北师大版数学七上期末培优训练专题10 线段中的四种动点问题与四种数学思想 （2份，原卷版+解析版）

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【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程；
2.线段等量代换模型：
若，则，即
3.定和型中点模型：
若，分别是，的中点，则
线段的动点问题解题步骤：
1.设入未知量t表示动点运动的距离；
2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3.根据题设条件建立方程求解；
4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：
（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．
(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
题型4：阅读理解型（新定义）问题
例5．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】
如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.
（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【数学思想】
1.分类讨论思想
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论。
常见分类依据：①无图常需分类讨论； ②在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨论思想的应用，即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。
例1．（2022·重庆初一期中）已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A．B．C．或D．或
变式1．（2022·江苏·七年级期中）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
变式2．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
2.数形结合思想
以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。 在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思想求最值和定值是常考点。
例2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接，在线段上求作线段，使；
（2）如图2，点是的中点，、分别是线段、上的点，且，．若，求线段的长．
变式1．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm．
变式2.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．
①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝ cm；
②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
3.整体思想
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。运用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数x，并用x表示有关线段。在线段计算中，求一条线段上的两个中点之间的距离时常用到整体的思想。
例3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
变式1．（2022·辽宁抚顺·九年级）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB的中点．
(1)若，，求线段MN的长；(2)若，，求线段MN的长．
4.方程思想
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法，运用方程思想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.有关线段比的问题（或倍分关系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山东烟台·期中）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒B．3秒C．秒或秒D．3秒或6秒
变式1．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
变式2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
课后专项训练
1．（2022•武侯区期末）已知线段AB＝10cm，点C为直线AB上一点，且AC＝2cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．4cmB．6cmC．4cm或5cmD．4cm或6cm
2．（2022·重庆梁平·七年级期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有______个．
3.（2022·福建漳州·七年级期末）如图，AB＝12cm，C为线段AB上一点，且AC＝2BC．(1)求AC的长；(2)若D为BC的中点，点E在直线AB上，且AE＝3cm．请你把图形补充完整；并求DE的长．
4．（2022•临淄区期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
5.（2022·成都市·七年级期中）已知：点C在直线AB上，点D、E分别是AC、BC的中点．
（1）当点C在线段AB上时，如图（1），①若AC＝5，BC＝3，则DE＝ ；
②若AC+BC＝a，你能猜想出DE的长度吗？写出你的猜想并说明理由；
（2）当点C在线段BA的延长线上，且AC＝m，BC＝n时，你能猜想出DE的长度吗？请在图（2）上画出图形，并直接写出你的猜想结果．
6.（2022·山东·七年级期中）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长．
7.（2022·广东·七年级期中）如图，点P是线段AB上的一点，点M、N分别是线段AP、PB的中点．
（1）如图1，若点P是线段AB的中点，且MP＝4cm，则线段AB的长 cm；
（2）如图2，若点P是线段AB上的任一点，且AB＝12cm，求线段MN的长；
（3）小明由（1）（2）猜想到，若点P是直线AB上的任意一点，且AB＝12cm，线段MN的长与（2）中结果一样，你同意他的猜想吗？说明你的理由．
8．（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点A，B，它们的对应数分别是a，b，其中a＝12．
(1)在B左侧作线段BC＝AB，在B的右侧作线段BD＝3AB（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若点C对应的数是c，点D对应的数是d，且AB＝40，求c，d的值．
(3)在（2）的条件下，设点M是BD的中点，N是数轴上一点，且CN＝4DN，请直接写出MN的长．
9．（2022·江西鹰潭·七年级期中）已知，点A，B，C在同一条直线上，点M为线段AC的中点、点N为线段BC的中点，
(1)如图，当点C在线段AB上时；①若线段AB=10，BC=4，求MN的长度；②若，则MN=_______．
(2)若AC=10，BC=n，直接写出MN的长度．（用含n的代数式表示）
10．（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）直线l上的三个点A、B、C，若满足BC＝AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC＝AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．
(1)(2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度．
11．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
12．（2022·新疆·乌鲁木齐市第136中学七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）；（2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？
13．（2022·天津和平·七年级期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．
14．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．
如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
(1)填空：①A、B两点之间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ．
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
③当t＝ 时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为 ．(2)当t为何值时，PQ＝AB．
(3)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
15．（2022·江苏镇江·七年级期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当厘米时，求t的值．
16．（2022·河南南阳·七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
【问题解决】（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
17．（2022·四川成都·七年级期末）已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______；
(2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由.(3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示).
18．（2022·四川成都·七年级期末）如图，已知点C在线段AB上，AB=20，BC=AC，点D，E在射线AB上，点D在点E的左侧．
(1)DE在线段AB上，当E为BC中点时，求CE的长；
(2)在（1）的条件下，点F在线段AB上，CF=3，求EF的长；
(3)若AB=2DE，线段DE在射线AB上移动，且满足关系式4BE=3（AD+CE），求的值．