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【期末专项】苏科版初一数学上册期末复习专题 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练
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这是一份【期末专项】苏科版初一数学上册期末复习专题 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练，共58页。
专题 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练
线段有关的动点问题（数轴动点题）是苏科版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程；
2.线段等量代换模型：
若，则，即
3.定和型中点模型：
若，分别是，的中点，则
线段的动点问题解题步骤：
1.设入未知量t表示动点运动的距离；
2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3.根据题设条件建立方程求解；
4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：
（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．
(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
题型4：阅读理解型（新定义）问题
例5．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【数学思想】
1.分类讨论思想
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论。
常见分类依据：①无图常需分类讨论； ②在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨论思想的应用，即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。
例1．（2022·重庆初一期中）已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
变式1．（2022·江苏·七年级期中）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A． B． C．或 D．或
变式2．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
2.数形结合思想
以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。 在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思想求最值和定值是常考点。
例2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接，在线段上求作线段，使；
（2）如图2，点是的中点，、分别是线段、上的点，且，．若，求线段的长．
变式1．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm．
变式2.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．
①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝ cm；
②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
3.整体思想
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。运用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数x，并用x表示有关线段。在线段计算中，求一条线段上的两个中点之间的距离时常用到整体的思想。
例3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
变式1．（2022·辽宁抚顺·九年级）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB的中点．
(1)若，，求线段MN的长；(2)若，，求线段MN的长．
4.方程思想
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法，运用方程思想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.有关线段比的问题（或倍分关系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山东烟台·期中）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
变式1．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
变式2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
课后专项训练
1．（2022·山东省泰安南关中学期中）已知点C在直线AB上且BC＝2AB，取AC的中点D，已知线段BD的长为6，则线段AB的长为___________．
2．（2022·浙江·七年级期中）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
3.（2022·河北·七年级期中）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＝acm，CB＝bcm，点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：MN＝ cm．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC＝acm，CB＝bcm（a＞b），点M、N分别为AC、BC的中点，猜想：MN＝ cm．
4.（2022·成都市·七年级期中）已知，线段AB＝60cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20cm，点D是AB中点，点E是BC的中点，求DE的长．
5.（2022·广东·七年级期中）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM．
（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝ 6 ；
（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．
（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）．
6．（2022·河北保定·七年级期末）已知：点，，在同一条直线上，线段，且线段，画图并计算：(1)若点在线段上，求的长；
(2)若点在射线上，点是的中点，求线段的长．
7．（2022·山西·七年级课时练习）已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长．
8．（2022·杭州市公益中学七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
9．（2022·辽宁建昌县·）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度．
设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题：
（1）点C表示的数是 ；点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示）
（2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长．
（3）直接写出 t 为何值时，点P与点Q相距4个单位长度．
10．（2022·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
11．（2022•奉化区校级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，则＝ ．
12．（2022·河北·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
13．（2022•奉化区校级期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）。（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
14．（2022·绵阳市·七年级课时练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
15．（2022·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒．
(1)当时，①________cm；②求线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．
16．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值
17．（2022·安徽合肥·七年级期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．
(1)当t＝6时，AC＝ ．(2)用含t的式子表示线段AC的长；当0≤t≤5时，AC＝ ；当5＜t≤10时，AC＝ ．(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，
18．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t．
(1)当时，，请求出的长；
(2)当时，，请求出的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长；
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：
（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7
【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且，
∴点表示的数为，点P表示的数为，故答案为：-6，；
（2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得，，解得，
∴点运动7秒时追上点；
（3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下：
①当点在点、两点之间运动时：
，
②当点运动到点的左侧时：
，∴线段的长度不发生变化，其值为7．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．
变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
【答案】（1）6；（2）6；（3）或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12解得t=或t= 2
故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．
题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．
(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)7(2)3或5
【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．
(1)，，，，
如图1，
为中点，，
，∴，
∴，
(2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，
或
∵，，点是的中点，
∴，∴，∴，
∵，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，
或
，，∴，
∴，．
∵，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，所以．
（3）分两种情况：如图，当点在线段上时，
因为，所以．
又因为，所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．
（1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ，
∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，
∵，，∴，解得：．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，
∵，，∴，解得：．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
题型4：阅读理解型（新定义）问题
例5．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．
【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得，，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得，；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．
故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或
【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；
（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．
【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是.
②∵，是线段的“二倍点”，
当时，；
当时，；
当时，；故答案为：10或或；
（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=；
当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；
当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=；
答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；
当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；
当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；
答：t为或8或时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键．
【数学思想】
1.分类讨论思想
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论。
常见分类依据：①无图常需分类讨论； ②在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨论思想的应用，即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。
例1．（2022·重庆初一期中）已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【解析】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b． ∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a． ∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·七年级期中）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图
∵，∴2AP=＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm∴AP=12×cm∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
变式2．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
2.数形结合思想
以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。 在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思想求最值和定值是常考点。
例2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接，在线段上求作线段，使；
（2）如图2，点是的中点，、分别是线段、上的点，且，．若，求线段的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）线段CE的长为，详见解析
【分析】（1）根据尺规作图，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求；
（2）根据题意，结合图形可求出AC=BC=，，，可求出BE，即可求出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示，连接AC，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求，
；
（2）由题意可知，AC=BC=，
∴，，
∴BE=AB-AD-DE=，
∴CE=BC-BE=，
即：线段CE的长为．
【点睛】本题主要考查的是尺规作图，以及线段求值，数形结合是解题的关键．
变式1．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm．
【答案】或
【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴，．
设，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知，，．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
综上可知OC的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
变式2.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．
①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝ cm；
②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
【解题思路】（1）①由题意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，再结合图形可求得答案；
②先结合图形可求得AA′+BB′＝40 cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；
③分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时；
（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，分别按以下几种情况进行计算：①当B′D：CD：AC＝3：4：5时，②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，④当CD：AC：B′D＝3：4：5时，⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时．
【解答过程】（1）①∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，
∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，
∴MN＝MO+ON=12（AO+OB）=12AB＝30；故答案为：30．
②∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40 cm．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM=12AA'，BN=12BB'，
∴AM+BN=12AA'+12BB'=12(AA'+BB')=12×40=20cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40 cm．
③如∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝MA′=12AA'，BN＝B′N=12BB'．
当点A′落在点B′的左侧时，如第（1）小题②图，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N=12AA′+A′B′+12B′B=12（AA′+A′B′+B′B）+12A′B′=12（AB+A′B′）＝（30+12n）（cm）；
当点A′落在点B′的右侧时，如（1）③图，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm．
∴AM+BN=12AA'+12BB'=12(AA'+BB')=12×(60+n)=(30+n2)cm．
∴MN＝AB﹣（AM+BN）=60−(30+n2)=(30−n2)（cm）．
综上，MN的长度为(30+n2)cm或(30−n2)cm．
（2）由于三段的长度由短到长的比为3：4：5，CN=12CD，
所以可分为以下几种情况：
①当B′D：CD：AC＝3：4：5时，AC=512AB，CD=13AB，
∴AN=512AB+12CD=712AB＝35（cm），
②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，AC=13AB，CD=512AB，
∴AN=13AB+12CD=1324AB＝32.5（cm），
③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，AC=512AB，CD=312AB，
∴AN=512AB+12CD=1324AB＝32.5（cm），
④当CD：AC：B′D＝3：4：5时，AC=13AB，CD=312AB，
∴AN=13AB+12CD=1124AB＝27.5 cm，此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，AC=14AB，CD=512AB，
∴AN=14AB+12CD=1124AB＝27.5 cm，此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时，AC=14AB，CD=13AB，
∴AN=14AB+12CD=512AB＝25 cm；此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
综上所述，AN所有可能的长度为：32.5 cm或35cm．
3.整体思想
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。运用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数x，并用x表示有关线段。在线段计算中，求一条线段上的两个中点之间的距离时常用到整体的思想。
例3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；
（2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长．
（1）
∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴，,
∵E为BC的中点，
∴，
∴；
（2）
线段EF的长度不会发生变化，，
∵AB＝16，CD＝2，
∴，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．
变式1．（2022·辽宁抚顺·九年级）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，
∵AD和BC的中点是同一个，
∴直线l上会发出警报的点P有5个．故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB的中点．
(1)若，，求线段MN的长；(2)若，，求线段MN的长．
【答案】(1)线段MN的长度为7cm(2)线段MN的长度为 (a+ b)
【分析】(1) 根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可；(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．
（1）解：∵AC=10cm，点M是AC的中点，∴CM=AC= 5cm，
∵CB=4cm，点N是BC的中点，
∴CN=BC=2cm ，∴MN=CM+CN=7cm，
∴线段MN的长度为7cm；
（2）∵ AC=a，点M是AC的中点，∴CM =AC=
∵CB=b，点N是BC的中点，∴CN=BC=b；
∴MN=CM+CN= (a+b)，∴线段MN的长度为 (a+ b)．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，难度较大．
4.方程思想
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法，运用方程思想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.有关线段比的问题（或倍分关系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山东烟台·期中）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=，
设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时2t+=8 解得t=，
当点P在B点左侧时2t-=8 解得t=
所以t=或t=．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
变式1．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒
【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．
（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，
点表示的数是，故答案为：；
（2）AB=12，，，，设经过秒点是的中点，
根据题意列方程得，解得，故答案为：8；
（3）设点运动了秒时，
①当点在点左侧时，即，
根据题意列方程得，解得；
②当点在点右侧时，即，
根据题意列方程得，解得；
综上，当运动了秒或秒时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
变式2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【答案】(1)16，24．
(2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；
（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可；
（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．
(1)解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，
∴8+BC=，解得：BC=16m，∴AB=×16=24m．故答案为：16，24．
(2)解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，∴6x={8+2x），解得x=．
答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=；
当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x=．
答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.
课后专项训练
课后专项训练
1．（2022·山东省泰安南关中学期中）已知点C在直线AB上且BC＝2AB，取AC的中点D，已知线段BD的长为6，则线段AB的长为___________．
【答案】4或12##12或4
【分析】根据题意画出图形，根据线段中点的性质计算即可．
【详解】解：点C在A的左边，如图所示：
∵D是AC的中点，∴AD＝AC，
∵BC＝2AB，∴AC＝AB，∴AD＝AB，
∴BD＝AB＋AB＝6，∴AB＝4；
C在A的右边，如图所示：
∵且BC＝2AB，∴AC＝3AB，
∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝AB，
∴BD＝AD−AB＝AB＝6，∴AB＝，
综上所述，AB的长为4或12．故答案为：4或12．
【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，解题的关键是，注意数形结合思想，并进行分类讨论．
2．（2022·浙江·七年级期中）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
【答案】或
【分析】根据中点定义求出BD、BE的长度，然后分①点C在AB的延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解；②点C在AB的反向延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：、分别是线段、的中点，，，
，，
①如图1，点在的延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，；
②如图2，点在的反向延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，，
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
3.（2022·河北·七年级期中）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＝acm，CB＝bcm，点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：MN＝ cm．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC＝acm，CB＝bcm（a＞b），点M、N分别为AC、BC的中点，猜想：MN＝ cm．
【解题思路】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可；
（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN=12（a+b）；
（3）点在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．
【解答过程】解：（1）∵AC＝6cm，点M是AC的中点，
∴CM=12AC＝3cm，
∵CB＝4cm，点N是BC的中点，
∴CN=12BC＝2cm，
∴MN＝CM+CN＝5cm，
∴线段MN的长度为5cm；
（2）∵AC＝acm，点M是AC的中点，
∴CM=12AC=12acm，
∵CB＝bcm，点N是BC的中点，
∴CN=12BC=12bcm，
∴MN＝CM+CN=12a+12b=12（a+b）cm，
∴线段MN的长度为12（a+b）cm，
故答案为：12（a+b）；
（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC＞BC，
∵M是AC的中点，
∴CM=12AC=12acm，
∵点N是BC的中点，
∴CN=12BC=12bcm，
∴MN＝CM﹣CN=12（AC﹣BC）=12（a﹣b）cm，
故答案为：12（a﹣b）．
4.（2022·成都市·七年级期中）已知，线段AB＝60cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20cm，点D是AB中点，点E是BC的中点，求DE的长．
【解题思路】画出图形，此题由于点的位置不确定，故要分情况讨论：
（1）点C在线段AB上；
（2）点C在线段AB的延长线上．
【解答过程】解：（1）当点C在线段AB上时，如图：
∴CD=12（AB﹣BC）=12×（60﹣20）=12×40＝20cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
∴CD=12（AB+BC）=12×（60+20）=12×80＝40cm；
∴CD的长为20cm或40cm．
5.（2022·广东·七年级期中）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM．
（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝ 6 ；
（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．
（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）．
【解题思路】（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．由AB＝8列出方程，求得x+y，再进而求得MN；
（2）把MN＝AM+AN代入CN+2AM﹣2MN中计算便可知道结果；
（3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y，①当C点在B点右边时，不符合题意，舍去；②当点C在点A的左边，由AB＝CB﹣CA得出y﹣x=14m，进而得MN＝3（y﹣x）=34m；③当点C在线段（AB上时，由AB＝CB+CA得y+x=14m，进而得MN＝3（y+x）=34m，最后总结结论．
【解答过程】解：（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．
∵AB＝AN+CN+CM+MB＝m，
∴x+3x+3y+y＝m＝8，
∴x+y＝2，
MN＝NC+CM
＝3x+3y
＝3（x+y）
＝6．
（2）CN+2AM﹣2MN的值与m无关．理由如下：
如图1，
∵CN＝3AN，
∴CN+2AM﹣2MN
＝3AN+2AM﹣2（AN+AM）
＝AN
∵AN与m的取值无关，
∴CN+2AM﹣2MN的值与m无关；
（3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y
①当C点在B点右边时，
∵满足CM＝3BM，M在线段AB上，如图2
此时，M不是线段BC上的点，不符合题意，舍去；
②当点C在点A的左边，如图3，
∵AB＝CB﹣CA＝（CM+MB）﹣（CN+AN）＝m，
∴（3y+y）﹣（x+3x）＝m，∴y﹣x=14m，
∴MN＝CM﹣CN＝3y﹣3x＝3（y﹣x）=34m；
③当点C在线段（AB上时，如图4，
∵AB＝CB+CA＝（CM+MB）+（CN+AN）＝m，
∴（3y+y）+（x+3x）＝m，
∴x+y=14m，
∴MN＝CM+CN＝3y+3x＝3（y+x）=34m；
∴MN长度为34m．
综上，MN长度为34m
6．（2022·河北保定·七年级期末）已知：点，，在同一条直线上，线段，且线段，画图并计算：(1)若点在线段上，求的长；
(2)若点在射线上，点是的中点，求线段的长．
【答案】(1)图见解析，4；(2)图见解析，2或4；
【分析】（1）在线段MN上截取PN=2，再计算线段的差即可；
（2）分两种情况讨论：①当点在点左侧时，由线段差求得MP，再由线段中点计算求值即可；②当点在点右侧时，由线段和求得MP，再由线段中点计算求值即可；
(1)解：如图，点在线段上时，
；
(2)解：①当点在点左侧时，如图所示：
，
∵点为的中点，∴；
②当点在点右侧时，如图所示：
由图形可知：，
∵点为的中点，∴，
综上所述，的长为2或4；
【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的有关计算；根据线段位置关系分情况讨论是解题关键．
7．（2022·山西·七年级课时练习）已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长．
【答案】(1)7
(2)3或5
【分析】（1）由，，可求出，．再根据E为BC中点，即得出，从而可求出CD的长，进而可求出AD的长；
（2）分类讨论：当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题．
（1）
∵，，，
∴，，
如图，
∵E为BC中点，
∴，
∴，
∴；
（2）
分类讨论：①如图，当点E在点F的左侧时，
∵，，
∴点F是BC的中点，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点E在点F的右侧，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上所述：AD的长为3或5；
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
8．（2022·杭州市公益中学七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝或CE＝DE＝，则CD＝或，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，∴CD＝或CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，∴，∴y＝x，
∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述的值为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．
9．（2022·辽宁建昌县·）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度．
设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题：
（1）点C表示的数是 ；点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示）
（2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长．
（3）直接写出 t 为何值时，点P与点Q相距4个单位长度．
【答案】（1）8，3t，8＋t；（2） ；（3）2或6
【分析】（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，则点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t；（2）根据题意，得，，，AQ=8+t则 ，，则求解即可；（3）由题意得 ，AQ=8+t，则，求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，
∴点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t，故答案为：8，3t，8+t；
（2）根据题意，得，，，AQ=8+t
∵点M是AP的中点，点N是CQ的中点，∴， ，
∴，∴；
（3）由题意得 ，AQ=8+t，∴，解得t=2或6．
∴当t=2或6时点P与点Q相距4个单位长度．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，线段的中点问题，解题的关键在于能够准确找到线段之间的关系．
10．（2022·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）或24
【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；
（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；
（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．
【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=BN，∴点B是点M，N的“倍分点”；
（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，
①当DM=AM时，DM=1，∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，
②当AM=DM时，DM=2AM=4，∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，
综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；
（3）MN=6-（-3）=9，当PN=MN时，PN=×9=，
∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，
当MN=PN时，PN=2MN=2×9=18，
∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，
综上所述，点P表示的数为或24．
【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．
11．（2022•奉化区校级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，则＝ ．
解：（1）AC＝2BC，AB＝18，DE＝8，
∴BC＝6，AC＝12，
①如图，
∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∴CD＝5，
∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；
②如图，
Ⅰ、当点E在点F的左侧，
∵CE+EF＝3，BC＝6，
∴点F是BC的中点，
∴CF＝BF＝3，
∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，
∴AD＝AF＝5；
Ⅱ、当点E在点F的右侧，
∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∴AF＝3AD＝9，
∴AD＝3．
综上所述：AD的长为3或5；
（2）∵AC＝2BC，AB＝2DE，满足关系式＝，
Ⅰ、当点E在点C右侧时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝x+y，
∴AB＝2（x+y）
AC＝AB＝（x+y）
∴AD＝AC﹣DC＝x+y
BC＝AB＝（x+y）
∴BE＝BC﹣CE＝y﹣x
∴AD+EC＝x+y
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（x+y）＝3（y﹣x）
解得，17x＝4y，
∴＝＝＝．
Ⅱ、当点E在点A左侧时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x）
AC＝AB＝（y﹣x）
∴AD＝DC﹣AC＝x﹣y
BC＝AB＝（y﹣x）
∴BE＝BC+CE＝y+x
∴AD+EC＝x﹣y
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（x﹣y）＝3（y+x）
解得，11x＝8y，
∴＝＝．
点D在C点右侧，及点D在B点右侧，
无解，不符合题意；
当DE在线段AC内部时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x），
AC＝AB＝（y﹣x），
∴AD＝AC﹣DC＝y﹣x，
BC＝AB＝（y﹣x），
∴BE＝BC+CE＝y+x，
∴AD+EC＝﹣x+y，
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（﹣x+y）＝3（y+x），
解得，﹣5x＝4y（不符合题意，舍去），
∴＝＝＜，不符合题意，舍去．
故答案为或．
12．（2022·河北·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，
∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC，CN＝BC，
∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），
综上所述：t＝4或或．
13．（2022•奉化区校级期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）。（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
解：（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2，4；
（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2cm，BD＝4cm
∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm，
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6（cm）；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝AB＝4，故答案为：4；
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝4，
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，
∴＝＝；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB＝12∴＝＝1；综上所述＝或1
14．（2022·绵阳市·七年级课时练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；
②设运动时间为：秒，则，利用中点的性质表达出：，即可得出答案；
（2）依题意得出，，再由和，即可得出AP的长度．
（1）
①依题意得：，
∴，
故答案为：；
②设运动时间为秒，则
∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，
∴
∴
故答案为：；
（2）
设运动时间为秒，则，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差，中点的性质，掌握线段之间的数量关系是解题的关键．
15．（2022·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒．
(1)当时，①________cm；②求线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．
【答案】(1)①；② (2)或
【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长．
（1）解：①当时，；故答案为：4
②∵，，∴．
∵C是线段BD的中点，∴．
（2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动，
∴当点B沿点A→D运动时，
点B沿点D→A运动时，
∴综上所述，（）或（）
【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键．
16．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值
【答案】(1)5，4(2)平方米(3)
【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；
（2）根据题意得：当t=4.5时，点P在CD上，DP=0.5米，点Q刚好到达点D处，可得米，再由，即可求解；
（3）当P，Q都在DC上，可得，然后分两种情况讨论：当P左Q右时，当Q左P右时，即可求解．
（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案为：5，4；
（2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路程为9米，刚好到达点D处，∴米，∴平方米；
（3）解：点P在DC上，，点Q在DC上，，∴，当P左Q右时，，，∴，∴，解得：当Q左P右时，，，∴，∴，解得，不符题意，舍去．综上，满足题意的．
【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．
17．（2022·安徽合肥·七年级期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．
(1)当t＝6时，AC＝ ．(2)用含t的式子表示线段AC的长；当0≤t≤5时，AC＝ ；当5＜t≤10时，AC＝ ．(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，
【答案】(1)8
(2)，；
(3)的长度不变，长度为5
【分析】（1）根据点的运动速度和可得答案；
（2）根据路程速度时间可求的长度；
（3）分情况讨论，再根据线段中点的定义可得答案．
(1)
当时，动点运动了个单位，
，
．
．
故答案为：8；
(2)
当时，；
当时，
．
故答案为：，；
(3)
当时，
；
当时，
；
故的长度不变，长度为5．
【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离．
18．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t．
(1)当时，，请求出的长；
(2)当时，，请求出的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长；
【答案】(1)4cm
(2)4cm
(3)4cm
【分析】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；
（2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；
（3）结合（1）、（2）进行解答；
(1)
解：依题意知，当时，，
∴
∵，
∴
即，
∴
又，
∴；
(2)
解：当时，，
∴
又，
∴，
即，
∴
又，
∴
(3)
解：当运动时间为t时，，
∴
又，
∴，
即
∴
又，
∴
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
专题 线段中的四种动点问题与四种数学思想 专项讲练
线段有关的动点问题（数轴动点题）是苏科版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。
【知识储备】
1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程；
2.线段等量代换模型：
若，则，即
3.定和型中点模型：
若，分别是，的中点，则
线段的动点问题解题步骤：
1.设入未知量t表示动点运动的距离；
2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3.根据题设条件建立方程求解；
4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：
（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．
(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
题型4：阅读理解型（新定义）问题
例5．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【数学思想】
1.分类讨论思想
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论。
常见分类依据：①无图常需分类讨论； ②在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨论思想的应用，即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。
例1．（2022·重庆初一期中）已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
变式1．（2022·江苏·七年级期中）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A． B． C．或 D．或
变式2．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
2.数形结合思想
以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。 在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思想求最值和定值是常考点。
例2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接，在线段上求作线段，使；
（2）如图2，点是的中点，、分别是线段、上的点，且，．若，求线段的长．
变式1．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm．
变式2.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．
①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝ cm；
②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
3.整体思想
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。运用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数x，并用x表示有关线段。在线段计算中，求一条线段上的两个中点之间的距离时常用到整体的思想。
例3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
变式1．（2022·辽宁抚顺·九年级）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB的中点．
(1)若，，求线段MN的长；(2)若，，求线段MN的长．
4.方程思想
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法，运用方程思想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.有关线段比的问题（或倍分关系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山东烟台·期中）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
变式1．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
变式2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
课后专项训练
1．（2022·山东省泰安南关中学期中）已知点C在直线AB上且BC＝2AB，取AC的中点D，已知线段BD的长为6，则线段AB的长为___________．
2．（2022·浙江·七年级期中）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
3.（2022·河北·七年级期中）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＝acm，CB＝bcm，点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：MN＝ cm．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC＝acm，CB＝bcm（a＞b），点M、N分别为AC、BC的中点，猜想：MN＝ cm．
4.（2022·成都市·七年级期中）已知，线段AB＝60cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20cm，点D是AB中点，点E是BC的中点，求DE的长．
5.（2022·广东·七年级期中）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM．
（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝ 6 ；
（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．
（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）．
6．（2022·河北保定·七年级期末）已知：点，，在同一条直线上，线段，且线段，画图并计算：(1)若点在线段上，求的长；
(2)若点在射线上，点是的中点，求线段的长．
7．（2022·山西·七年级课时练习）已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长．
8．（2022·杭州市公益中学七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
9．（2022·辽宁建昌县·）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度．
设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题：
（1）点C表示的数是 ；点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示）
（2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长．
（3）直接写出 t 为何值时，点P与点Q相距4个单位长度．
10．（2022·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
11．（2022•奉化区校级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，则＝ ．
12．（2022·河北·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
13．（2022•奉化区校级期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）。（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
14．（2022·绵阳市·七年级课时练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
15．（2022·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒．
(1)当时，①________cm；②求线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．
16．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值
17．（2022·安徽合肥·七年级期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．
(1)当t＝6时，AC＝ ．(2)用含t的式子表示线段AC的长；当0≤t≤5时，AC＝ ；当5＜t≤10时，AC＝ ．(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，
18．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t．
(1)当时，，请求出的长；
(2)当时，，请求出的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长；
【动点问题】
题型1：线段中点有关的动点问题
例1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒：
（1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长．
【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7
【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且，
∴点表示的数为，点P表示的数为，故答案为：-6，；
（2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得，，解得，
∴点运动7秒时追上点；
（3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下：
①当点在点、两点之间运动时：
，
②当点运动到点的左侧时：
，∴线段的长度不发生变化，其值为7．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键．
变式1．（2022·河南·七年级期中）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；（2）若，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
【答案】（1）6；（2）6；（3）或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12解得t=或t= 2
故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．
题型2：线段和差倍分关系中的动点问题
例2．（2022·贵州黔西·七年级期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．
(1)如图1，当为中点时，求的长；
(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．
【答案】(1)7(2)3或5
【分析】（1）根据，，可求得，，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．
(1)，，，，
如图1，
为中点，，
，∴，
∴，
(2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，
或
∵，，点是的中点，
∴，∴，∴，
∵，故图2（b）这种情况求不出；
Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，
或
，，∴，
∴，．
∵，故图3（b）这种情况求不出；
综上所述：的长为3或5．
【点睛】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答的关键．本题较难，需要想清楚各种情况是否存在．
变式2．（2022·陕西岐山县·七年级期中）如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为．
（1）______．（2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长．
（3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长．
【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或
【分析】（1）由两点间的距离，即可求解；（2）由线段的和差关系可求解；
（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得．
【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，
∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；故答案为：12
（2）根据点，的运动速度知．
因为，所以，即，所以．
（3）分两种情况：如图，当点在线段上时，
因为，所以．
又因为，所以，所以；
如图，当点在的延长线上时，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
题型3：线段上动点问题中的存在性（探究性）问题
例3．（2022·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．
（1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ，
∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，
∵，，∴，解得：．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，
∵，，∴，解得：．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
变式2．（2022·湖北青山区·七年级期中）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
题型4：阅读理解型（新定义）问题
例5．（2022·河南宛城七年级期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
（问题解决）（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。
（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．
【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，答案为：是；
（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．
综上，C点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有
①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得，，
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；
③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；
（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有
①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得，；
③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．
故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
变式1．（2022·江苏淮安·七年级期末）【探索新知】
如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”.
（1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果）
【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”；
（3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值.
【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或
【分析】（1）①可直接根据“二倍点”的定义进行判断；
②可分为三种情况进行讨论，分别求出BC的长度即可；
（2）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；
（3）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．
【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是.
②∵，是线段的“二倍点”，
当时，；
当时，；
当时，；故答案为：10或或；
（2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=；
当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5；
当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=；
答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；
（3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；
当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；
当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；
答：t为或8或时，点M是线段AN的“二倍点”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键．
【数学思想】
1.分类讨论思想
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种解题思想。在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论。
常见分类依据：①无图常需分类讨论； ②在不清楚点的具体位置的情况下，应注意分类讨论思想的应用，即分点在线段上还是在线段的延长线上，在左侧还是右侧等情况。
例1．（2022·重庆初一期中）已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．
【解析】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b． ∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a． ∵点M是AB的中点，∴AMAB=，
∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．故选D．
【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·七年级期中）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图
∵，∴2AP=＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm∴AP=12×cm∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
变式2．（2022·沙坪坝区·七年级月考）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可．
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用．
2.数形结合思想
以图形的认识为主，这是几何研究的主要特点。同时我们也要联系到数量，使两者一致，达到数与形的完美结合。数与形是数学的两块基石，它们常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。 在解题时，必须注意把数和形结合起来，把形的问题转化为数的问题，或者把数的问题转化为形的问题。利用数研究形，关键在于创设条件，使几何图形数量化；运用数形结合思想求最值和定值是常考点。
例2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）（1）如图1，请利用无刻度的直尺和圆规，连接，在线段上求作线段，使；
（2）如图2，点是的中点，、分别是线段、上的点，且，．若，求线段的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）线段CE的长为，详见解析
【分析】（1）根据尺规作图，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求；
（2）根据题意，结合图形可求出AC=BC=，，，可求出BE，即可求出CE的长．
【详解】解：（1）如图所示，连接AC，以B为圆心，AC为半径画弧，交BD于点E，DE即为所求，
；
（2）由题意可知，AC=BC=，
∴，，
∴BE=AB-AD-DE=，
∴CE=BC-BE=，
即：线段CE的长为．
【点睛】本题主要考查的是尺规作图，以及线段求值，数形结合是解题的关键．
变式1．（2022·福建·福州华伦中学七年级期末）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm．
【答案】或
【分析】根据题意可求出，．设，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据，即得出关于x的等式，解出x即可．
【详解】∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，
∴，．
设，
分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
②当点C在OB之间时，如图，
由图可知，，．
∴此时不成立；
③当点C在点B右侧时，如图，
由图可知，，，
∵，
∴，
解得：．
故此时；
综上可知OC的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查线段n等分点的有关计算，与线段有关的动点问题的计算．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
变式2.（2022·山东·七年级期末）如图1，将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．
（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处．
①如图2，若A'、B'恰好重合于点O处，MN＝ cm；
②如图3，若点A'落在点B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度；
③若A'B'＝ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在B'处，在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
【解题思路】（1）①由题意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，再结合图形可求得答案；
②先结合图形可求得AA′+BB′＝40 cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可；
③分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时；
（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，分别按以下几种情况进行计算：①当B′D：CD：AC＝3：4：5时，②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，④当CD：AC：B′D＝3：4：5时，⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时．
【解答过程】（1）①∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处，
∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，
∴MN＝MO+ON=12（AO+OB）=12AB＝30；故答案为：30．
②∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm，
∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40 cm．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM=12AA'，BN=12BB'，
∴AM+BN=12AA'+12BB'=12(AA'+BB')=12×40=20cm，
∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40 cm．
③如∵M、N分别为AA′、BB′的中点，
∴AM＝MA′=12AA'，BN＝B′N=12BB'．
当点A′落在点B′的左侧时，如第（1）小题②图，
∴MN＝MA′+A′B′+B′N=12AA′+A′B′+12B′B=12（AA′+A′B′+B′B）+12A′B′=12（AB+A′B′）＝（30+12n）（cm）；
当点A′落在点B′的右侧时，如（1）③图，
∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm．
∴AM+BN=12AA'+12BB'=12(AA'+BB')=12×(60+n)=(30+n2)cm．
∴MN＝AB﹣（AM+BN）=60−(30+n2)=(30−n2)（cm）．
综上，MN的长度为(30+n2)cm或(30−n2)cm．
（2）由于三段的长度由短到长的比为3：4：5，CN=12CD，
所以可分为以下几种情况：
①当B′D：CD：AC＝3：4：5时，AC=512AB，CD=13AB，
∴AN=512AB+12CD=712AB＝35（cm），
②当B′D：AC：CD＝3：4：5时，AC=13AB，CD=512AB，
∴AN=13AB+12CD=1324AB＝32.5（cm），
③当CD：B′D：AC＝3：4：5时，AC=512AB，CD=312AB，
∴AN=512AB+12CD=1324AB＝32.5（cm），
④当CD：AC：B′D＝3：4：5时，AC=13AB，CD=312AB，
∴AN=13AB+12CD=1124AB＝27.5 cm，此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
⑤当AC：B′D：CD＝3：4：5时，AC=14AB，CD=512AB，
∴AN=14AB+12CD=1124AB＝27.5 cm，此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
⑥当AC：CD：B′D＝3：4：5时，AC=14AB，CD=13AB，
∴AN=14AB+12CD=512AB＝25 cm；此时B′D＞AC，不符合题意，舍去；
综上所述，AN所有可能的长度为：32.5 cm或35cm．
3.整体思想
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。运用整体思想计算线段的长或求定值，注意设字母参数x，并用x表示有关线段。在线段计算中，求一条线段上的两个中点之间的距离时常用到整体的思想。
例3．（2022·陕西咸阳·七年级期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．
(1)如图1，当AC＝4时，求DE的长．
(2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长；
（2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长．
（1）
∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，
∴，,
∵E为BC的中点，
∴，
∴；
（2）
线段EF的长度不会发生变化，，
∵AB＝16，CD＝2，
∴，
∵F为AD的中点，E为BC的中点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．
变式1．（2022·辽宁抚顺·九年级）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数．
【详解】解：根据题意可知：
当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，
∵图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，
∵AD和BC的中点是同一个，
∴直线l上会发出警报的点P有5个．故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
变式2．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，点B在线段AC的延长线上，M、N分别是线段AC、CB的中点．
(1)若，，求线段MN的长；(2)若，，求线段MN的长．
【答案】(1)线段MN的长度为7cm(2)线段MN的长度为 (a+ b)
【分析】(1) 根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可；(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．
（1）解：∵AC=10cm，点M是AC的中点，∴CM=AC= 5cm，
∵CB=4cm，点N是BC的中点，
∴CN=BC=2cm ，∴MN=CM+CN=7cm，
∴线段MN的长度为7cm；
（2）∵ AC=a，点M是AC的中点，∴CM =AC=
∵CB=b，点N是BC的中点，∴CN=BC=b；
∴MN=CM+CN= (a+b)，∴线段MN的长度为 (a+ b)．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，难度较大．
4.方程思想
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法，运用方程思想计算线段的长，巧设未知数，一般设和其它多数线段相关的线段为x.有关线段比的问题（或倍分关系）常用方程思想求解。
例4．（2022·山东烟台·期中）如图线段，点在射线上从点开始，以每秒的速度沿着射线的方向匀速运动，则时，运动时间为（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根据题意可知，当PB=AB时，点P可以位于点B两侧，则通过分类讨论问题可解．
【详解】解：由已知当PB=AB时，PB=，
设点P运动时间为t秒，则AP=2t
当点P在B点左侧时2t+=8 解得t=，
当点P在B点左侧时2t-=8 解得t=
所以t=或t=．故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程以及分类讨论的数学思想，解答时注意根据已知的线段数量关系构造方程．
变式1．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒
【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．
（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，
点表示的数是，故答案为：；
（2）AB=12，，，，设经过秒点是的中点，
根据题意列方程得，解得，故答案为：8；
（3）设点运动了秒时，
①当点在点左侧时，即，
根据题意列方程得，解得；
②当点在点右侧时，即，
根据题意列方程得，解得；
综上，当运动了秒或秒时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
变式2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．
(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值．
【答案】(1)16，24．
(2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；
（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可；
（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．
(1)解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，
∴8+BC=，解得：BC=16m，∴AB=×16=24m．故答案为：16，24．
(2)解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，∴6x={8+2x），解得x=．
答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．
(3)解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=；
当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x=．
答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键.
课后专项训练
课后专项训练
1．（2022·山东省泰安南关中学期中）已知点C在直线AB上且BC＝2AB，取AC的中点D，已知线段BD的长为6，则线段AB的长为___________．
【答案】4或12##12或4
【分析】根据题意画出图形，根据线段中点的性质计算即可．
【详解】解：点C在A的左边，如图所示：
∵D是AC的中点，∴AD＝AC，
∵BC＝2AB，∴AC＝AB，∴AD＝AB，
∴BD＝AB＋AB＝6，∴AB＝4；
C在A的右边，如图所示：
∵且BC＝2AB，∴AC＝3AB，
∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝AB，
∴BD＝AD−AB＝AB＝6，∴AB＝，
综上所述，AB的长为4或12．故答案为：4或12．
【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，解题的关键是，注意数形结合思想，并进行分类讨论．
2．（2022·浙江·七年级期中）已知三点在同一条直线上，且线段，点分别是线段的中点点F是线段的中点，则_______．
【答案】或
【分析】根据中点定义求出BD、BE的长度，然后分①点C在AB的延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解；②点C在AB的反向延长线上时，求出DE的长度，再根据中点定义求出EF的长，然后根据BF=BE-EF代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：、分别是线段、的中点，，，
，，
①如图1，点在的延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，；
②如图2，点在的反向延长线上时，，
点是线段的中点，，此时，，
综上所述，或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
3.（2022·河北·七年级期中）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＝acm，CB＝bcm，点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：MN＝ cm．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC＝acm，CB＝bcm（a＞b），点M、N分别为AC、BC的中点，猜想：MN＝ cm．
【解题思路】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可；
（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN=12（a+b）；
（3）点在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．
【解答过程】解：（1）∵AC＝6cm，点M是AC的中点，
∴CM=12AC＝3cm，
∵CB＝4cm，点N是BC的中点，
∴CN=12BC＝2cm，
∴MN＝CM+CN＝5cm，
∴线段MN的长度为5cm；
（2）∵AC＝acm，点M是AC的中点，
∴CM=12AC=12acm，
∵CB＝bcm，点N是BC的中点，
∴CN=12BC=12bcm，
∴MN＝CM+CN=12a+12b=12（a+b）cm，
∴线段MN的长度为12（a+b）cm，
故答案为：12（a+b）；
（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：
则AC＞BC，
∵M是AC的中点，
∴CM=12AC=12acm，
∵点N是BC的中点，
∴CN=12BC=12bcm，
∴MN＝CM﹣CN=12（AC﹣BC）=12（a﹣b）cm，
故答案为：12（a﹣b）．
4.（2022·成都市·七年级期中）已知，线段AB＝60cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20cm，点D是AB中点，点E是BC的中点，求DE的长．
【解题思路】画出图形，此题由于点的位置不确定，故要分情况讨论：
（1）点C在线段AB上；
（2）点C在线段AB的延长线上．
【解答过程】解：（1）当点C在线段AB上时，如图：
∴CD=12（AB﹣BC）=12×（60﹣20）=12×40＝20cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
∴CD=12（AB+BC）=12×（60+20）=12×80＝40cm；
∴CD的长为20cm或40cm．
5.（2022·广东·七年级期中）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM．
（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝ 6 ；
（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．
（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）．
【解题思路】（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．由AB＝8列出方程，求得x+y，再进而求得MN；
（2）把MN＝AM+AN代入CN+2AM﹣2MN中计算便可知道结果；
（3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y，①当C点在B点右边时，不符合题意，舍去；②当点C在点A的左边，由AB＝CB﹣CA得出y﹣x=14m，进而得MN＝3（y﹣x）=34m；③当点C在线段（AB上时，由AB＝CB+CA得y+x=14m，进而得MN＝3（y+x）=34m，最后总结结论．
【解答过程】解：（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．
∵AB＝AN+CN+CM+MB＝m，
∴x+3x+3y+y＝m＝8，
∴x+y＝2，
MN＝NC+CM
＝3x+3y
＝3（x+y）
＝6．
（2）CN+2AM﹣2MN的值与m无关．理由如下：
如图1，
∵CN＝3AN，
∴CN+2AM﹣2MN
＝3AN+2AM﹣2（AN+AM）
＝AN
∵AN与m的取值无关，
∴CN+2AM﹣2MN的值与m无关；
（3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y
①当C点在B点右边时，
∵满足CM＝3BM，M在线段AB上，如图2
此时，M不是线段BC上的点，不符合题意，舍去；
②当点C在点A的左边，如图3，
∵AB＝CB﹣CA＝（CM+MB）﹣（CN+AN）＝m，
∴（3y+y）﹣（x+3x）＝m，∴y﹣x=14m，
∴MN＝CM﹣CN＝3y﹣3x＝3（y﹣x）=34m；
③当点C在线段（AB上时，如图4，
∵AB＝CB+CA＝（CM+MB）+（CN+AN）＝m，
∴（3y+y）+（x+3x）＝m，
∴x+y=14m，
∴MN＝CM+CN＝3y+3x＝3（y+x）=34m；
∴MN长度为34m．
综上，MN长度为34m
6．（2022·河北保定·七年级期末）已知：点，，在同一条直线上，线段，且线段，画图并计算：(1)若点在线段上，求的长；
(2)若点在射线上，点是的中点，求线段的长．
【答案】(1)图见解析，4；(2)图见解析，2或4；
【分析】（1）在线段MN上截取PN=2，再计算线段的差即可；
（2）分两种情况讨论：①当点在点左侧时，由线段差求得MP，再由线段中点计算求值即可；②当点在点右侧时，由线段和求得MP，再由线段中点计算求值即可；
(1)解：如图，点在线段上时，
；
(2)解：①当点在点左侧时，如图所示：
，
∵点为的中点，∴；
②当点在点右侧时，如图所示：
由图形可知：，
∵点为的中点，∴，
综上所述，的长为2或4；
【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的有关计算；根据线段位置关系分情况讨论是解题关键．
7．（2022·山西·七年级课时练习）已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长．
【答案】(1)7
(2)3或5
【分析】（1）由，，可求出，．再根据E为BC中点，即得出，从而可求出CD的长，进而可求出AD的长；
（2）分类讨论：当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题．
（1）
∵，，，
∴，，
如图，
∵E为BC中点，
∴，
∴，
∴；
（2）
分类讨论：①如图，当点E在点F的左侧时，
∵，，
∴点F是BC的中点，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点E在点F的右侧，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上所述：AD的长为3或5；
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
8．（2022·杭州市公益中学七年级月考）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝或CE＝DE＝，则CD＝或，由线段的和差即可得到结论；（2）当点E在线段BC之间时，，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，∴CE＝3，∵DE＝8，∴CD＝5，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，∴CD＝或CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，设CE＝y，∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，∴，∴y＝x，
∴CD＝1.5x﹣x＝x，∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵，BE＝EC+BC＝x+y，∴，∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，∴，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述的值为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．
9．（2022·辽宁建昌县·）如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度．
设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题：
（1）点C表示的数是 ；点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示）
（2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长．
（3）直接写出 t 为何值时，点P与点Q相距4个单位长度．
【答案】（1）8，3t，8＋t；（2） ；（3）2或6
【分析】（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，则点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t；（2）根据题意，得，，，AQ=8+t则 ，，则求解即可；（3）由题意得 ，AQ=8+t，则，求解即可．
【详解】解：（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，
∴点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t，故答案为：8，3t，8+t；
（2）根据题意，得，，，AQ=8+t
∵点M是AP的中点，点N是CQ的中点，∴， ，
∴，∴；
（3）由题意得 ，AQ=8+t，∴，解得t=2或6．
∴当t=2或6时点P与点Q相距4个单位长度．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，线段的中点问题，解题的关键在于能够准确找到线段之间的关系．
10．（2022·广东光明区·）定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝BC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3）或24
【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；
（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；
（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．
【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，∴BM=BN，∴点B是点M，N的“倍分点”；
（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，
①当DM=AM时，DM=1，∴|x-（-3）|=1，解得：x=-2或-4，
②当AM=DM时，DM=2AM=4，∴|x-（-3）|=4，解得：x=1或-7，
综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，故答案为：4；-2，-4，1，-7；
（3）MN=6-（-3）=9，当PN=MN时，PN=×9=，
∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为，
当MN=PN时，PN=2MN=2×9=18，
∵点P在点N的右侧，∴此时点P表示的数为24，
综上所述，点P表示的数为或24．
【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．
11．（2022•奉化区校级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，则＝ ．
解：（1）AC＝2BC，AB＝18，DE＝8，
∴BC＝6，AC＝12，
①如图，
∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∴CD＝5，
∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；
②如图，
Ⅰ、当点E在点F的左侧，
∵CE+EF＝3，BC＝6，
∴点F是BC的中点，
∴CF＝BF＝3，
∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，
∴AD＝AF＝5；
Ⅱ、当点E在点F的右侧，
∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∴AF＝3AD＝9，
∴AD＝3．
综上所述：AD的长为3或5；
（2）∵AC＝2BC，AB＝2DE，满足关系式＝，
Ⅰ、当点E在点C右侧时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝x+y，
∴AB＝2（x+y）
AC＝AB＝（x+y）
∴AD＝AC﹣DC＝x+y
BC＝AB＝（x+y）
∴BE＝BC﹣CE＝y﹣x
∴AD+EC＝x+y
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（x+y）＝3（y﹣x）
解得，17x＝4y，
∴＝＝＝．
Ⅱ、当点E在点A左侧时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x）
AC＝AB＝（y﹣x）
∴AD＝DC﹣AC＝x﹣y
BC＝AB＝（y﹣x）
∴BE＝BC+CE＝y+x
∴AD+EC＝x﹣y
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（x﹣y）＝3（y+x）
解得，11x＝8y，
∴＝＝．
点D在C点右侧，及点D在B点右侧，
无解，不符合题意；
当DE在线段AC内部时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x），
AC＝AB＝（y﹣x），
∴AD＝AC﹣DC＝y﹣x，
BC＝AB＝（y﹣x），
∴BE＝BC+CE＝y+x，
∴AD+EC＝﹣x+y，
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（﹣x+y）＝3（y+x），
解得，﹣5x＝4y（不符合题意，舍去），
∴＝＝＜，不符合题意，舍去．
故答案为或．
12．（2022·河北·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，
∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC，CN＝BC，
∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；
②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；
③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），
综上所述：t＝4或或．
13．（2022•奉化区校级期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）。（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
解：（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2，4；
（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2cm，BD＝4cm
∵AB＝12cm，CM＝2cm，BD＝4cm，
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6（cm）；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，∴AM＝AB＝4，故答案为：4；
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝4，
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4，
∴＝＝；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB＝12∴＝＝1；综上所述＝或1
14．（2022·绵阳市·七年级课时练习）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；
(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；
②设运动时间为：秒，则，利用中点的性质表达出：，即可得出答案；
（2）依题意得出，，再由和，即可得出AP的长度．
（1）
①依题意得：，
∴，
故答案为：；
②设运动时间为秒，则
∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，
∴
∴
故答案为：；
（2）
设运动时间为秒，则，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】此题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差，中点的性质，掌握线段之间的数量关系是解题的关键．
15．（2022·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒．
(1)当时，①________cm；②求线段CD的长度．
(2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度．
【答案】(1)①；② (2)或
【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；（2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长．
（1）解：①当时，；故答案为：4
②∵，，∴．
∵C是线段BD的中点，∴．
（2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动，
∴当点B沿点A→D运动时，
点B沿点D→A运动时，
∴综上所述，（）或（）
【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键．
16．（2022·广东江门·七年级期末）如图，已知长方形ABCD的长米，宽米，x，y满足，一动点P从A出发以每秒1米的速度沿着运动，另一动点Q从B出发以每秒2米的速度沿运动，P，Q同时出发，运动时间为t．
(1)______________，______________．(2)当时，求的面积；
(3)当P，Q都在DC上，且PQ距离为1时，求t的值
【答案】(1)5，4(2)平方米(3)
【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负性，即可求解；
（2）根据题意得：当t=4.5时，点P在CD上，DP=0.5米，点Q刚好到达点D处，可得米，再由，即可求解；
（3）当P，Q都在DC上，可得，然后分两种情况讨论：当P左Q右时，当Q左P右时，即可求解．
（1）解∶∵，∴，∴x=5，y=4，故答案为：5，4；
（2）解：当t=4.5时，P走过的路程为4.5米，此时点P在CD上，DP=0.5米，Q走过的路程为9米，刚好到达点D处，∴米，∴平方米；
（3）解：点P在DC上，，点Q在DC上，，∴，当P左Q右时，，，∴，∴，解得：当Q左P右时，，，∴，∴，解得，不符题意，舍去．综上，满足题意的．
【点睛】本题主要考查了动点问题，涉及绝对值和平方式的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是关键题意用时间t表示出线段长度，列式求出t的值．
17．（2022·安徽合肥·七年级期末）线段AB＝10，AB上有一动点C，以每秒2个单位的速度，按A一B一A的路径从点A出发，到达点B后又返回到点A停止，设运动时间为t（0≤t≤10）秒．
(1)当t＝6时，AC＝ ．(2)用含t的式子表示线段AC的长；当0≤t≤5时，AC＝ ；当5＜t≤10时，AC＝ ．(3)M是AC的中点，N是BC的中点，在点C运动的过程中，MN的长度是否发生变化？若不变化，求出MN的长，
【答案】(1)8
(2)，；
(3)的长度不变，长度为5
【分析】（1）根据点的运动速度和可得答案；
（2）根据路程速度时间可求的长度；
（3）分情况讨论，再根据线段中点的定义可得答案．
(1)
当时，动点运动了个单位，
，
．
．
故答案为：8；
(2)
当时，；
当时，
．
故答案为：，；
(3)
当时，
；
当时，
；
故的长度不变，长度为5．
【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离．
18．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t．
(1)当时，，请求出的长；
(2)当时，，请求出的长；
(3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长；
【答案】(1)4cm
(2)4cm
(3)4cm
【分析】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；
（2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值；
（3）结合（1）、（2）进行解答；
(1)
解：依题意知，当时，，
∴
∵，
∴
即，
∴
又，
∴；
(2)
解：当时，，
∴
又，
∴，
即，
∴
又，
∴
(3)
解：当运动时间为t时，，
∴
又，
∴，
即
∴
又，
∴
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
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