北师大版数学七上期末培优训练专题03 数轴上动点问题综合的三种考法（2份，原卷版+解析版）

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1.数轴上两点间的距离
数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
2.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.
类型一、求运动的时间
例．在数轴上标出数所对应的点；
两点间距离=____；两点间距离=；
数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离=；
若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：
①为何值时两点重合？
②为何值时两点之间的距离为？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）①；②2或4
【分析】直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答案；
用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离；
根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答案；
①分别用含t的代数式表示出P，Q表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可；
②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可．
【详解】如图，
之间的距离为，B，C两点间距离为；
两点之间的距离为；
①设点表示的数为，点表示的数为，
令解得，
②间的为，令
解得．
【点睛】本题主要考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键．
例2．小颖在一张纸上画一条数轴，并在数轴上标出、、三个点，点表示的数是，点在原点的右边且与点相距个单位长度．
（）点表示的数是__________．
（）将这张纸对折，此时点与表示的点刚好重合，折痕与数轴交于点，求点表示的数．
（）若点到点和点的距离之和为，求点所表示的数．
（）点和点同时从初始位置沿数轴向左运动，它们的速度分别是每秒个单位长度和每秒个单位长度，运动时间是秒．是否存在的值，使秒后点到原点的距离与点到原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）12；（2）4；（3）-10.5或14.5；（4）t=或20s
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，可求出点B表示的数；
（2）根据对称可知点C到-4和12的距离相等，可求点C表示的数为：（-4+12）÷2=4；
（3）分两种情况讨论：①当点在A点的左边，②当点在B点的右边，然后利用数轴上两点间的距离公式即可解答；
（4）由t秒后点B到原点的距离是点A到原点距离相等，列出一元一次方程即可．
【详解】解：（1）-8+20=12，所以点B表示的数为：12;
（2）（-4+12）÷2=4，
则折痕与数轴有一个交点C表示的数为：4；
（3）∵AB=20，点到点A和点B的距离之和为25，
∴点应在线段AB的外，
分两种情况：
①当点在A点的左边，设点表示数为x，
∵|A|=|x-（-8）|=-x-8，
|DB|=|x-12|=12-x，
∴（-x-8）+（12-x）=25，
解得：x=-10.5，
所以此时点所表示的数为：-10.5，
②当点在B点的右边，设点表示数为x，
∵|A|=|x-（-8）|=x+8，
|B|=|x-12|=x-12，
∴（x+8）+（x-12）=25，
解得：x=14.5，
所以此时点所表示的数为：14.5，
故若点到点A和点B的距离之和为25，则点E所表示的数为：-10.5或14.5；
（4）存在．
由题意得：|-8-t|=|12-2t|
解之得：8+t=12-2t或8+t=2t-12
即t=或t=20
故存在；t的值是或20.
所以当t=或4s时，点B到原点的距离是点A到原点距离相等．
故答案为（1）12；（2）4；（3）-10.5或14.5；（4）t=或20s
【点睛】此题考查了利用数轴的有关知识解决实际问题，解题的关键是：利用分类讨论思想解决问题．
【变式训练1】定义：若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点.已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为.
（1）若点为线段的中点，则点对应的数为______.若为线段的中点时则点对应的数为______.
（2）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒向右运动.
①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空
______；______.
②经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？
【答案】（1）1 ，10；（2）①或（或者写），或（或者写），②或或
【分析】(1)根据线段中点的定义得出规律,再利用规律解答即可.
(2)①根据题意得出A、B、P表示的数,从而得出结论;
②分三种情况讨论:若P为AB的中点,若A为BP的中点,若B为AP的中点,根据(1)所得结论列方程求解即可.
【详解】(1)∵P为线段AB的中点,∴AP=PB,
∴x-a=b-x,2x=a+b,
∴x=;
若B为线段AP的中点,则2b=a+x,解得:x=2b-a=8-(-2)=10.
故答案为:1,10.
(2)由题意得:A表示的数为-2-t,B表示的数为:4-t,P表示的数为:-16+2t.
①AP=|(-16+2t)-(-2-t)=|14-3t|,BP=|(-16+2t)-(4-t)|=|20-3t|,∴AP=-3t+14或14-3t;
BP=20-3t或3t-20.
故答案为:-3t+14或14-3t;20-3t或3t-20.
②分三种情况讨论:
若P为AB的中点,则:2(-16+2t)=(-2-t)+(4-t),解得:t=;
若A为BP的中点,则:2(-2-t)=(-16+2t)+(4-t),解得:t=;
若B为AP的中点,则:2(4-t)=(-2-t)+(-16+2t),解得:t=.
综上所述:t的值为: 或或时, 点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点.【点睛】本题考查了非负数的性质,数轴,两点间的距离,一元一次方程的应用,运用方程思想、分类讨论思想结合是解题关键.
【变式训练2】已知是多项式的常数项，是项数.
（1） ； ；
（2）在数轴上，点、分别对应实数和，点到点和点的距离分别为和，且，试求点对应的实数.
（3）动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动；动点N从B点以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，到达A点后，立即改变方向往右运动到达B点后停止运动；若M、N同时出发，在此过程中，经过多少秒时点N为MB或MA的中点.
【答案】(1)-5;3;(2)-8或6;(3) 、或.
【分析】(1)根据多项式的性质得出a、b即可.
(2)根据绝对值的几何意义,分类讨论.
(3)根据数轴上点运动到不同的位置时,分类讨论.
【详解】(1)a=-5,b=3.
(2)由题意得:A表示-5,B表示3,则|AB|=8.
要使得一点P到A的距离和到B的距离为14,则除去AB之间的距离8还差6.
①P点需要距离A点3,距离B点11,则P为-8.
②P点需要距离B点3,距离A点11,则P为6.
故P为:-8或6.
(3)设经过的时间为t秒.N到达A点时t=,N停止时t=
当N未到达A点:M:t-5 N:3-3t
①当N为MB的中点时
B－N=N－M
B+M=2N
3+t-5=2(3-3t) t=
②当N为MA的中点时
M－N=N－A
M+A=2N
t-5+(-5)=2(3-3t) t=
当N到达A点时:M:t-5 N: 3(t-)-5
③当N为MA中点时
M－N=N－A
M+A=2N
t-5+(-5)=2[3(t-)-5] t=
④当N为MB中点时
B-N=N-M
B+M=2N
3+(t-5)=2[3(t-)-5] t=＞(舍去)
综上所述,经过、或秒时点N为MB或MA的中点.
【点睛】本题考查多项式性质、绝对值得几何意义和线段动点问题,关键在于结合数轴分类讨论.
【变式训练3】已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．
（1）求a、b的值；
（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F在数轴上对应的数为： ．
（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）．
【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒
【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b；
（2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解；
（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可．
【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，
∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）
＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3）＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15，
∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，
解得b＝﹣20，a＝12；
（2）设运动时间为t秒．
由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t，
故答案为：12﹣6t，﹣20+2t；
（3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，
相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝；
相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），
相遇点为﹣20+2×4＝﹣12，
点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝；
由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t．
当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝；
当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝．
答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒
【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键．
类型二、定值问题
例1．如图，在数轴上A点表示数－3，B点表示数b，C点表示数c，且b.c满足
（1）b= ，c= ．
（2）若使C．B两点的距离是A．B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度．
（3）点A．B．C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒；
①点A．B．C表示的数分别是 . . （用含m.t的代数式表示）；
②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当m为何值时，2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求出此时2d1－d2的值．
【答案】（1）b=-1，c=4；
(2) 1或9；
（3）①-3-mt；-1+2t；4+5t；②m=4；2d1－d2的值为12．
【分析】（1）由，根据平方及绝对值的非负性可得b+1=0，c-4=0，据此可求得b、c的值；
（2）先求出AB和BC的长度，结合数轴即可得出点C向左移动的距离，有两解；
（3）①结合路程=时间×速度写出答案；
②根据①先表示出d1、d2，从而表示出2d1-d2，然后根据2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变得出t的系数为0，即可求出m的值，继而求出2d1－d2的值.
【详解】解：（1）∵
∴b+1=0，c-4=0
∴b=-1，c=4
(2)由数轴可知：AB= 2，
∴B C=4，
∴点C向左移动后的数是3或-5
∴需将点C向左移动1或9个单位；
故答案是：1或9；
（3）①点A表示的数是-3-mt；点B表示的数是-1+2t；点C所表示的数是4+5t．
故答案是：-3-mt；-1+2t；4+5t；
②∵点A表示的数是-3-mt；点B表示的数是-1+2t；点C所表示的数是4+5，
∴d1=4+5t-(-1+2t)=3t+5，d2=-1+2t-(-3-mt)=（m+2）t+2，
∴2d1-d2=2（3t+5）-[（m+2）t+2]=（4-m）t+12，
∵2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变
∴4-m=0，
∴m=4，
故当m=4时，2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变，此时2d1－d2的值为12．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握距离公式及平移规律是解决问题的关键.本题体现了数形结合的数学思想．
例2．如图，在数轴上点表示的数是-8，点表示的数是2.动线段（点在点的右侧），从点与点重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为秒.

（1）①已知点表示的数是-6，试求点表示的数；
②用含有的代数式表示点表示的数；
（2）当时，求的值.
（3）试问当线段在什么位置时，或的值始终保持不变？请求出它的值并说明此时线段的位置.
【答案】（1）①-2；②；（2）6或2；（3）当线段在线段上时或当点在线段内，值保持不变，值为14，当线段在点的右侧时的值保持不变，值为14
【分析】（1）①已知点表示的数是-6，（点在点的右侧），即可得到点D的坐标；②点与点重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为秒.
AC=2t,AD=2t+4，即可表示点表示的数；
（2）先求出，再分当点在点左侧和当点在点右侧讨论，列方程求解即可；
（3）分当线段在线段上时（图1）或当点在线段内时（图2）和当线段在点的右侧时（图3）讨论，求出或的值即可得出结论.
【详解】解:（1）①已知点表示的数是-6，（点在点的右侧），
∴点表示的数是-2；
②∵点从与点重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为秒，
∴AC=2t,AD=2t+4，
∴点表示的数2t+4-8=2t-4;
（2）∵且线段移动的速度为每秒2个单位，
∴
①当点在点左侧（图1）

∵，
∴
∴
②当点在点右侧（图2，3）
∵，
∴
∴
综上所述，或
（3）①当线段在线段上时（图1）或当点在线段内时（图2）


的值保持不变，且
②当线段在点的右侧时（图3）

的值保持不变，且
【点睛】此题主要考查了数轴和一元一次方程的应用.正确的画出图形，进行分类讨论是解决问题的关键.
【变式训练1】如图：在数轴上点表示数点示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处
； _； _；
若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_ __表示的点重合；
点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则_ _，_ _，__ _；（用含的代数式表示）
请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．
【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据在左边两个单位长度处，在右边个单位处即可得出a、c的值；
（2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；
（3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用数轴上两点间的距离即可求出AB、AC、BC的值；
（4））将（3）的结论代入中，可得出的值不会随着时间的变化而变化，即为定值，此题得解．
【详解】（1）b是最大的负整数，
在左边两个单位长度处，在右边个单位处
，
（2）将数轴折叠，使得点与点重合
（3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动
t秒钟过后，根据得：，，
又，，
点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，
，，；
（4）由（3）可知：
，
的值为定值21．
故答案为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．
【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键．
【变式训练2】如图，记数轴上A、B两点之间线段长为，（单位长度），（单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．
(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝_____．
(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？
(3)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为中点．
①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为．则点M表示的数为_____，点N表示的数为______．（用代数式表示）
②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)，14，24
(2)当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是﹣2
(3)①；；②MN的长是定值，
【分析】（1）数轴上点A右边的点B表示的数是点A表示的数加上这两个点的距离，数轴上点D左边的点C表示的数是点D表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B和点C表示的数，因为点C在点B的右边，所以用点C表示的数减去点B表示的数即得到线段的长；
（2）设运动的时间为t秒，先确定点B表示的数为，点B与点C相距24个单位长度，两个点相向运动，则点B与点C重合时，点B与点C运动的距离和为24，列方程求出t的值再求出点B表示的数即可；
（3）①先用t的代数式表示出A、B、C、D四点对应的数，再根据中点公式即可求解；
②用两点间距离公式即可求解．
【详解】（1）解：因为点A表示的数是，点B在点A右侧，且，
所以，
所以点B表示的数是；
因为点D表示的数是15，点C在点D的左侧，且，
所以，
所以点C表示的数是14，
点B与点C的距离是（单位长度），
所以线段BC的长为24个单位长度，
故答案为：，14，24．
（2）设运动的时间为t秒，则点B表示的数是，
根据题意得，
解得，
所以，
答：当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是．
（3）①根据题意得，t秒后点A对应的数为：，点C对应的数为：，
∵M为中点，
∴点M对应的数为：，
t秒后点B对应的数为：，点D对应的数为：，
∵N为中点，
∴点N对应的数为：，
故答案为：；；
②线段的长为定值，
∵点M对应的数为，点N对应的数为；
∴，
∴线段的长为定值．
【点睛】此题考查数轴上两点的距离的求法、解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解行程问题中相遇问题和追及问题的数量关系并且用代数式和等式表示这些关系．
类型三、点的位置
例．如图所示，在数轴上有三点，点从数轴上表示4的点开始往左运动，速度为1个单位/，运动时间为．

（1）当时，线段_________；线段___________；
（2）当时，_________；
（3）当为何值时，的值最小？
（4）当点运动到何处时，最小？
【答案】（1）1，2；（2）5；（3）2≤t≤5；（4）运动到点B处
【分析】（1）求出t=3s时点P表示的数，再求出PC和PB；
（2）求出t=6s时点P表示的数，再求出PC和PB，再相加；
（3）可知PB+PC的值最小时，点P在线段BC上，求出t的最值即可；
（4）由题意可得PA+PB+PC的值最小时，点P与点B重合．
【详解】解：（1）当t=3s时，
点P表示的数为4-3=1，
则PC=1，PB=2，
故答案为：1，2；
（2）当t=6s时，
点P表示的数为4-6=-2，
则PC=4，PB=1，
∴PB+PC=5，
故答案为：5；
（3）当PB+PC的值最小时，
点P在线段BC上，
则t的最大值为：5，最小值为2，
∴t的取值为2≤t≤5；
（4）若PA+PB+PC的值最小，
即点P到A、B、C三点的距离之和最小，
∴此时点P与点B重合．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解题意，结合图像解决问题．
【变式训练1】已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的点重合；
(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：
①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．
【答案】(1)-4
(2)①-5；②A、B两点表示的数分别是-3，7；③x的值为-4或8．
【分析】（1）先求出中心点，再求出对应的数即可；
（2）①求出中心点是表示2的点，再根据对称求出即可；②求出中心点是表示2的点，求出A、B到表示2的点的距离是5，即可求出答案；③根据点P在数轴上的位置，分类讨论，当点P在点A的左侧时，当点P在点A、B之间时，当点P在点A的右侧时，根据各种情形求解即可．
【详解】（1）解：∵折叠纸面，使数字1表示的点与-1表示的点重合，可确定中心点是表示0的点，
∴4表示的点与-4表示的点重合，
故答案为∶-4；
（2）解：①∵折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，可确定中心点是表示2的点，
∴表示数9的点与表示数-5的点重合；
故答案为∶ -5；
②∵折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），
∴A、B两点距离中心点的距离为10 ÷2= 5，
∵中心点是表示2的点，
∴A、B两点表示的数分别是-3，7；
③当点P在点A的左侧时，
∵PA+PB＝12，
∴-3-x+7-x=12，
解得x=-4；
当点P在点A、B之间时，此时PA+PB=12不成立，故不存在点P在点A、B之间的情形；
当点P在点A的右侧时，
∵PA+PB＝12，
∴x-(-3)+x-7=12，
解得x=8，
综上x的值为-4或8．
【点睛】本题考查了数轴的应用，能求出折叠后的中心点的位置是解此题的关键．
【变式训练2】已知A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离．已知数轴上A，B两点对应的数分别为－1，3，P为数轴上一动点．
(1)若点P到A，B两点之间的距离相等，则点P对应的数为______．
(2)若点P到A，B两点的距离之和为6，则点P对应的数为______．
(3)现在点A以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B以0.5个单位长度/秒的速度运动，A和B的运动方向不限，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点B所对应的数是多少？
【答案】(1)1；
(2)4或；
(3)点表示的数为或或或．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；
（2）设点对应的数为，根据题意可得；分类讨论，当时，②当时，③当时，计算即可得出答案；
（3）设经过秒，分情况讨论①当点点相向而行时，经过秒，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，②当点点同向向右运动时，经过秒，点表示的数为，点表示的数为，则，③当点点同向向左运动时，求出的值，即可算出点对应的数．
【详解】（1）解：根据题意可得，
，
因为点到，两点之间的距离相等，所以点到点和点3的距离为2，
则点对应的数为：1；
故答案为：1；
（2）解：设点对应的数为，
则；
①当时，最大值为4，不满足题意；
②当时，解得：；
③当时，解得：，
点对应的数为4或；
故答案为：4或；
（3）解：设经过秒，
①当点点相向而行时，
经过秒，点表示的数为，点表示的数为，
则，
解得或，
点对应的数为或；
②当点点同向向右运动时，
经过秒，点表示的数为，点表示的数为，
则，
解得：或，
点表示的数为或；
③当点点同向向左运动时，
因为，点的运动速度大于点的运动速度，
不能满足题意．
综上：点表示的数为或或或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离的计算方法进行求解．
课后训练
1．如图，数轴上有A， B两点，分别表示的数为，，且．点P从A点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．
（1）填空： ， ；
（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；
（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；
（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）
【答案】（1） ， （2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27 ；（3）5;(4) 一共相遇了7次.
【分析】（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P，Q停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题.
【详解】解：（1） ，
（2）设运动时间为秒
解得

答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27
（3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,
∵，
∴点P所在的位置表示的数为5 .
（4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,
∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.
2．如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|．
（1）求AB的长；
（2）若点C在数轴上对应的数为，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，经过t秒后，请问：AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．
【答案】（1）3；（2）存在，或；（3）不变，值为．
【分析】（1）先利用几个非负数的和为零，则每个数都为零，列式求出a，b的值，最后根据已知的关系式即可求出AB；
（2）根据数轴上表示两点距离的方法设出P点代表的数字为x，再分别表示出对应的PA、PB、PC，最后代入关系式PA＋PB＝PC即可解答；
（3）由于运动时间为t秒，A、B、C的运动方向和运动速度已知，利用路程＝速度×时间可表示出AB和BC，再计算出AB﹣BC的值，再与运动前AB﹣BC的值比较即可得出结论，进而求出这个常数值．
【详解】解：（1）∵|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，
又∵|a＋2|≥0，（b﹣1）2≥0，
∴a＋2＝0，b﹣1＝0.
∴a＝﹣2，b＝1.
∵点A与点B之间的距离表示为AB＝|a﹣b|，
∴AB＝|﹣2﹣1|＝3
答：AB的长为3；
（2）存在点P，使得PA＋PB＝PC．
设点P对应的数为x，
当点P在点A的左侧时，即x＜﹣2，
∴PA＝|﹣2﹣x|＝﹣2﹣x，
PB＝|1﹣x|＝1﹣x，
PC＝|﹣x|＝﹣x．
∵PA＋PB＝PC，
∴﹣2﹣x＋1﹣x＝﹣x．
解得：x＝﹣．
当点P在点A的右侧，点B的左侧时，即﹣2＜x＜1，
∴PA＝|﹣2﹣x|＝x＋2，
PB＝|1﹣x|＝1﹣x，
PC＝|﹣x|＝﹣x．
∴x＋2＋1﹣x＝﹣x．
解得：x＝﹣．
当点P在点B 的右侧时，PA＋PB＞PC，不合题意．
综上，点P对应的数为﹣或﹣；
（3）AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．
由（1）知：AB＝3，
由（2）知：BC＝﹣1＝，
∴AB﹣BC＝．
∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，
同时，点B以每秒4单位长度的速度向右运动，
∴AB＝t＋3＋4t＝5t＋3.
∵点B和C分别以每秒4单位长度和9个单位长度的速度向右运动，
∴BC＝（9﹣4）t＋（﹣1）＝5t＋．
∴AB﹣BC＝（5t＋3）﹣（5t＋）＝．
∴AB﹣BC的值不随着时间t的变化而改变．
∴AB﹣BC的值不会随着时间t的变化而改变且这个常数的值为．
【点睛】本题主要考查了数轴两点之间的距离公式的应用，掌握根据数字的大小去掉绝对值符号，再结合已知条件列出方程并求解成为解答本题的关键．
3．如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．
（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；
（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；
（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．
【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；
（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，；
（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，
由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，，
∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，
∴点P和点Q表示的数分别为，，
∴
∵，
∴，
∴；
如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，
同图1可知点P和点Q表示的数分别为，，
∴
∵，
∴，
∴，不符合题意；
如图3所示，当M、N都在A点左侧时，
同图1可得点P和点Q表示的数分别为，，
∴，，
∵，
∴，此时方程无解；
如图4所示，当M、N都在A点左侧时，
同理可得点P和点Q表示的数分别为，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴综上所述，当，t=1或18．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键．
4．已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________
【答案】(1)见解析；
(2)①4 ，2 ，4；②或或或
【分析】（1）根据题意画出数轴即可；
（2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①当时，P点表示的数为6-4=2，
∴，，，
故答案为：4、2、4；
②当P从C向A运动，时，
，，，
∵，
∴，
解得；
当P从C向A运动，时，
，，，
∵，
∴，
解得；
当P从A向C运动时，当时，
，，，
∵，
∴，解得；
当P从A向C运动时，当时，
，，，
∵，
∴，解得；
综上所述，t的值为或或或．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．
5．如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6．
(1)直接写出、两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数；
(3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值．
【答案】(1)22
(2)或
(3)当时的运动时间的值为2或秒
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离；
（2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可；
（3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：、两点之间的距离是：；
（2）解：设点表示的数为．分两种情况：
①当点在线段上时，
，
，
解得；
②当点在线段的延长线上时，
，
，
解得．
综上所述，点表示的数为或；
（3）解：分两种情况：
①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
解得，符合题意；
②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，
此时点表示的数为，点表示的数为，
，
，
当时，，
解得；
当时，，
解得，不符合题意，舍去；
综上所述，当时的运动时间的值为2或秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键．
6．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
(1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ；
(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？
【答案】(1)，
(2)3
(3)秒或秒
【分析】（1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数；
（2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长；
（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，
当移动时间为秒时，；
又点表示有理数，
当移动时间为秒时，点表示的数为．
故答案为：，；
（2）当点出发秒时，点表示的数为，点表示的数为，
此时．
故答案为：；
（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：在的条件下，当点到达点之前，点移动秒或秒时恰好与点之间的距离为个单位．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．