苏科版数学八上期末专题复习 全等三角形常见重难点考查题型（2份，原卷版+解析版）

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题型一、将已知图形分割成几个全等图形
题型二、结合尺规作图的全等问题
题型三、倍长中线模型
题型四、旋转模型
题型五、垂线模型
题型六、其他模型
题型七、全等三角形中的动点问题
题型八、全等三角形几何综合
【题型一 将已知图形分割成几个全等图形】
【例题1】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______．
【变式1-2】．如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为________．
【变式1-3】沿着图中的虚线（小正方形虚线边），用四种不同的方法（构成4种不同图形）将下面的图形分成两个全等的图形．
【题型二 结合尺规作图的全等问题】
【例题2】已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．点在的平分线上
【变式2-1】如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______．
【变式2-2】李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的
②当，时，可得到形状唯一确定的
③当，时，可得到形状唯一确定的
其中所有正确结论的序号是______________．
【变式2-3】嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明过程．
【题型三 倍长中线模型】
【例题3】如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____．
【变式3-2】中，，， 则第三边边上的中线的取值范围是______．
【变式3-3】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【题型四 旋转模型】
【例题4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（ ）
A．36B．21C．30D．22
【变式4-1】如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有______________．并写出3对全等三角形___________________________．
【变式4-2】如图，P是等边△ABC内一点，且PA＝6，PC＝8，PB＝10，若△APB绕点A逆时针旋转60°后，得到△AP′C，则∠APC＝_____°．
【变式4-3】（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【题型五 垂线模型】
【例题5】如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（ ）
A．8B．4C．3D．2
【变式5-1】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为________．
【变式5-2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为__________．
【变式5-3】在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．

【题型六 其他模型】
【例题6】如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【变式6-1】如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．
【变式6-2】如图，的面积是10，垂直的平分线于点，则的面积是__________．
【变式6-3】已知：和都是等腰直角三角形，，连接、交于点，与交于点，与交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
【题型七 全等三角形中的动点问题】
【例题7】如图，在长方形的中，已知，，点以4cm/s的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ）
A．4B．6C．4或D．4或
【变式7-1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A—C—B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B—C—A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．若要△PEC与△QFC全等，则点P的运动时间为_______．
【变式7-2】如图，在△ABC中，，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等．
【变式7-3】如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．
(1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．
(2)当时，求的值．
(3)若，求所有满足条件的值．
【题型八 全等三角形的几何综合】
【例题8】如图，，，，，垂足分别是点，，若，，则的长是（ ）
A．B．2C．3D．4
【变式8-1】如图，已知四边形ABCD中，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以的速度沿运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_________时，能够使与全等．
【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
【变式8-3】如图1，的角平分线，相交于点，
(1)发现：的度数为________；
(2)①猜想：与的数量关系为________；
②爱思考的小江对上述猜想进行了合理的推理，淘气的弟弟把他的稿纸撕了，仅剩如图2所示的部分过程，请把其余过程补充完整；
(3)拓展：如图3过点作的高记为，过点作的高记为；过点作的高记为，请写出，，之间的数量关系并说明理由．
【亮点训练】
1．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AE是经过点A的一条线段，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若CE＝3，BD＝AE＝9，则DE的长是（ ）
A．5B．5.5C．6D．7
4．将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为58，△ADC的面积为30，则△ABD的面积等于______．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，已知DE＝4，AD＝6，则BE的长为___．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ___cm/s．
9．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于.设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为______.
10．如图，△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是_____．
11．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
12．在边长为10厘米的等边三角形△ABC中，如果点M，N都以3厘米/秒的速度匀速同时出发．
（1）若点M在线段AC上由A向C运动，点N在线段BC上由C向B运动．
①如图①，当BD＝6，且点M，N在线段上移动了2s，此时△AMD和△BND是否全等，请说明理由．
②求两点从开始运动经过几秒后，△CMN是直角三角形．
（2）若点M在线段AC上由A向点C方向运动，点N在线段CB上由C向点B方向运动，运动的过程中，连接直线AN，BM，交点为E，探究所成夹角∠BEN的变化情况，结合计算加以说明．