北师大版数学七上期末培优训练专题01 丰富的图形世界（2份，原卷版+解析版）

这是一份北师大版数学七上期末培优训练专题01 丰富的图形世界（2份，原卷版+解析版），文件包含北师大版数学七上期末培优训练专题01丰富的图形世界原卷版doc、北师大版数学七上期末培优训练专题01丰富的图形世界解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
题型1. 几何体的识别
【解题技巧】认识常见的立体图形（柱体、锥体、球体、台体），掌握各类几何体的特征．
1．（2021·湖南永州市·七年级期末）下列物体是，形状是圆柱的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆柱体的特点即可判断．
【详解】A是圆柱体，B是圆椎体，C，D是不规则几何体故选A．
【点睛】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点．
2．（2021·广西河池市·七年级期末）下列几何体中，属于棱锥的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用锥体的意义，直接选择答案即可，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
【详解】解：A.是柱体，故不符合题意；B. 是柱体，故不符合题意；
C.是圆锥，故不符合题意；D.是棱锥，故符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，椎体又分为圆锥和棱锥．
3．（2021·四川成都市·七年级期末）下列几何体中，是棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案．
【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，
根据特征可得为棱柱． 故选：
【点睛】本题考查的是棱柱的概念与识图，掌握棱柱的概念是解题的关键．
4．（2021·北京九年级一模）下列几何体中，是长方体的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据长方体指由6个长方形所围成的立体图形判断即可．
【详解】解：A、该几何体是长方体，故本选项符合题意．B、该几何体是圆柱，故本选项不符合题意．
C、几何体是圆锥，故本选项不符合题意．D、几何体是球体，故本选项不符合题意．故选：A．
【点睛】此题主要考查了对立体图形的认识，熟悉各种常见立体图形即可轻松解答．
5.（2021·广西玉林市·七年级期末）下列图形属于立体图形的是（ ）
A．正方形B．三角形C．球D．梯形
【答案】C
【分析】依据立体图形的定义回答即可．
【详解】解：正方形、三角形、梯形是平面图形，球是立体图形．故选：C．
【点睛】本题主要考查的是立体图形的认识，掌握相关概念是解题的关键．
6．（2021·吉林长春市·七年级月考）将下列几何体与它的名称连起来
【答案】见解析
【分析】根据常见立体图形的特征直接连线即可．注意正确区分各个几何体的特征．
【详解】连线如图所示：
【点睛】本题考查了认识立体图形，掌握立体图形的特征是解题关键．
题型2. 几何体的特征与性质
【解题技巧】熟练掌握各类几何体的特征和性质，并能根据各自的特征和性质判定即可．
1．（2022·河北省初一期末）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是( )
A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥
【答案】D
【解析】根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选D
考点：几何体的形状
2．（2021·西安市铁一中学七年级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．长方体是四棱柱 B．八棱柱有8个面
C．六棱柱有12个顶点 D．经过棱柱的每个顶点有3条棱
【答案】B
【分析】根据四、六、八棱柱的特点可得答案．
【详解】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意；
B、八棱柱有8+2＝10个面，选项说法错误，符合题意；
C、六棱柱有2×6＝12个顶点，选项说法正确，不符合题意；
D、经过棱柱的每个顶点有3条棱，选项说法正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】此题主要考查认识立体图形，关键是认识常见的立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的特点．
3．（2022·成都市初一月考）关于棱柱，下列说法正确的是（ ）
A．棱柱侧面的形状可能是一个三角形B．棱柱的每条棱长都相等
C．棱柱的上、下底面的形状相同D．棱柱的棱数等于侧面数的2倍
【答案】C
【分析】根据棱柱的特征进行判别即可.
【解析】A棱柱侧面的形状可能是一个三角形; 错，侧面都是平行四边形
B棱柱的每条棱长都相等； 错，侧棱长相等，但不一定等于底边长
C棱柱的上、下底面的形状相同； 对，由定义可得
D棱柱的棱数等于侧面数的2倍, 错，比如正方体，有12条棱，四个侧面.故选C
【点睛】本题考查了棱柱的特征，掌握棱柱的特征是解题关键.
4．（2021·江苏连云港市·七年级期末）有一个几何体模型，甲同学：它的侧面是曲面；乙同学：它只有一个底面，且是圆形.则该模型对应的立体图形可能是（ ）
A．三棱柱B．三棱锥C．圆锥D．圆柱
【答案】C
【分析】根据圆锥的特点可得答案．
【详解】解：侧面是曲面，只有一个底面是圆形的立体图形可能是圆锥．故选：C．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟记常见几何体的特征是解题关键．
5．（2021·江苏连云港市·七年级期末）如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2B．-2C．0D．4
【答案】B
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：（个）；∴（棱块数）+（角块数）（中心块数）=；故选：B．
【点睛】本题考查了三阶魔方的特征，认识立体图形，图形的规律；解题的关键是正确的认识三阶魔方的特征，从而进行解题．
6．（2022·山东省奚仲中学初一期中）几个同学在公园玩，发现一个漂亮的“古董”. 甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形，这个长方形有八种颜色，挺好看. 通过这四个同学的对话，从几何体的名称来看，这个“古董“的形状是_______.
【答案】八棱柱
【分析】棱柱有两个面互相平行，其余各面都是多边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行；据此，再结合“这个‘古董’有8个面是正方形，2个面是多边形”，即可确定答案.
【解析】根据甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形.可知它符合棱柱的特征，可知是一个八棱柱.故答案为：八棱柱.
【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟练掌握棱柱的特征.
题型3 欧拉公式的运用
解题技巧：熟练记忆欧拉公式。 欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2
1．（2022·渠县文崇中学七年级月考）一个棱柱的面数为14，棱数是36，则其顶点数为________．
【答案】24
【分析】利用简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为：V+F-E=2，这个公式叫做欧拉公式，公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，进而得出答案．
【详解】∵简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为：V+F-E=2，
一个棱柱的面数为14，棱数为36，∴ 顶点数为：V+14-36=2，解得：V=24．故答案为：24．
【点睛】本题考查了欧拉公式，正确记忆公式是解题的关键；
2．（2021·桥柱中学七年级期末）如图所示，截去正方体的一角变成一个多面体，这个多面体有____条棱，有____个顶点．
【答案】12 7
【分析】截去正方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面、棱不变，少了一个顶点．
【详解】仔细观察图形，正确地数出多面体的棱数及顶点数，它们分别是12，7，故填：12，7．
【点睛】本题结合截面考查多面体的相关知识．对于一个多面体：顶点数＋面数−棱数＝2．
3．（2021·四川成都市·七年级期末）十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”：
（1）如图1，正四面体共有______个顶点，_______条棱．
（2）如图2，正六面体共有______个顶点，_______条棱．
（3）如图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_______个顶点，_______条棱．
（4）当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正12面体每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点处有m（m≥3）条棱，则共有12n÷2＝6n条梭，有12n÷m＝个顶点．欧拉定理得到方程：+12﹣6n＝2，且m，n均为正整数，
去掉分母后：12n+12m﹣6nm＝2m，
将n看作常数移项：12m﹣6nm﹣2m＝﹣12n，
合并同类项：（10﹣6n）m＝﹣12n，
化系数为1：m＝，
变形：＝＝＝＝．
分析：m（m≥3），n（n≥3）均为正整数，所以是正整数，所以n＝5，m＝3，即6n＝30，．
因此正12面体每个面都是正五边形，共有30条棱，20个顶点．
请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有_____条棱；_______个顶点．
【答案】（1）4；6；（2）8；12；（3）6；12；（4）30；12．
【分析】（1）根据面数×每面的边数÷每个顶点处的棱数可求点数，用顶点数×每个顶点的棱数÷2即可的棱数；
（2）用正六面体有六个面×每个面四条棱÷每个顶点处有三条棱可得正六面体共8个顶点，用8个顶点数×每个顶点处有3条棱÷2正六面体共有=12条棱；
（3）正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，用八个面×每个面有三棱÷每个顶点处有四条棱，它共有6个顶点，利用顶点数×每个顶点处有四条棱÷2可得正八面体12条棱；
（4）正20面体每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点处有m（m≥3）条棱，则共有20n÷2＝10n条梭，有20n÷m＝个顶点．欧拉定理得到方程：+20﹣10n＝2，且m，n均为正整数，可求m＝，变形：求正整数解即可．
【详解】解：（1）如图1，正四面体又四个面，每个面有三条边，每个顶点处有三条棱，
共有4×3÷3=4个顶点，
共有4个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条，
正四面体共有4×3÷2=6条棱．
故答案为4；6；
（2）如图2，正六面体有六个面，每个面四条棱，每个顶点处有三条棱，
共有6×4÷3=8个顶点，
正六面体共8个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条，
正六面体共有8×3÷2=12条棱．
故答案为：8；12；
（3）如图3正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，有八个面，每个面有三棱，每个顶点处有四条棱，共有8×3÷4=6个顶点，
它共有6个顶点，每个顶点处有四条棱，6×4÷2=12条棱．故答案为：6；12；
（4）正20面体每个面都是正n（n≥3）边形，每个顶点处有m（m≥3）条棱，则共有20n÷2＝10n条棱，有20n÷m＝个顶点．欧拉定理得到方程：+20﹣10n＝2，且m，n均为正整数，
去掉分母后：20n+20m﹣10nm＝2m，
将n看作常数移项：20m﹣10nm﹣2m＝﹣20n，
合并同类项：（18﹣10n）m＝﹣20n，
化系数为1：m＝，
变形：＝＝＝＝．
分析：m（m≥3），n（n≥3）均为正整数，所以是正整数，所以n＝3，m＝5，即10n＝30，．
正20面体共有30条棱；12个顶点．故答案为：30；12．
【点睛】本题考查正多面体的面数顶点数与棱数之间关系，掌握欧拉定理是解题关键．
4．（2022·全国七年级）对于如图①、②、③、④所示的四个平面图
我们规定：如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4个，边为AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8条．
（1）按此规定将图①、②、④的顶点①数、边数、区域数填入下列表格：
（2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系．
（3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？
【答案】（1）见解析（2）顶点数＋区域数＝边数＋1；（3）若24条边
【分析】（1）根据图形规定一一查顶点数，区域数，与边数填入表中即可；（2）观察表格两小数之和比大数多一，即顶点数＋区域数＝边数＋1；（3）每两点确定一直线，每一个顶点出发都有3条边，共有条边，根据顶点数＋区域数＝边数＋1构造方程，解方程即可，
【详解】解：（1）按此规定将图①、②、④的顶点数、边数、区域数填入下列表格：
（2）由表格得：顶点数＋区域数＝边数＋1，
（3）设顶点数为x，根据题意可知，x＋9＝＋1，得出x＝16
每个顶点发出三个3边，有9个区域数，则有16个顶点，24条边．
【点睛】本题考查认识平面图形，平面图形都是有点，线，面构成，本题中点、线段与区域之间有规律，发现和掌握顶点数＋区域数＝边数＋1规律是解题关键．
5．（2022·渠县第四中学七年级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【答案】（1）填表见解析，V+F-E=2；（2）20；（3）14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
【详解】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F-E=2；
（2）由题意得：F-8+F-30=2，解得F=20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，解得F=14，∴x+y=14．
【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
6．（2020·山东枣庄市·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
【答案】（1）表格详见解析；（2）
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；（2）从特殊到一般探究规律即可．
【详解】解：（1）填表如下：
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
题型4 点线面之间的关系与旋转体问题
【解题技巧】点：在几何体中，线与线相交的地方是点．它是组成图形最基本的元素，一切图形都是由点组成的，如天上的星星、世界地图上的城市等等都给我们以点的形象．
线：面与面相交的地方形成线．点动成线，线分为直线和曲线两种．如长方体的6个面相交成的12条棱是直线，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲线．
面：包围着体的是面．面有平的面和曲的面之分，如长方体由6个平面组成，圆柱（锥）的侧面是曲面．要得到一个与几何体有关的平面，常采用展开的方法或从不同的方向看，即视图．
体：几何体简称体．由面围成的，也可以看成由平面平移而成或看成由平面绕某一条直线旋转而成．我们学过的长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体．
旋转平面图形，可以看成由平面平移而成或看成由平面绕某一条直线旋转而成．
1．（2021·湖北咸宁市·）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空B．打开折扇C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转
【答案】A
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；
B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；
C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；
D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
2．（2021·河北七年级期末）“天空中的流星”，用数学知识解释为：_____________．
【答案】点动成线
【分析】流星是点，光线是线即可得出
【详解】∵流星是点，光线是线∴点动成线故答案为：点动成线
【点睛】本题考查点与线之间的关系，正确理解点、线、面、体之间的关系是关键
3．（2022·山西七年级期末）汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都正确
【答案】B
【分析】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
【详解】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．故选：B．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．
4．（2022·山东菏泽市·七年级月考）铅笔在纸上划过会留下痕迹，这种现象说明点动成线；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，看上去像形成了一个球，这体现的数学知识是______．
【答案】面动成体
【分析】根据点、线、面、体的关系解答即可．
【详解】解：铅笔在纸上划过会留下痕迹，这种现象说明点动成线；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，看上去像形成了一个球，这体现的数学知识是面动成体．
故答案为：面动成体．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的关系．解题的关键是明确点动成线，线动成面，面动成体．
5．（2021·四川成都市·七年级期末）下列图形绕虚线旋转一周，便能形成圆锥体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】A、旋转一周得到的是球体，故不符合题意；B、旋转一周是圆柱，故不符合题意；
C、旋转一周是圆锥体，故符合题意；D、旋转一周不是圆锥体，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查几何图形，熟练掌握几种常见的几何图形是解题的关键．
6．（2021·广西钦州市·七年级期末）长方形绕旋转一周，得到的几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．棱柱D．长方体
【答案】A
【分析】根据面动成体可得长方形ABCD绕AB边旋转可得答案．
【详解】解：将长方形ABCD绕AB边旋转一周，得到的几何体是圆柱，故选：A．
【点睛】此题主要考查了点线面体，是基础题，熟悉常见几何体的形成是解题的关键．
题型5 简单几何体的展开折叠问题
【解题技巧】（1）展开图全是长方形或正方形时，应考虑长方体或正方体．
（2）展开图中含有三角形时，应考虑棱锥或棱柱．当展开图中只含有2个三角形和3个长方形时，必是三棱柱．若展开图全是三角形（4个）时，一定是三棱锥．
（3）展开图中含有圆和长方形时，一般考虑圆柱．
（4）展开图中含有扇形时，考虑圆锥．
（5）不是所有的立体图形都有平面展开图，如球体就不能展开．
1．（2021·北京九年级二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱B．四棱柱C．圆柱D．圆锥
【答案】A
【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．
【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．故选：A．
【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
2．（2021·浙江杭州市·九年级一模）如图，下列图形中经过折叠不能围成一个直四棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面图形的折叠及长方体的展开图解题即可．
【详解】、、可以围成直四棱柱，不能围成一个棱柱，故选：．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键．
3．（2021·扬州市梅岭中学九年级一模）一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥C．长方体D．圆锥
【答案】A
【分析】根据立体图形的展开图特点即可得．
【详解】观察图可知，这是侧面和底面均为三角形的三棱锥的展开图故选：A．
【点睛】本题考查了立体图形的展开图，熟练掌握常见的立体图形的展开图特点是解题关键．
4．（2021·江西南昌市·九年级二模）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正方体的展开图的11种情况可分为“型”6种，“型”的3种，“型”的1种，“型”的1种，综合判断即可．
【详解】解：A、B、D均是正方体表面展开图；
C、正方体有6个面，C有7个小正方形，故不是正方体表面展开图．故选：C．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
5．（2022·太原市育英中学校七年级期中）图，点，是正方体的两个顶点，将正方体按如下方式展开，则在展开图中点，的位置标注正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用空间想象能力将正方体给展开之后选出正确选项．
【详解】解：将正方体的右边那个小正方形展开之后可以发现A与B是两个小正方形组成的长方形中的对角关系．故选：A．
【点睛】本题考查正方体的展开图，解题的关键是利用空间想象能力去解决问题．
6．（2022·全国七年级专题练习）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①、②、③、④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是___．
【答案】①
【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．
【详解】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现图1正方形与图2最右边正方形重叠，所以不能围成正方体．将图1的正方形放在图2中的②④的位置是展开图的1-3-2形，可以围成正方体，
将图1的正方形放在图2中的③的位置是展开图的3-3形日字连，可以围成正方体，故答案为：①．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”“凹”“一”的展开图都不是正方体的表面展开图．
题型6 展开折叠中的对面问题和推理问题
解题技巧：①对于比较简单的展开与折叠,可以进行推理；②记住一些常见几何体的展开图(比如长方体、正方体)；③如果是比较复杂的几何体,动手操作最好.
1．（2021·河南洛阳市·九年级一模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“神”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．发B．扬C．三D．牛
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图可直接进行排除选项．
【详解】解：由正方体的展开图可得：与“神”字所在面相对的面上的汉字是“牛”；故选D．
【点睛】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
2．（2021·山东省初一期中）如图是正方体的一种展开图，其中每个面上都有一个数字，在原正方体中，与数字1相对面上的数字是___。
【答案】6
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“6”与“1”是相对面，“2”与“4”是相对面，“3”与“5”是相对面，
∴与数字1相对面上的数字是6，故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．（2022·重庆七年级月考）如图所示是正方体的平面展开图，且相对面上两个数之和为6，则_________
【答案】-1
【分析】先确定出相对的面，然后再求得x、y的值，最后依据有理数的减法法则求解即可．
【详解】解：1和x是对面，3和y是对面，所以x=5，y=3．∴x-2y=5-6=-1．故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查的是正方体相对面上的文字，掌握正方体中展开图的对面的特点是解题的关键．
4．（2022·滕州七年级月考）有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置（如图）,请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是( )
A．白B．红C．黄D．黑
【答案】C
【详解】由第一个图可知绿色和白色、黑色相邻，由第二个图可知绿色和蓝色、红色相邻，由已知可得每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．根据第三个图可知涂成绿色一面的对面涂的颜色是黄色，故答案选C.
考点：几何体的侧面展开图.
5．（2021·河北九年级一模）有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置请你判断数字4对面的数字是（ ）
A．6B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据示意图，确定数字4的相邻面的数字，剩下的就是其对面的数字
【详解】解：由题图可知，与相邻的数字有，，，，所以数字对面的数字为．故选B
【点睛】本题考查了正方体的相邻面和相对面的判定，看懂示意图，确定邻面的数字是解题的关键．
6．（2022·成都市七年级期中）有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个股子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是________，最小是________．
【答案】51 26
【分析】观察图形可知，1和6相对、2和5相对，3和4相对；要使能看到的纸盒面上的数字之和最大，则把第一个正方体的数字1的面与第二个正方体的数字2的面相连，把数字2的面放在下面，则第一个图形露出的数字分别是3、4、5、6；第二个正方体的数字1面与第三个正方体的数字1的面相连，数字3的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是4、5、6，第三个正方体露在外面的数字就是3、4、5、6，据此可得能看得到的点数之和最大值；
要使能看到的纸盒面上的数字之和最小，则把第一个正方体的数字6的面与第二个正方体的数字5的面相连，把数字5的面放在下面，则第一个正方体露在外面的数字分别是1、2、3、4；第二个正方体的数字6的面与第三个正方体数字6的面相连，数字4的面放在下面，则第二个正方体露在外面的数字是1、2、3；第三个正方体露在外面的数字是1、2、3、4，即可得能看得到的点数之和最小值．
【详解】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51，
最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26，故答案为：51，26．故答案为：51，26．
【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上数字，再确定对面上的数字，可以培养动手操作能力和空间想象能力．
题型7 展开折叠中的特殊标志问题
1．（2022·成都七中七年级月考）如图中四个图形折叠后所得正方体与所给正方体的各个面上颜色一致的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据图中三种颜色所处的位置关系作答．
【详解】解：A、折叠后红色与黄色是相对面，所以本选项错误；B、正确；
C、折叠后绿色与黄色是相对面，所以本选项错误；D、折叠后红色与绿色是相对面，所以本选项错误．
故选：B．
【点睛】点评此题主要考查了展开图折叠成几何体的应用,动手折叠一下，有助于空间想象力的培养也是解决问题的关键．
2．（2022·山西吕梁·七年级期末）有一种正方体如图所示，下列图形是该正方体的展开图的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，三个图形有一个公共顶点，其中绿色长方形与等腰直角三角形有一条公共边，据此逐项分析解题.
【详解】解：A.折叠后，三个图形没有公共顶点，故A不符合题意；
B.折叠后，长方形与普通三角形是相对面，故B不符合题意；C．折叠后，两个三角形是相对面，故C不符合题意；D．折叠后，三个图形有一个公共顶点，其中绿色长方形与等腰直角三角形有一条公共边，故D符合题意，故选：D.
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
3．（2021·江苏扬州市·七年级期末）如图，已知一个正方体的三个面上分别标有字母a、b、m，则它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
选项A中“a面”“b面”“m面”的对面都是“空白”，符合题意；
选项B中的“a面”与“m面”是对面，与原题相矛盾，因此选项B不符合题意；
选项C、选项D中“m面”与“b面”是对面，与题意矛盾，因此选项C、选项D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
4．（2022·吉林白城市·七年级期末）下图是一个三棱柱纸盒的示意图，则这个纸盒的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】从俯视图看三棱柱纸盒，满足条件的是C、D；从右侧看三棱柱纸盒，斜线图是从左上到右下，D不符合题意，其它两面看不到，综合即可．
【详解】解：从俯视图看三棱柱纸盒，满足条件的是C、D；A与B不符合题意，
从右侧看三棱柱纸盒，斜线图是从左上到右下，D不符合题意，
其它两面看不到，为此综合符合题意的选项为C．故选择：C．
【点睛】本题考查三棱柱的展开图，掌握三棱柱的展开图的展开方法，三视图观察实物颜色，形状特征是解题关键．
5．（2021·湖北随州市·七年级期末）下边几何体的展开图可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意带图案的三个面有一个公共顶点．
【详解】选项A、C、D带图案的三个面不相邻，没有一个公共顶点，不能折叠成原正方体的形式；
选项B能折叠成原正方体的形式．故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题时勿忘记正方体展开图的各种情形．注意带图案的三个面有一个公共顶点．
6．（2021·江苏南京市·七年级期末）下列四个正方体的展开图中，能折叠成如图所示的正方体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正方体的信息可得：面面面为相邻面，从相对面与相邻面入手，逐一分析各选项，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：正方体中，面面面为相邻面．
由选项的展开图可得面面为相对面，故选项不符合题意；
由选项的展开图可得面面面为相邻面，故选项符合题意；
由选项的展开图可得面面为相对面，故选项不符合题意；
由选项的展开图可得面面为相对面，故选项不符合题意；故选：
【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
7．（2021·河北邢台市·九年级零模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【详解】解：将正方形展开并标上顶点可得如下图所示：
其中与C相接，与B相接，与D相接，与A相接，与相接，与相接.
故和选项B符合故选：B．
【点睛】本题考查了正方体的表面展开图及空间想象能力，易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
题型8 展开折叠中的计算问题
1．（2021·河北沧州市·九年级一模）如图，是某几何体的展开图，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆柱展开图底面圆的周长等于侧面矩形的长直接计算即可
【详解】解：由题意可知：2πr=16π，解得r=8故选：C
【点睛】本题考查圆柱平面展开图，熟知圆柱展开图底面圆的周长等于侧面矩形的长是关键
2．（2021·饶平县第五中学七年级期末）一个直六棱柱所有棱长都是，这个六棱柱的侧面积是_______．
【答案】96
【分析根据六棱柱侧面积的面积公式，代入数据进行计算，即可得出结论．
【详解】解：直六棱柱的侧面积为：4×4×6＝96（cm2）．故答案为：96．
【点睛】本题考查了几何体的表（侧）面积，熟练掌握几何体的侧面积的计算方法是解题的关键．
3．（2022·苏州高新区七年级月考）如图，一个长方体的表面展开图中四边形ABCD是正方形，则根据图中数据可得原长方体的体积是__cm．
【答案】20
【分析】利用正方形的性质以及图形中标注的长度得出AB=AE=5cm，进而得出长方体的长、宽、高，进而得出答案．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AE=5cm，
∴长方体的高为：（7-5）÷2=1（cm），∴EF=5-1=4（cm），
∴原长方体的体积是：5×4×1=20（cm3）故答案为：20．
【点睛】题主要考查了长方体的展开图，利用已知图形得出长方体的各棱长是解题关键．
4．（2021·四川成都市·七年级期末）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为_____cm3．
【答案】6552
【分析】根据题意，从这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大；因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答．
【详解】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，=36×26×7，=6552cm3；故答案为：6552
【点睛】此题解答关键是理解当折成的纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的积最大；列方程求出减求的正方形的边长，再根据长方体的体积（容积）公式解答即可．
5．（2021·山东青岛市·七年级期末）如图：把一张边长为15cm的正方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计），当剪去的正方形边长从4cm变为6cm后，长方体纸盒容积变______（填大或小）了________．
【答案】小 142
【分析】分别求得剪去的正方形边长从4cm变为6cm后，长方体的纸盒容积即可得到结论．
【详解】解：当剪去的正方形边长从4cm变为6cm后，
长方形的纸盒容积从变为，
故长方体的纸盒容积变小了，故答案为：小，142．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键．
6．（2022·全国七年级）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【答案】（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米
【分析】（1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；
（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；
（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．
【详解】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，∴4×20+8a＝880，解得a＝100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．
【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
题型9 截面相关问题
【解题技巧】截一个几何体，关键明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对
于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
1．（2021·江西吉安市·七年级期末）用一个平面去截一个几何体，截面形状为圆，则这个几何体可能为__________（填序号）．
①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱
【答案】②③
【分析】根据正方体；圆柱；圆锥；正三棱柱的形状判断即可，可用排除法．
【详解】解：①正方体截面形状不可能是圆，不符合题意；②圆柱截面形状可能是圆，符合题意；
③圆锥截面形状可能是圆，符合题意；④正三棱柱截面形状不可能是圆，不符合题意．故答案为：②③．
【点睛】此题主要考查了截一个几何体，根据已知得出圆柱三视图是解决问题的关键，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
2．（2021·山西晋中市·七年级期末）用一个平面去截一个几何体，截面形状为长方形，则这个几何体可能为：①正方体；②三棱锥；③圆柱；④圆锥 __________（写出所有正确结果的序号）．
【答案】①③
【分析】估计正方体、三棱锥、圆柱、圆锥的几何体形状逐项分析解题．
【详解】解：①用一个平面去截正方体，截面形状可能是长方形，故①符合题意；
②用一个平面去截三棱锥，截面形状不可能是长方形，故②不符合题意；
③用一个平面去截圆柱，截面形状可能是长方形，故③符合题意；
④用一个平面去截圆锥，截面形状不可能是长方形，故④不符合题意，
故正确结果的序号为：①③，故答案为：①③．
【点睛】本题考查用一个平面去截一个简单几何体所得到的平面图形，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
3．（2021·四川成都市·七年级期末）用一平面截一个正方体，不能得到的截面形状是（ ）
A．等边三角形B．长方形C．六边形D．七边形
【答案】D
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此最多可以截出六边形．
【详解】解：∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴最多可以截出六边形，∴不可能截得七边形．故选：D．
【点睛】本题考查了截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
4．（2021·陕西西安市·九年级零模）用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】看所给选项的截面能否得到三角形即可．
【详解】解：A、长方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；
B、圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；
C、三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；
D、圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查常见几何体的截面的形状，注意长方体的截面经过几个面就可得到几边形．
5．（2022·全国七年级专题练习）下面几何体截面图形的形状是长方形的是_____________．（只填序号）
【答案】（1）（4）
【分析】根据立体几何的截面图形特征可直接进行求解．
【详解】由图及题意可得：（1）是长方形，（2）是圆，（3）是梯形，（4）是长方形，（5）是平行四边形；
∴几何体截面图形的形状是长方形的是（1）（4）；故答案为（1）（4）．
【点睛】本题主要考查立体几何的截面图形，熟练掌握立体几何图形的结构特征是解题的关键．
6．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）用一个平面去截圆柱，则它的截面图不可能是（ ）
A．长方形B．圆形C．正方形D．三角形
【答案】D
【分析】根据圆柱的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况．
【详解】解：用平面截圆柱，横切就是圆，竖切就是长方形或正方形，唯独不可能是三角形．故选：D．
【点睛】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
7.（2022•泾源县期中）下列语句中错误的是（ ）
A．正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形
B．正方体的截面可能是长方形，长方体的截面不可能是正方形
C．正方体的截面不可能出现七边形
D．正方体的截面可能是梯形
【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可．
【答案】解：用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形，四边形（包括长方形、梯形），五边形，六边形，不可能为七边形，故A、C、D正确；长方体的截面可能是正方形，故B错误．故选：B．
【点睛】题主要考查了截一个几何体，解决本题的关键是理解截面经过几个面得到的截面就是几边形．
题型10 几何体的三视图
1．（2021·天津九年级一模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【详解】解：从几何体的左边看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形．故选：A．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的观察方法是解题的关键．
2．（2021·辽宁抚顺市·九年级二模）如图，下列图形从正面看是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别根据从正面看得到的图形进行判断即可．
【详解】A、从正面看是有一条公共边并排的两个长方形，故不符合题意；
B、从正面看是梯形，故不符合题意；C、从正面看是三角形，故符合题意；
D、从正面看是长方形，故不符合题意，故选C．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握常见几何体从不同方向看得到的图形是解题的关键．
3．（2021·四川成都市·七年级期中）如图摆放的四个几何体中，从上面看和从正面看看到的图形一定相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据几何体的结构可直接进行求解．
【详解】解：A、从上面看是圆，从正面看是长方形，故不符合题意；
B、从上面看是有圆心的一个圆，从正面看是三角形，故不符合题；
C、从上面看是圆，从正面看是圆，故符合题意；D、从上面看可能是长方形也有可能是正方形，从正面看可能是长方形也有可能是正方形，故不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的结构是解题的关键．
4．（2021·云南红河·七年级期末）如图所示是由七个相同的小正方体堆成的物体，从正面看这个物体的平面图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据从正面看这个物体的方法，确定各排的数量可得答案．
【详解】从正面看这个物体，共有三行，从上到下依次小正方形的个数依次为1，2，3，故选：A．
【点睛】本题考查了三视图，结合图形和空间想象力是解题关键．
5．（2021·山西七年级期末）如图是3级台阶的示意图，则从正面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据物体左面的图形即可得出物体从正面看得到的图形.
【详解】从正面看，得到的图形是：故答案为：C
【点睛】这题考查了从不同方向观察物体得到的图形，解题的关键是仔细观察，并得出图形.
6．（2021·江苏苏州市·九年级专题练习）由6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它从正面看到的视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边有一个小正方形，故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
题型11 三视图中的最值问题
解题技巧：这类题目的解题思路有两种：（1）由从三个不同的方向看到的形状，可以在俯视图上，标出相应的摆放的最多数量，进而求出答案，做出选择．（2）由两个视图求小立方体个数的最多或最少问题,最多=主视图和俯视图对应列的乘积之和，最少=主视图全部个数+俯视图除去最多一行余下的个数.
1．（2021·山西运城市·七年级期末）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，从正面和左面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是___________．
【答案】4
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共3列，且都是最高两层；由左视图知共3行，
所以小正方体的个数最少的几何体为：
第一列第一行1个小正方体，第二列第二行2个小正方体，第三列第三行1个小正方体，其余位置没有小正方体．即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+1=4个．故答案为：4．
【点睛】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
2．（2022·广东省初一期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的图形，则搭成该几何体最多需要__个小立方块.
【答案】14
【解析】根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14．
点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
3．（2021·山东省初一期中）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要________个小立方块．
【答案】54
【解析】由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行；
第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，共有10个正方体，
∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，
∴搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，∴至少还需要64-10=54个小正方体．
【点睛】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，即可得出答案．本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体．
4．（2022·崇仁县第一中学初一期中）用小立方体搭一个几何体，从左面和上面看如图所示，这样的几何体它最少需要_______.块小立方体，最多需要_______.块小立方体.
【答案】5 7
分析：观察主视图和俯视图，结合两图即可得出答案.
【解析】由主视图和俯视图可知，需要最少的几何体其中一种是：
，
需要最少的几何体是：
，
所以最少需要1+1+1+2＝5个，最多需要1+2+2+2＝7个.故答案为：5，7.
点睛：本题主要考查三视图的知识，解题的关键是由三视图中的两个视图判断几何体不同形状.
5．（2022·成都市初一期末）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的从正面看，从上边看到的图形，若组成的这个几何体的小正方体的块数为，则的所有可能的值之和为____________．
【答案】38
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出层数和每一层小正方体的个数，从而算出总的个数．
【解析】
当个数最少的时候从俯视图看一共有8个正方体，如图一所示（其中一种情况），当个数最多的时候有11个正方体，如图二所示．所以，n所有可能的值为8、9、10、11,则，n的所有可能值之和为38．
故答案为：38.
【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
6．（2022·内蒙古包头市·七年级月考）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，设小正方体的个数为．
（1）请你写出一个符合上述视图的的值______，并画出它对应的左视图；（2）写出的所有可能值．
【答案】（1）(答案不唯一)，图见解析；（2）8，9，10，11
【分析】（1）根据主视图可知可能有三列，由俯视图可知左视图应有2列，即可得出所有的组成图形，即可得出左视图；（2）由俯视图可得该组合几何体有3列，2行，以及最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第二列第二层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3列第2层，最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3层最少有1个正方体，最多有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到n的可能的值．
【详解】（1）根据主视图可知可能有三列，由俯视图可知左视图应有2列，；左视图如图所示：
故答案为：(答案不唯一)；
（2）∵俯视图有5个正方形，∴最底层有5个正方体，
由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体；
由主视图可得第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体；
∴该组合几何体最少有5+2+1=8个正方体，最多有5+4+2=11个正方体，
∴n可能为8或9或10或11．对应的左视图如图：
【点睛】本题考查了从三个方向看物体的形状；用到的知识点为：俯视图中正方形的个数是组合几何体最底层正方体的个数；组合几何体的最少个数是底层的正方体数加上主视图中第二层和第3层正方形的个数．
题型12 三视图相关的计算问题
1（2021·全国初一课时练习）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为________cm2．
【答案】4π．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【解析】由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，
故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2．故答案为4π．
【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
2．（2022·全国）如图，长方形的长为、宽为，分别以该长方形的一边所在直线为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____．（结果保留）
【答案】或．
【分析】根据圆柱体的体积=底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．
【详解】若以为轴，旋转一周，则为半径，所以，
若以为轴，旋转一周，则为半径，所以，故答案为或
【点睛】此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式．
3．（2022·无锡市七年级月考）把边长为1厘米的6个相同正方体摆成如图的形式．
（1）该几何体的体积是______，表面积是______；（2）在格纸中画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______个小正方体．
【答案】（1）6，26；（2）见解析；（3）2．
【分析】（1）根据正方体体积和表面积公式进行计算即可；（2）根据三视图的概念作图即可得；
（3）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体．
【详解】解：（1）该几何体的体积为：1×1×1×6＝6（cm3），
表面积为：2×（5＋4＋3）＋2＝26（cm2）．故答案为：6，26．
（2）如图所示：
（3）保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了三视图、几何体的体积及表面积，掌握正方体的体积、表面积计算公式以及三视图的画法是解题关键．
4．（2022·河南平顶山市·七年级期中）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.
（1）写出这个几何体的名称；（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.
【答案】（1）正三棱柱；（2）图见解析；（3）．
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可以得到此几何体为正三棱柱；（2）表面展开图应会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为3cm和2cm，求出一个长方形的面积，再乘以3即可解答．
【详解】解：（1）这个几何体的名称是正三棱柱；
（2）表面展开图为：（答案不唯一，画出其中正确的一种即可）
（3）（），∴这个几何体的侧面积为．
【点睛】此题主要考查从三个方向看几何体和利用展开图求几何体侧面积等的相关知识，考查学生的空间想象能力；注意棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
5．（2022·会宁县七年级月考）如图是由7个相同的小立方体组成的几何体，
（1）请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
（2）现量得小立方体的棱长为2cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
【答案】（1）图形见解析（2）92
【解析】试题分析：（1）根据从正面、从左面、从上面看的面的个数和位置，画图即可；
（2）根据从各面看到的正方形的个数（即为需要涂色的面）求面积即可.
试题解析：（1）如图所示：
；
（2）涂上颜色部分的总面积：2×2×（5×2+3×2+5+2）=92（平方厘米）．
答：涂上颜色部分的总面积是92平方厘米．
6．（2021·广西钦州市·七年级期末）如图所示的几何体是由三个大小完全相同的小正方体组成．
（1）在指定区域内画出从不同的方向看这个几何体得到的平面图形；
（2）已知小正方体的棱长是，求这个几何体的体积和表面积．
【答案】（1）见解析；（2）体积是，表面积是
【分析】（1）根据三视图的定义解决问题即可．（2）根据表面积，体积的定义求解即可．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）这个几何体的体积是：，表面积是：=．
【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，表面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
题型13 三视图的画法
1．（2021·成都市棕北中学）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．请画出这个几何体的三视图；
【答案】见解析
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1；据此可画出图形．
【详解】解：由题可知：主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1；∴所画图如下：
．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键．
2．（2021·广东茂名市·七年级期末）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【答案】图见解析．
【分析】利用三视图的画法画出图形即可．
【详解】解：根据三视图的画法，画出相应的图形如下：
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的意义是正确解答问题的关键．
3．（2021·吉林长春市·长春外国语学校七年级开学考试）由几个相同的棱长的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，在网格中画出这个几何体的主视图和左视图（注：网格中小正方形的边长等于小正方体的棱长）
【答案】见解析
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目从左到右分别为2，4，3；左视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为4，1．据此可画出图形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
4．（2021·江西赣州市·七年级期末）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，请你按下列要求画出平面图形．
【答案】答案见解析
【分析】分别从正面、上面、左面看到几何体分别由4个、3个、2个正方形组成平面图形，由此即可求解．
【详解】解：从正面看由4个正方形组成平面图，从上面看由3个正方形组成平面图形，从左面看由2个正方形组成平面图形，画法见下图：
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”．
5．（2021·陕西宝鸡市·七年级期末）如图所示的是从上面看由几个相同的小立方块堆放而成的几何体得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，请画出这个几何体从正面看得到的平面图形．
【答案】见解析
【分析】由小正方形中的数字表示小正方块堆放的个数即可得出正面看到的平面图形．
【详解】解：如图所示．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（2021·河南洛阳市·七年级期末）在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
（1）请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；（2）若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，在这个几何体上最多可以添加多少个小正方体？（3）若给该几何体露在外面的面喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是多少cm2？
【答案】（1）答案见解析；（2）3个；（3）3200cm2
【分析】（1）根据物体形状即可画出主视图、左视图和俯视图；（2）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放2个小正方体，后面的几何体上放1个小正方体；
（3）利用几何体的形状求出其表面积即可，注意不含底面.
【详解】解：（1）这个几何体的主视图和左视图如图：
（2）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放2个小正方体，后面的几何体上放1个小正方体，故最多可再添加3个正方体，故答案为：3；
（3）10[（6+6）+6+2]=3200cm2答：需要喷漆的面积是3200cm2.
【点睛】本题考查了三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积．
7．（2021·江苏盐城市·七年级期末）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示．（1）请画出这个几何体的三视图．（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体．（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）32
【分析】（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）俯视图和左视图不变，构成图形即可解决问题； （3）求出这个几何体的表面积即可解决问题．
【详解】解：（1）这个几何体有10个立方体构成，三视图如图所示；
（2）在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，
2+1+1=4（个），故最多可再添加4个小正方体．故答案为：4；
（3）这个几何体的表面有38个正方形，去了地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆，
∴表面积为32，故喷漆面积为32．
【点睛】本题考查了三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积．图
顶点数
边数
区域数
①
②
③
5
8
4
④
图
顶点数
边数
区域数
①
4
6
3
②
6
9
4
③
5
8
4
④
10
15
6
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4

长方体
8
6
12
正八面体

8
12
正十二面体
20
12
30
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8