苏科版数学八上期末专题复习 一次函数章末重难点题型（2份，原卷版+解析版）

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考点一 函数的概念
考点二 函数自变量的取值范围
考点三 一次函数的概念
考点四 求一次函数的自变量或函数值
考点五 根据一次函数的解析式判断其象限
考点六 一次函数与坐标轴的交点问题
考点七 一次函数图象的平移问题
考点八 一次函数的增减性
考点九 求一次函数的解析式
考点十 用一次函数解决问题
考点十一 一次函数规律性问题探究
考点十二 一次函数的几何综合类问题
一次函数重难点题型配套训练
【考点一 函数的概念】
【例题1】已知某汽车耗油量为0.1L/km，油箱中现有汽油50L．如果不再加油，记此后汽车行驶的路程为xkm，油箱中的油量为yL．则此问题中的常量和变量是（ ）
A．常量50；变量x．B．常量0.1；变量y．
C．常量0.1，50；变量x，y．D．常量x，y；变量0.1，50．
【变式1-1】如下平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示是的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下：
那么，当电阻时，电流________A．
【变式1-3】如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下面四个结论中，①w是v的是函数；②v是w的函数；③h是w的函数；④w是h的函数，所有正确结论的序号是____．
【变式1-4】如图是小李骑自行车离家的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系.
(1)在这个变化过程中自变量是________，因变量是__________.
(2)小李出发几小时到达离家最远的地方，此时离家多少千米.
(3)小李骑自行车在时的速度为多少km/h，时速度为多少km/h.
(4)小李出发几小时与家相距20.
【考点二 函数自变量的取值范围】
【例题2】函数y＝﹣中自变量x的取值范围是（ ）
A．x＝3B．x＜3且x≠2C．x≤3且x≠2D．x≠2
【变式2-1】某学校要种植一块面积为60m2的长方形草坪，要求两边长均不小于3m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】函数中，自变量的取值范围是___________．
【变式2-3】汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，则油箱的余油量（单位：升）随行驶时间（单位：时）变化的函数关系式是__，自变量的取值范围是___．
【变式2-4】4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
(1)以（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求关于的函数解析式；
(2)“世界读书日”这一天，当时，如何选择这两家书店去购书更省钱？
【考点三 一次函数的概念】
【例题3】当为何值时，函数是一次函数（ ）
A．2B．－2C．－2和2D．3
【变式3-1】新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】已知函数（m、n为常数）．当m、n分别为________、________时，y是x的正比例函数．
【变式3-3】有下列函数：①； ②； ③； ④；⑤ ；⑥；其中是正比例函数的有________________，是一次函数的有___________________（填代号即可）.
【变式3-4】已知是关于的函数：.
（1）当，为何值时，是一次函数；
（2）当，为何值时，是正比例函数.
【考点四 求一次函数的自变量或取值范围】
【例题4】若点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A．B．3C．D．
【变式4-1】已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线上，点A关于y轴对称的点B恰好落在直线上，则k的值为___．
【变式4-3】定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，对于任意两点、称的值为、两点的“直角距离”．直线与坐标轴交于A、两点，为线段上与点A、不重合的一点，那么、两点的“直角距离”是___________．
【变式4-4】如图，直线y＝﹣x＋6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点．
(1)求A，C坐标；
(2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．
【考点五 根据一次函数的解析式判断其象限】
【例题5】如图中表示一次函数与正比例函数（m、n是常数，mn≠0）图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】对于函数，下列结论正确的是
A．它的图象必经过点B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时，D．的值随值的增大而增大
【变式5-2】已知，则一次函数的图象不经过的象限是_______．
【变式5-3】已知直线y＝（m-1）x+3﹣2m（m为常数，且m≠1）．当m变化时，下列结论正确的有_________．
①当m=2，图象经过一、三、四象限；
②当m＞0时，y随x的增大而减小；
③直线必过定点（2，1）；
④坐标原点到直线的最大距离是．
【变式5-4】问题：探究函数的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
在函数中，自变量可以是任意实数；
（1）下表是与的几组对应值．
①______；
②若，为该函数图象上不同的两点，则______；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；
【考点六 一次函数与坐标轴交点问题】
【例题6】点和点在直线上，已知直线与y轴交于正半轴，且，则m的值可能是（ ）
A．B．C．3D．4
【变式6-1】已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若将直线向右平移m（m>0）个单位得到直线，直线与x轴交于C点，若△ABC的面积为6，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-2】一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为______，与y轴的交点为B的坐标为______，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为______．
【变式6-3】如图，一次函数与坐标轴分别交于两点，点分别是线段上的点，且，则点的坐标为_____．
【变式6-4】如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（﹣3，0）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．
(1)求直线l2的解析式；
(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．
【考点七 一次函数图象的平移问题】
【例题7】将直线向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx＋b，则下列关于直线y＝kx＋b的说法正确的是（ ）
A．直线经过一、三、四象限B．y随x的增大而减小
C．与y轴交于（2，0）D．与x轴交于（－4，0）
【变式7-1】已知直线，将直线向下平移a（a>0）个单位，得到直线，设直线与直线y＝x的交点为P，若，则a的值为（ ）
A．2B．C．D．6
【变式7-2】将直线y＝﹣x+6向下平移2个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S△ABO＝_____．
【变式7-3】如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y=2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的周长为______．
【变式7-4】已知直线经过点与；
(1)求直线的函数解析式，并在图中画出该函数图象；
(2)将直线向上平移3个单位，得到直线，在图中画出该函数图象，并求出：
①直线的表达式为 ．
②直线与轴的交点坐标是： ．
【考点八 一次函数的增减性】
【例题8】已知点，都在正比例函数的图像上．若，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】已知一次函数的图像与轴的正半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则时，应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】已知一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是________．
【变式8-3】已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是_____．
【变式8-4】已知某一次函数的图象经过点（-3，2）和（1，-6）
(1)试确定该一次函数的表达式；
(2)若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求△OAB的面积；
(3)若–5≤x≤3，求函数值y的最大值．
【考点九 求一次函数的解析式】
【例题9】已知一次函数（），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．函数的图象向上平移4个单位长度得到的图象
C．函数的图象不经过第三象限
D．若，两点在该函数图象上，且，则
【变式9-1】把8个边长为1的正方形按如图所示摆放在直角坐标系中，经过原点O的直线l将这8个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】无论 m 取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为____ ；线段 AB 的端点分别为 A（1，3），B（3，0），一次函数图像与线段 AB 相交，则m 的取值范围是____．
【变式9-3】如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点，则__________，一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，则的值为____________.
【变式9-4】如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接．
(1)求直线的解析式；
(2)点P为直线上一动点，若，求点P的坐标；
(3)在第二象限找一点M使得为等腰直角三角形，直接写出点M所有可能的坐标．
【考点十 用一次函数解决问题】
【例题10】甲、乙两人相约登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，根据信息，下列说法正确的个数为（ ）
（1）甲登山上升的速度是每分钟10米；
（2）乙在A地时距地面的高度b为30米；
（3）t的值为11；
（4）登山时间为4分钟，9分钟，15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-1】如图所示，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边，在第二象限内作等腰直角，，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
A．B． C．D．
【变式10-2】某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法正确的是____________（坑序号）．
①10分钟后，甲仓库内快件数量为90件；②乙仓库每分钟派送快件数量为8件；③甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：；④乙仓库时有快件360件；⑤时，甲仓库内快件数为480件；⑥时，两仓库快递件数相同．
【变式10-3】甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道、两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在地抽取的任务单递给乙后继续向地前行，乙就原地执行任务，用时14分钟，再继续向地前行，此时甲尚未到达地．当甲和乙分别到达地和地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向地前行．抽取和递交任务单的时间忽略不计．甲、乙两名同学之间的距离（米与运动时间（分之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟60米，且甲的速度小于乙的速度，现给出以下结论：
①两地距离1680米；
②出发10分钟，甲乙两人第一次相遇；
③乙的速度为每分钟100米；
④甲在出发后第44分钟时开始执行任务．
其中正确的是 __．（写出所有正确结论的序号）
【变式10-4】小刚在大桥上看到锯齿状的伸缩缝(如图①)，通过查阅资料知道伸缩缝是为大桥热胀冷缩而设置，并且大桥伸缩缝的长度主要受气温的影响，于是他对此进行了进一步的探究．在一年中他对当地某大桥伸缩缝的长度进行了五次测量，每次对伸缩缝长度测三次取其平均值，使测量结果更为精确，并将所测数据制成下表：
根据上面的信息，小刚提出了4个问题，请你帮他解答：
(1)在图②的直角坐标系内，描出五次测量的有序数对所对应的五个点；
(2)这些点是否近似地在一条直线上？如果是，请确定一个l与t的近似关系式；如果不是，请说明理由．
(3)若某时测得伸缩缝的长度为83.6mm，请估计此地当时的气温；
(4)当地气温一般在-15℃~40℃，估计该大桥伸缩缝长度的最大值与最小值分别是多少．
【考点十一 一次函数规律性探究问题】
【例题11】如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】如图，过点（1，0）作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为___________.
【变式11-3】如图，点O是坐标原点，直线l：y＝x+1与y轴交于点，以为边向右构造正方形，使点落在x轴上，延长交直线l于点，再以为边向右构造正方形，使点落在x轴上，…，按此规律依次作正方形，则所在直线的解析式为 _____．
【变式11-4】已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1）
(1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ．
②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式；
(2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ．
(3)求的面积．
【考点十二 一次函数的几何综合类问题】
【例题12】如图，在平面直角坐标系中，将□ABCD放置在第一象限，且ABx 轴．直线y=－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图像如图2所示，则□ABCD的面积为（ ）
A．10B．C．5D．
【变式12-1】．如图，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动到点停止，设点运动路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图（2）所示，则矩形的面积是（ ）
A．15B．16C．20D．36
【变式12-2】如图，直线与轴、轴分别交于点、，以线段为直角边向右侧作等腰直角三角形，．
（1）线段的长为____．
（2）若该平面第二象限存在一点，使与的面积相等，则的值_____．
【变式12-3】如图，在平面直角坐标系中直线与轴、轴分别交于点、，为上一点，且，点是线段上一点，连接并延长交于点，若时，则的长是______．
【变式12-4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，且，点C是直线上一点，且在第一象限，满足关系式．
(1)请直接写出点A的坐标____________；
(2)点P是线段上的一个动点（点P不与点O重合），过点P的直线l与x轴垂直，直线l交边或边于点Q，交于点R．设点P的横坐标为t，线段的长度为m．当时，直线l恰好过点C．
①求直线的函数表达式；
②当时，请求出点P的坐标．
【亮点训练】
1．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P从顶点D出发沿正方形的边运动，路线是D→C→B→A，设P点经过的路程为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图①，在△ABC中，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A的路径匀速运动到点A停止．图②是点P运动时线段AP的长度y随点P的运动时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边BC的长度为（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则b的值为（ ）
A．4B．-4C．±4D．±2
5．下图中表示一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝abx（a，b是常数，且ab＜0）图像的是（ ）．
A．B．C．D．
6．已知一次函数y＝ax＋b（a≠0），a，b满足关系式a2＝4（b－1）－2b（b－a），若P（m，－1），Q（n，3）在一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象上，则下列正确的是（ ）
A．m＜0＜nB．m＞0＞nC．m＞n＞0D．m＜n＜0
7．已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，则m的值为_____，函数的解析式为_____．
8．一次函数和的图像交于点（a，n），直线y＝n﹣1与和的图像分别交于点（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，则a、b、c从大到小排列应为________．
9．周日，小康从家骑自行车去图书馆借了一本美术图书，接着去学校办板报，办完板报后因有急事就坐车回到了家（小康家、图书馆、学校在同一条直线上，所有停车、等车时间忽略不计），如图所示的图象反映的是小康离的距离（米）与所用时间（分钟）之间的对应关系，根据图象提供的信息，有以下四种说法：①小康从图书馆去学校的速度为140米/分钟；②小康在学校办板报用了85分钟；③图书馆在小康家与学校的中点处；④小康从学校回到家的速度是从家到图书馆的速度的2倍．其中正确的说法有______（填序号即可）．
10．如图，直线l1：分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线l2：y2＝x交于点C（2，m）．则
（1）b＝________；
（2）若点P在直线l1上，且△OPC的面积为3，点P的坐标为________．
11．甲乙两地相距450千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，折线OAB表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，线段CD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，C（1，0），则在轿车追上货车后至到达乙地前，当轿车在货车前105千米时，所用的时间x为______小时．
12．如图，直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A、B两点，点C的坐标是（1，0），DE分别是AB、OA上的动点，当△CDE的周长最小时，点E的坐标是 _____．
13．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为，其中，满足．
(1)求，两点的坐标；
(2)当的面积为时，求点C的坐标；
(3)当时，则点的横坐标的取值范围是 ．
14．互联网时代，一部手机就可搞定午餐是新零售时代的重要表现形式，打包是最早出现的外卖形式，虽然古老，却延续至今，随着电话、手机、网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某知名外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种日工资方案：
方案一：每日底薪50元，每完成一单外卖业务再提成3元；
方案二：每日底薪80元，外卖业务的前30单没有提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元．
设骑手每日完成的外卖业务量为x单（x为正整数且），方案一、方案二中骑手的日工资分别为、（单位：元）．
(1)分别写出、 关于x的函数关系式；
(2)若小强是该外卖平台的一名骑手，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？并说明理由．
15．（1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式；
（3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由．
16．探究活动：探究函数的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．
(1)下表是与的几组对应值．
直接写出的值是_________；
(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请你先描出点，然后画出该函数的图象：
(3)观察图象，写出函数的一条性质：___________．
17．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作于D，过B作于E．
(1)求证：；
(2)模型应用：
①已知直线：y＝﹣x﹣4与y轴交于A点，将直线绕着A点逆时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，﹣6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
18．对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．对于分段函数，在自变量不同的取值范围内，对应的函数表达式不同，例如：是分段函数，当时分段函数表示为．
(1)当时，
①直接写出此分段函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出相应的函数图象；
②当时，直接写出函数值的取值范围；
③当时，直接写出自变量的取值范围；
(2)已知点的坐标，点的坐标．当函数的图象与线段有两个公共点时，求的取值范围．
100
200
220
400
2.2
1.1
1
0.55
…
0
1
2
3
…
…
1
0
0
…
x
…
0
1
2
…
y
…
6
4
2
0
…
日期
气温t(℃)
测量值l(mm)
第一次
第二次
第三次
平均值
1月8日
2
79.3
79.4
79.4
79.4
2月16日
0
80.1
80.0
79.9
80.0
5月5日
11
76.8
76.7
77
76.8
8月1日
30
71.0
70.9
70.6
70.8
10月6日
22
73.6
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