2024-2025学年云南省八年级（上）期末数学模拟试卷（一）

这是一份2024-2025学年云南省八年级（上）期末数学模拟试卷（一），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．春秋航空B．东方航空C．厦门航空D．海南航空
2．（2分）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10﹣9B．3.4×10﹣11C．3.4×10﹣10D．34×10﹣11
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．m8﹣m2＝m6B．（n3）2＝n5C．5m×2m＝10mD．m8÷m4＝m4
5．（2分）一个多边形每个外角都等于45°，这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正八边形
C．正七边形D．正十二边形
6．（2分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
7．（2分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A、B分别落在直线m、n上．若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
8．（2分）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来一半B．扩大为原来的2倍
C．无法确定D．保持不变
9．（2分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
10．（2分）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2分）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三条垂直平分线的交点
12．（2分）按一定规律排列的单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，﹣9x5，…，第2024个单项式是（ ）
A．4047x2024B．﹣4049x2025
C．﹣2023x2024D．2025x2025
13．（2分）如图的面积关系，可以得到的恒等式是（ ）
A．m（a+b+c）＝ma+mb+mcB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
14．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．60B．30C．22D．13
15．（2分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）若点M（2024，﹣2025）与点N关于x轴对称，则点N的坐标为 ．
17．（2分）若使分式有意义，则x的取值范围是 ．
18．（2分）因式分解：a3﹣4a＝ ．
19．（2分）若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 ．
三、解答题（共8小题，共62分）
20．（6分）计算：．
21．（8分）线段AC、BD相交于点E，∠D＝∠A，DE＝AE，求证：∠C＝∠B．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并分别写出对应点A1，B1，C1的坐标．
（2）求．
23．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2．
24．（8分）如图，点D是∠BAC内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，点M，N分别在∠BAC的两边上，且AM＝AN，DM＝DN．求证：DE＝DF．
25．（8分）某超市用5000元购进一批新品种葡萄进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金第二次购进该品种葡萄，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进葡萄数量是试销时的2倍．
（1）求试销时该品种葡萄的进货价是每千克多少元？
（2）求两次共购进葡萄多少千克？
26．（8分）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
27．（8分）（1）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF＝45°时，求证：DF+BE＝EF；
（2）如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边BC、DC上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明．
2024-2025学年云南省八年级（上）期末数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1．（2分）2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．春秋航空B．东方航空C．厦门航空D．海南航空
【分析】根据轴对称的性质，找到对称轴的图形即可．
【解答】解：A、B、C三个图形都找不到对称轴，只有选项D符合轴对称的特点．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，图形沿着某一直线折叠能够完全重合的图形是轴对称图形．
2．（2分）下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、AD是△ABC边BC上的高，不符合题意；
B、AD是△ADC边AC上的高，不符合题意；
C、BD是△DBC边BC上的高，不符合题意；
D、BD是△ABC边AC上的高，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（2分）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10﹣9B．3.4×10﹣11C．3.4×10﹣10D．34×10﹣11
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．m8﹣m2＝m6B．（n3）2＝n5C．5m×2m＝10mD．m8÷m4＝m4
【分析】根据积的幂的乘方的运算法则，单项式乘单项式和单项式除以单项式的运算法则解答即可．
【解答】解：A、m8与m2不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
B、（n3）2＝n6，故选项不符合题意；
C、5m×2m＝10m2，故选项不符合题意；
D、m8÷m4＝m4，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方的运算法则，单项式乘单项式，单项式除以单项式正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
5．（2分）一个多边形每个外角都等于45°，这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正八边形
C．正七边形D．正十二边形
【分析】根据多边形的外角和等于360°，用360除以一个多边形的每个外角的度数，求出这个多边形的边数是多少即可．
【解答】解：∵一个多边形每个外角都等于45°，多边形的外角和是360°，
∴这个正多边形的边数＝360°÷45°＝8，
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：多边形的外角和等于360°．
6．（2分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16
B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1
D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【解答】解：A、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意；
C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，是因式分解，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
7．（2分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A、B分别落在直线m、n上．若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．
【解答】解：∵m∥n，∠1＝70°，
∴∠1＝∠ABD＝70°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
8．（2分）将分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来一半B．扩大为原来的2倍
C．无法确定D．保持不变
【分析】把分式中的x、y分别用2x、2y代替，求出所得分式与原分式相比较即可．
【解答】解：把分式中的x、y分别用2x、2y代替得：
，
∴分式的值保持不变，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．
9．（2分）如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠CAB＝15°，再根据三角形外角的性质可得∠ACD＝30°，再根据直角三角形的性质可得，即可．
【解答】解：由条件可知：∠B＝∠CAB＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠CAB＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
10．（2分）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论．
【解答】解：根据题中所给的信息分析可得：
作点M关于直线l的对称点M′，连接M′N交直线l于点Q，则MQ+NQ＝QN+QM′＝NM′，此时管道长度最短．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键．
11．（2分）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三条垂直平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解．
【解答】解：由题意可得：要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行，
∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．
12．（2分）按一定规律排列的单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，﹣9x5，…，第2024个单项式是（ ）
A．4047x2024B．﹣4049x2025
C．﹣2023x2024D．2025x2025
【分析】分别探究出单项式系数和次数与序号间的关系，即可写出第2024个单项式，从而作出判断．
【解答】解：由已知可知：第n个单项式的系数为：（﹣1）n（2n﹣1），x的指数为n，
所以第2024个单项式的系数为：4047，x的指数为2024，即第2024个单项式为：4047x2024，
故选：A．
【点评】本题考查数字变化类规律探究，发现单项式的系数和指数与序号间的关系是解题的关键．
13．（2分）如图的面积关系，可以得到的恒等式是（ ）
A．m（a+b+c）＝ma+mb+mcB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．60B．30C．22D．13
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，由作图可知，射线AG为∠BAC的平分线，则可得DH＝CD＝5，再利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
由作图可知，射线AG为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DH＝CD＝5，
∴△ABD的面积为30．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
15．（2分）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4B．3C．2D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
法二：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴A、B、M、O四点共圆，
∴∠AMO＝∠ABO＝72°，
同理可得：D、C、M、O四点共圆，
∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，
∴MO平分∠AMD，
故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16．（2分）若点M（2024，﹣2025）与点N关于x轴对称，则点N的坐标为 （2024，2025） ．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵点M与点N关于x轴对称，M（2024，﹣2025），
∴N（2024，2025），
故答案为：（2024，2025）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
17．（2分）若使分式有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】由分母不为零可得x﹣3≠0，从而可得答案．
【解答】解：由题意得x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．
18．（2分）因式分解：a3﹣4a＝ a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
19．（2分）若多项式x2+kx+25是完全平方式，则k的值是 ±10 ．
【分析】根据已知可得完全平方式是（2x±5）2＝4x2±20x+25，依据对应相等可得kx＝±20x，解得k＝±20．
【解答】解：∵x2+kx+25是一个完全平方式，
∴x2+kx+25＝x2+kx+52＝（x±5）2，
∵（x±5）2＝x2±10x+25，
∴kx＝±10x，
解得k＝±10．
故答案为：±10．
【点评】本题主要考查了完全平方式，完全平方式分两种，一种是两数和的平方，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是两数差的平方，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．
三、解答题（共8小题，共62分）
20．（6分）计算：．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：
＝1+4﹣1+3﹣2
＝5．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
21．（8分）线段AC、BD相交于点E，∠D＝∠A，DE＝AE，求证：∠C＝∠B．
【分析】根据ASA可证△ABE≌△DCE，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：∵线段AC、BD相交于点E，
∴∠DEC＝∠AEB，
在△DEC和△AEB中，
，
∴△DEC≌△AEB（ASA），
∴∠C＝∠B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△DCE．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并分别写出对应点A1，B1，C1的坐标．
（2）求．
【分析】（1）根据对称性质分别找出△ABC顶点关于x轴的对称的对应点A1，B1，C1，再依次连接对应点即可得到所求图形，再根据图形写出点的坐标即可；
（2）利用割补法求出面积，即可解题．
【解答】解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，如图1即为所求；
由图知：A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）；
（2）△A1B1C1的面积＝3×31×31×22×3＝3.5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称的性质．
23．（8分）先化简，再求值：，其中a＝2．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[]•
•
，
当a＝2时，
原式0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
24．（8分）如图，点D是∠BAC内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，点M，N分别在∠BAC的两边上，且AM＝AN，DM＝DN．求证：DE＝DF．
【分析】先证明△ADM≌△ADN（SSS）得出∠MAD＝∠NAD，再利用角平分线的性质即可证明．
【解答】证明：在△ADN与△ADM中，
，
∴△ADN≌△ADM（SSS），
∴∠MAD＝∠NAD，
∴AD是∠BAC的角平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，熟记角平分线的性质、全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25．（8分）某超市用5000元购进一批新品种葡萄进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金第二次购进该品种葡萄，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进葡萄数量是试销时的2倍．
（1）求试销时该品种葡萄的进货价是每千克多少元？
（2）求两次共购进葡萄多少千克？
【分析】（1）设试销时该品种葡萄的进货价是每千克x元，则第二次购进该品种葡萄的进货价是每千克（x+0.5）元，根据第二次购进葡萄数量是试销时的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）根据数量＝总价÷单价，即可求出两次购进葡萄的数量．
【解答】解：（1）设试销时该品种葡萄的进货价是每千克x元，则第二次购进该品种葡萄的进货价是每千克（x+0.5）元，
根据题意得：2，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
则两次共购进苹果×3＝3000（千克），
答：试销时该品种葡萄的进货价是每千克5元；
（2）由（1）可知，5000÷5＝1000（千克），
∴1000+2×1000＝3000（千克），
答：两次共购进葡萄3000千克．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．
26．（8分）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： （x﹣2）4 ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【解答】解：（1）故选：C；
（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，
设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+1）（y+7）+9，
＝y2+8y+16，
＝（y+4）2，
＝（x2﹣4x+4）2，
＝（x﹣2）4；
故答案为：（x﹣2）4；
（3）设x2+2x＝y，
原式＝y（y+2）+1，
＝y2+2y+1，
＝（y+1）2，
＝（x2+2x+1）2，
＝（x+1）4．
【点评】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
27．（8分）（1）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动，当∠EAF＝45°时，求证：DF+BE＝EF；
（2）如图2，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC，且∠B＝∠D＝90°，点E、F分别在边BC、DC上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，然后推出∠AFG＝∠AFE＝45°，判定△AFG≌△AFE，得到FG＝EF，然后等量代换即可解决问题；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，然后推出∠AFG＝∠AFE＝∠BAD，判定△AFG≌△AFE，得到FG＝EF，然后等量代换即可推出上面的结论仍然成立．
【解答】（1）证明：如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∴点C、D、G三点共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
又∵∠DAG＝∠BAE，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠FAG＝∠FAE，
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴FG＝FE，
又∵FG＝FD+DG，DG＝BE，
∴DF+BE＝EF；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴点C、D、G三点共线，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF∠BAD，
又∵∠DAG＝∠BAE，
∴∠DAG+∠DAF∠BAD，
即∠FAG＝∠FAE，
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴FG＝FE，
又∵FG＝FD+DG，DG＝BE，
∴DF+BE＝EF．
【点评】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的周长，等边三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
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B
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