据题意可得，
所以
解法二：（1）同解法一.
（2）根据题意可得，，
所以，
，
（注：解答过程有体现角与的关系，得1分）
所以.
19.解：（1）根据题意可得，，
即.
因为，所以，
所以，即.
所以
由，得，
所以的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
所以当，即时，；
当，即时，
20.解：（1）函数在区间上单调递增.
（注：结论后置不扣分）
证明：任取，且，则
由，得，
所以，，故，
即，所以，
所以在区间上单调递增.
（2）函数的定义域为，
因为，都有，且，
所以为偶函数.
又由（1）知，在上是单调递增，
所以等价于，
两边平方，得，
解得或，
所以不等式的解集为.
21.解：（1）因为是奇函数，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
当时，，舍去，
当时，函数的定义域为，符合题意.
所以。
（注：定义域没写不扣分，若用特殊值法求出的值，但未检验的扣1分）
（2）设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，
所以；
若，即村，，
由，得，
所以；
综上所述，的取值范围是.
22.解：（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，
因为筒车转一周需要1分钟，所以，
故.
在中，
，
所以，即.
（2）由（1）知，.
不妨设，由题意得，
故，
所以，或，.
当，时，解得，
故，当且仅当，时，等号成立.
此时的最小值为60；
当，时，解得，
显然当时，取得最小值40.
综上，的最小值为.
（3）设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为
两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则.
所以
，
当，即，时，
高度差的最大值为
（注：高度差的表达式不唯一）
2023~2024学年第一学期福州市高一年级期末质量检测
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A.B.C.D.
2.命题“，”的否定是
A.，B.，
C.，D.，
3.在下列区间中，方程的实数解所在的区间为
A.B.C.D.
4.已知集合，，则
A.B.C.D.
5.设，则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知，，，则
A.B.C.D.
7.已知，则
A.B.C.D.
8.某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为
（参考数据：，）
A.23小时B.25小时C.42小时D.44小时
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则下列不等式成立的是
A.B.
C.D.
10.已知函数的部分图象如下所示，则
A.
B.在上单调递增
C.的图象关于直线对称
D.将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
11.已知函数的定义域为，，都有，且，则
A.B.
C.是增函数D.是偶函数
12.已知函数若关于的方程有3个实数解，，，则
A.
B.
C.
D.关于的方程恰有3个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是______.
14.已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.
15.已知函数不恒为0，且同时具备下列三个性质：
①；②是偶函数；③，，.
写出一个函数______.
16.用表示函数在闭区间上的最大值，已知.
（1）若，则的取值范围是______.
（2）若，则的取值范围是______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
18.（12分）
已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，，的值；
（2）将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.
19.（12分）
已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
20.（12分）
已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式.
21.（12分）
已知函数为奇函数，.
（1）求实数的值；
（2），，使得，求实数的取值范围.
22.（12分）
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.
（1）求，，，的值；
（2）若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值；
（3）若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值.
数学参考答案与评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.AD 10.ACD 11.BC 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13..14.2.
15..（答案不唯一，如，（且）等均可）
16.（1）；（第一空2分） （2）.（第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）.
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为7.
（2）由（1）知函数的最小值为7，
因为恒成立，所以，
解得，
所以的取值范围是.
18.解法：（1）根据题意可得，，
则，，.
（注：每个三角函数值各2分）
（2）根据题意可得，
所以
解法二：（1）同解法一.
（2）根据题意可得，，
所以，
，
（注：解答过程有体现角与的关系，得1分）
所以.
19.解：（1）根据题意可得，，
即.
因为，所以，
所以，即.
所以
由，得，
所以的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
所以当，即时，；
当，即时，
20.解：（1）函数在区间上单调递增.
（注：结论后置不扣分）
证明：任取，且，则
由，得，
所以，，故，
即，所以，
所以在区间上单调递增.
（2）函数的定义域为，
因为，都有，且，
所以为偶函数.
又由（1）知，在上是单调递增，
所以等价于，
两边平方，得，
解得或，
所以不等式的解集为.
21.解：（1）因为是奇函数，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
当时，，舍去，
当时，函数的定义域为，符合题意.
所以。
（注：定义域没写不扣分，若用特殊值法求出的值，但未检验的扣1分）
（2）设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，
所以；
若，即村，，
由，得，
所以；
综上所述，的取值范围是.
22.解：（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，
因为筒车转一周需要1分钟，所以，
故.
在中，
，
所以，即.
（2）由（1）知，.
不妨设，由题意得，
故，
所以，或，.
当，时，解得，
故，当且仅当，时，等号成立.
此时的最小值为60；
当，时，解得，
显然当时，取得最小值40.
综上，的最小值为.
（3）设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为
两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则.
所以
，
当，即，时，
高度差的最大值为
（注：高度差的表达式不唯一）
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