2024-2025学年江苏省八年级（上）期中数学模拟试卷

这是一份2024-2025学年江苏省八年级（上）期中数学模拟试卷，共49页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
二、解答题
3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考：
(1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；
(2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在中，是的三等分点．求证：．
4．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，中，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长AD到点E，使．请根据小聪的方法解决以下问题：
（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，P为的中点．
（2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形的面积；
（3）如图2，若A，C，D不共线，，求证：；
（4）如图3，若点C在上，记锐角，且，则的度数是______．（用含α的代数式表示）
5．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明）
（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）在边长为12的等边三角形中，点Q是上一点，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．

①如图1，若，当__________秒时，；
②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形；
（2）如图3，等腰三角形，，，点P是上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
①取中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形；
②若点P运动到中点处静止，点M，N分别为，上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值．

7．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，在中，，，，三点都在直线上，．
(1)如图①，若，，与的数量关系为______．
(2)如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
(3)如图③，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以 的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由．
8．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）【问题提出】八（1）班的数学学习兴趣小组在学习了苏科版八年级上册数学课本第1章“数学活动”《关于三角形全等的条件》后，对三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”）有了更加深刻的理解，小组同学根据数学活动中提出的问题，继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】第一种情况：当是直角时，．
（1）如图①，在和，，，，根据________，可以知道．
第二种情况：当是钝角时，．
（2）如图②，在和，，，，且、都是钝角，求证：．
第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．
（3）在和，，，，且、都是锐角，请你用尺规在图③中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论：在和中，，，，且、都是锐角，若________，则．
9．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，，，点为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．
(1)如图1，当点在线段上时，过点作于，直接写出，，的关系：______；
(2)如图2，连接，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：；
(3)当点在射线上时，连接交直线于，若，则的值为______．
10．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．
(1)小亮同学认：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是什么？并给出理由．
(2)如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
(3)如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
(4)如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足1中的结论，请直接写出与的数量关系并加以说明．
11．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，．点从点出发以1的速度沿向点匀速移动，设移动时间为．
(1)如图①，若连接、交于点．当时，求出的值；
(2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，点从点出发以1.5的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动．点同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，当为何值时，以为顶点的三角形与全等？并求出相应的的值；
(3)如图③，连接交于点，当，时，证明．
12．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图1，在中，点D是上一定点，点E是上一动点．
(1)设．
①当时，求的度数；
②在图2中，作出点E使与β互补(要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法)；
(2)把沿着所在的的直线折叠，使A的对应点落在的外部，如图3，和相邻的外角的平分线相交于点G．①求证：；
②当时，试探究是否为定值，若是定值，求出的度数，若不是定值，请说明理由．
13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）问题提出：．
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当 时，与是偏等积三角形；
问题探究：
（2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为 ；
问题解决：
（3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由．
14．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．
如图，，，，回答下列问题：

(1)求证：和是兄弟三角形；
(2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．
①请在图中通过作辅助线构造，并证明，
②求证：；
(3)求证：．
15．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在中，，，边上的中线AD的取值范围．
(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长AD到Q使得；
②再连接把集中在中；
③利用三角形的三边关系可得，则AD的取值范围是____．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)请写出图1中与的关系并证明；
(3)思考：已知，如图2，AD是的中线，，，，试探究线段AD与的数量和位置关系，并加以证明．

16．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图 1， 已知直线 ，线段 在直线 上 ，垂直 交 于点 C，且 ，P是线段 上异于两端点的一点 ，过点 P 的直线分别交 、 于点 D，E（点 A，E位于点 B 的两侧）， 且．连接 ．

(1)若，则 = ；
(2)求证： ；
(3)如图 2 ，连接 与 相交于点 F，若 ， 求的值 ．
17．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，已知中，，点D为的中点．
(1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度
(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：
①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？
②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？
18．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．
求证：；
(3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______．
19．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在长方形中，，，连接，．
(1)如图1，过点A作的垂线，求线段的长度；
(2)如图2，已知动点从点A出发以的速度沿的路径向终点运动，动点以的速度沿的路径向终点运动运动，两点同时出发并开始计时，当两点都到达终点时计时结束，在某时刻分别过点作于点，于点N，设运动时间为秒，当为何值时，与全等？
20．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）
(1)如图1，在中，，，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，、、三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．
(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，，，．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作 于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出结果即可）
参考答案：
1．D
【详解】解：在正方形和中，，，
，即，
在和中，，，
，
，故①正确；
设相交于点N，
，
，
，
，
，故②正确；
过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，故④正确；
同理可得，
，
在和中，
，，
，
，
是的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确，共4个．
故选：D．
2．D
【详解】解：为的角平分线，
，
在和中，
，
，①正确；
，
，
，
，
，
，②正确，
，
，
，
，
，
，③正确；
过作，交的延长线于点，
， 平分，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，④正确；
故选：D．
3．(1)
(2)，证明见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接．
∵AD是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2），理由：
如图2，延长AD到，使得，连接BM，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
又∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和，
∵为中点， 为三等分点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴,
同理可得: ,
∴，
此时, 延长交于 点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
4．（1）；（2）；（3）证明见解析；（4）
【详解】解：（1）延长AD到点E，使．
∵AD是边的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2）解：如下图，延长交延长线于点，
∵，
（同旁内角互补，两直线平行），
，，
为的中点，
，
，
，，，
，
∵，
，
，
则，
．
（3）延长至点，使得，连接、、，
∵，
，
，，
，且，
，
，
∵，
，
，，
∵，
，
，
同理可得，，
．
（4）过点C作交于点M，如图，
由（3）可知，
，
，
和互余，
，
，
∴
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
5．（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，．
【详解】解：（），
理由如下：
如图，延长至，使，连接，

在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（）（）中的结论仍然成立，
理由如下：
如图，延长至，使，连接，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）（）中的结论不成立，，
理由如下：如图，在上截取，连接，

同（）中证法可得，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
6．（1）①4②8（2）①5或8②2或
【详解】解：（1）①是等边三角形，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
由题意可知：，
解得：，
∴当的值为4时，；
②当点在边上时，

此时不可能为等边三角形；
当点Q在边上时，

若为等边三角形，则，
由题意可知，，
∴，
即：，解得：，
∴当时，为等边三角形；
（2）①当时，
， 为等腰三角形，
当时，，

∴，
∴，
∴，，为等腰三角形，
当时，
上不存在点P使为等腰三角形，
∴当或8时，为等腰三角形，
②

由题意可知：，，
∴，
若，
则
∴，，
解得：，
若，
则，
，，
解得：，
综上所述：当全等时，a的值为2或．
7．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)存在，使得与全等，，或，
【详解】（1）解：（1），，
，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：成立，，，理由如下：
同（1）得：，
，，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当时，，，
，
，
，
；
当时，
，，
，，
综上所述，存在，使得与全等，，或，．
8．（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或．
【详解】解：（1）如图①，
，
在和中，，
，
故答案为：；
（2）证明：如图②，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，
，且、都是钝角，
，
即，
在和中，，
，
，
在和中，，
，
，
在和中，，
；
（3）解：如图③中，在和，，，，
和不全等；
（4）解：由图③可知，，
，
当时，就唯一确定了，
则．
当，时，即，
在和中，，
，
故答案为：或．
9．(1)
(2)见解析
(3)或
【详解】（1）解：，，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
∴，
∴，
∵
；
（2）证明：如图2，过点作，
，，
，
，，
，
又，，
，
，
，
，
又，，
，
；
（3）如图，当点在线段的延长线上时，连接交直线于，过点作，交的延长线于，
，
，
设，则，，
，，
，
，，
，
又，，
，
，，
又，，
，
，
，
，
，
．
如图4，点在线段上，过点作，
同理可得：，
设，则，
，
，
，
，，
，
综上所述，或，
故答案为：或．
10．(1)，理由见解析
(2)仍成立，理由见解析
(3)210海里
(4)，理由见解析
【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，

在和中，
，
，
，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：仍成立，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
．
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，延长、交于点，如图3，
，，
，
，，
在四边形中：，且，
四边形符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
（4）解：结论：．
理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，即
在和中，
，
，
，，
∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足（1）中的结论，
即，
∴
在和中，
，
，
，
，
，
，
即，
．
11．(1)1
(2)当，或，时，以为顶点的三角形与全等
(3)见详解
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据题意，可知，，，
∴，，，
∵，
∴当时，有，
即①，②，
由①②可得，；
当时，有，，
即③，④，
由③④可得，．
综上所述，当，或，时，以为顶点的三角形与全等；
（3）证明：∵当，时，，
∵，
∴，
∴点在点之间，
∵，，
∴，
如图，连接交于，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
12．(1)①；②见解析
(2)①见解析；②是定值，
【详解】（1）①解： ，，
，
，，
；
②解：如图，作，点E即为所求，
由①可得，
，
，
，
，
与β互补；
（2）①证明：如图3，
根据题意得：平分，平分，
，
，
，
，
，
；
②是定值，
如图，
，，
由折叠的性质得到，
，即，
，
由①得．
13．（1）；（2）3；（3）是，理由见解析
【详解】解：（1）如图1，连接，
与在、边上的高相等，
当，与面积相等，
，，
，
，，，
与不全等，
此时与是偏等积三角形，
故答案为：．
（2）如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，且，，
，
，
线段的长度为正整数，
，
故答案为：3．
（3）与是偏等积三角形，
理由：如图3，
，
，
，
，
，
，，
与不全等，
作于点，交的延长线于点，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
与面积相等，
与是偏等积三角形．
14．(1)证明见详解
(2)①证明见详解②证明见详解
(3)证明见详解
【详解】（1）证明： ，
，
又，，
和是兄弟三角形；
（2）证明：①延长至，使，

为的中点，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
，
，
又，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）证明：如图，延长交于点，

，
，
，
，
，
，
．
15．(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【详解】（1）解：∵且
∴
故答案为：
（2）解：，理由如下：
∵是边上的中线
∴
∴
（3）解：，理由如下：
延长到Q使得，连接，延长交于点

∵是边上的中线
∴
16．(1)
(2)见详解
(3)12
【详解】（1）解：如图1中，
∵，
故答案为
（2）∵，
在 和 中，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在 和 中，
∴，
∴，
在 和 中，

17．(1)①全等，见解析；②7.5厘米/秒
(2)①秒；②点P与点Q第2023次在AC边上相遇
【详解】（1）①全等，
因为（秒，
所以（厘米），
（厘米），为中点，
（厘米），
（厘米），
，
，
在与中，
，
；
②因为，
所以，
因为，
要使与全等，只能，
即，
故，
所以点、的运动时间：（秒，
此时（厘米秒）；
（2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，
设经过秒后与第一次相遇，依题意得，
解得（秒，
此时运动了（厘米），
又因为的周长为56厘米，，
所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇；
②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，
，
解得：，
，
，
，
，
点在边上．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，作交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵．
（3）当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则，
∵，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴的值为；
当点D在线段上时，作于点G，
同理可证：，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
19．(1)
(2)2或12或
【详解】（1）
（2）由题意可知，，
，
，

要使与全等，
只要即可．
当点在上，点在上时
，，，
即，
解得．
当点在上，点在上时，
，，
即，
解得．
当点到达点，点在上时
，，
即，
解得．
综上所述，当t的值为2或或12时，与全等．
20．(1)；
(2)成立，证明见解析；
(3)6或10．
【详解】（1）解：证明：，，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
（2）解：成立．
证明：，
，
，
在和中，
（），
，
；
（3）解：①当时，点P在上，点Q在上，
则
当即，解得时，
于F，于G，，
，
，
在和中，
，
；
②当时，点P在上，点Q也在上，
此时相当于两点相遇，则有，解得，
③当 时，点Q在上，点P在上，
当即，解得时（舍去）；
综上所述：当t等于6秒或10秒时，与全等；
故答案为：6或10