江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】，共28页。试卷主要包含了如图，在正方形网格中，已知点A，如图，已知点A等内容，欢迎下载使用。
1．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．2
2．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．12B．24C．12πD．24π
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，∠BAO＝75°，则∠D＝（ ）
A．60°B．30°C．45°D．无法确定
4．已知二次函数y＝﹣x2+2mx，对于其图象和性质，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下
B．图象经过原点
C．当x＞m时，y随x的增大而增大
D．当x＜m时，y随x的增大而增大
5．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m（m是常数）上，若x1＜2＜x2，x1+x2＞4，则下列大小比较正确的是（ ）
A．m＞y1＞y2B．m＞y2＞y1C．y1＞y2＞mD．y2＞y1＞m
7．如图，已知点A（4，0），B（0，3），直线l经过A、B两点，点C（x，y）为直线l在第一象限的动点，作△AOC的外接圆⊙M，延长CM交⊙M于点Q，则△OCQ的面积最小值为（ ）
A．4B．4.5C．D．
二．填空题（共11小题）
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AC＝10，csC＝，那么CD＝ ．
9．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣1，p），B（4，q），则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 ．
10．如图，半径为7的扇形OAB中，∠O＝60°，C为半径OA上一点，过C作CD⊥OB于点D，以CD为边向右作等边△CDE，当点E恰好落在弧AB上时，CD＝ ．
11．已知锐角△ABC中，AB＝AC＝10，tanB＝3，则BC的长为 ．
12．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是 ．
13．如图，矩形CDEF中，CD＝8cm，CF＝6cm，点G在边FE上从F向点E运动，速度为3cm/s，同时点H在边DE上从E向点D运动，速度为4cm/s．连接CG、FH，设CG、FH交于点B，取EF的中点A，则AB的最小值为 cm．
14．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，下列结论中：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④﹣4a＜b＜﹣2a．其中正确结论的序号为 ．
15．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝ ．
16．在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则＝ ．
17．一副三角板按如图叠放，Rt△ABC与Rt△DEF的直角顶点A，D重合，斜边BC，EF的重叠部分为EC，已知∠B＝45°，∠F＝30°，则CF：BE＝ ．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AD＝DC，，BE⋅BD＝30，则⊙O的直径等于 ．
三．解答题（共7小题）
19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+ax经过点A（4，0）和点B（1，m），其对称轴交x轴于点H，点C是抛物线在直线AB上方的一个动点（不含A、B两点）．
（1）求a、m的值．
（2）连接AB、OB，若△AOB的面积是△ABC的面积的2倍，求点C的坐标．
（3）若直线AC、OC分别交该抛物线的对称轴于点D、E，试问DH+EH是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20．如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，D为AB上一点，过点D作DE⊥AB交BC边于点E，过点E作EF⊥BC交AC边于点F．
（1）求csB的值；
（2）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切；
（3）过点F作FP⊥AC，与线段DE交于点G，设BD长为t，△EFG的面积为S，求S关于t的函数表达式及t的取值范围．
21．如图，抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求出A、B、C三点的坐标；
（2）将抛物线y＝﹣x2+4x+5图象x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图象，得到的新图象记作M，图象M与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图象N．
①在图象M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图象N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
22．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，CE2＝BE•DE．
（1）求证：∠DCE＝45°；
（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长．
23．已知，矩形ABCD中，点F在CD上，连接BF交AC于点E．
（1）若AC⊥BF于点E，如图1．
①证明：△ACD∽△CBE；
②若DF＝AB，求∠BAC的度数；
（2）若，点F是CD的中点，连接AF，如图2，求sin∠CAF的值．
24．某公司计划购进一批原料加工为成品销售，加工费m（单位：万元）、销售价y（单位：万元/t）与原料的质量x（单位：t）之间都满足一次函数关系．收集相关数据如下表：
（1）直接写出m与x之间、y与x之间的函数关系式；
（2）已知在加工过程中原料质量有40%的损耗率，该原料的进价为2.2万元/t．设销售总额为P（单位：万元）．
①直接写出P与x之间的函数关系式；（友情提示：销售总额＝成品的质量×销售价）
②问原料质量为多少吨时，获销售利润70.2万元？
③问原料质量为多少吨时，获最大销售利润，最大销售利润是多少万元？
25．如图1、已知A、B、D在⊙O上，DH经过点O且与AB垂直垂足为点H，点F是线段HB上的一个动点（不与H，B重合），连接DF并延长与⊙O交于点C，过点C作⊙O的切线CE交AB的延长线于点E．
（1）求证：EC＝EF；
（2）如图2，连接AC，DE，DB，CB，已知∠ACD＝60°，当∠CAB＝∠BDE时，求证：AB2＝AC•DE；
（3）在（2）的条件下，若AD＝3，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：如图：
∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝2，
设AC＝x，则BC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．
故选：B．
2．【解答】解：它的侧面展开图的面积＝×2π×2×6＝12π．
故选：C．
3．【解答】解：连接OC，
∵AB＝BC，
∴＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∵∠D＝∠AOC，
∴∠D＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝75°，
∴∠AOB＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠D＝∠AOB＝30°．
故选：B．
4．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向下；
∵当x＝0时，y＝0，
∴图象经过原点；
∵对称轴为：x＝m，
∴当x＞m时，y随x的增大而减小，当x＜m时，y随x的增大而增大；
故选：C．
5．【解答】解：根据勾股定理求得：AB＝＝，AC＝＝，DE＝，FD＝＝，
＝＝＝，
∴△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
6．【解答】解：由抛物线y＝﹣（x﹣2）2+m（m是常数）可知抛物线开口向下，对称轴为x＝2，由最大值y＝m，
∵点A（x1，y1），B（x1，y1）在抛物线上，若x1＜2＜x2，x1+x2＞4，
∴x2﹣2＞2﹣x1，
∴点A（x1，y1）离对称轴较近，
∴y1＞y2，
故m＞y1＞y2，
故选：A．
7．【解答】解：∵点A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
∵CQ是⊙M的直径，
∴∠COQ＝90°，
∵∠BAO＝∠CQO，
∴tan∠BAO＝tan∠CQO，
∴＝＝，
∴OQ＝OC，
∴△OCQ的面积＝OC•OQ
＝OC•OC
＝OC2，
∴当OC最小时，△OCQ的面积最小，
∴当OC⊥AB时，OC最小，
∵△AOB的面积＝AB•OC＝OB•OA，
∴AB•OC＝OB•OA，
∴OC＝＝，
∴△OCQ的面积的最小值＝×（）2
＝，
故选：D．
二．填空题（共11小题）
8．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，csC＝，
∴BC＝AC•csC＝10×＝6，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴CD＝BC•csC＝6×＝，
故答案为：．
9．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，
∴﹣m+n＝p，4m+n＝q，
∵ax2﹣mx+c≤n，
∴ax2+c≤mx+n，
∴由图可知﹣1≤x≤4．
故答案为：﹣1≤x≤4．
10．【解答】解：如图，连接OE．设OD＝m．
∵CD⊥OB，
∴∠CDO＝90°，
∵∠COD＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
∴OC＝2OD＝2m，CD＝m，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝m，∠DCE＝60°，
∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°，
∴OC2+CE2＝OE2，
∴4m2+3m2＝72，
∴m＝±（负根已经舍去），
∴CD＝m＝．
故答案为：．
11．【解答】解：作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵tanB＝＝3，
∴AD＝3BD，
令BD＝x，则AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴x2+（3x）2＝102，
∴x＝，
∴BC＝2BD＝2x＝2．
故答案为：2．
12．【解答】解：设“东方模板”的面积为4，则阴影部分三角形面积为，平行四边形面积为，
则点取自黑色部分的概率为：＝，
故答案为：．
13．【解答】解：∵四边形CDEF为矩形，
∴CD＝EF＝8且∠E＝∠CFG＝90°，
设运动时间为t s，则FG＝3t，，
又∵，
∴，且∠CFG＝∠E＝90°，
∴△CFG∽△FEH，
∴∠GCF＝∠HFE．
又∵∠GCF+∠FGC＝90°，
∴∠HFE+∠FGC＝∠90°，
∴∠CBF＝∠GBF＝90°，
∴点B在以CF为直径的半圆上运动，如图，
设圆心为O，连接AO，则OF＝OC＝OB＝3．
∵A为EF的中点，
∴AF＝AE＝4．
在Rt△AFO中，，
当A、B、O三点共线时，AB+OB＝OA，即 AB＝OA﹣OB，
∴AB＝5﹣3＝2，
当A、B、O三点不共线时，AB'+OB'＞OA'，即AB'＞OA﹣OB'＝5﹣3＝2，
∴AB'＞2
综上，AB≥2，
∴AB的最小值为2cm．
故答案为：2．
14．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴﹣＞1，且抛物线与x轴右侧交点在（2，0），（3，0）之间，
∴抛物线与x轴左侧交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，②错误，不符合题意．
由图象可得抛物线与直线y＝﹣1有两个交点，
∴ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，③错误，不符合题意．
∵抛物线对称轴在直线x＝1和x＝2之间，
∴1＜﹣＜2，
∵a＞0，
∴﹣4a＜b＜﹣2a，④正确，符合题意．
故答案为：①④．
15．【解答】解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，
∵∠DOM＝2∠DPM，
∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，
当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，
∵M是CD的中点，CD＝4，
∴CM＝DM＝2，
连接OP，则OP⊥BC，
∵∠C＝90°，ON⊥CD，
∴四边形OPCN是矩形，
∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM，
在Rt△MON中，由勾股定理得，
ON＝＝＝2，
即PC＝2，
∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．【解答】解：∵点C把线段AB分成两部分，＝，
∴点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB，
∴AC＝AB﹣BC＝AB，
∴＝，
故答案为：．
17．【解答】解：过点A作AH⊥BF，垂足为点H，
∵∠B＝∠ACB＝45°，∠F＝30°，
∴∠FAH＝60°，∠EAH＝30°，∠BAH＝∠CAH＝∠B＝∠ACH＝45°，
∴AH＝BH＝CH，
设EH＝a，
则AH＝BH＝a，AH＝HC＝，
∴HF＝AH＝3a，
∵BE+EH＝BH，CF+HC＝HF，
∴BE＝BH﹣EH＝，
CF＝HF﹣HC＝3a﹣＝，
∴CF：BE＝＝，
故答案为：．
18．【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵，
∴∠ADB＝∠ACB，
∴△ABD∽△EBC，
∴，即AB⋅BC＝BE⋅BD＝30，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴
∴设AB＝5x，BC＝3x，
∴5x⋅3x＝30，解得，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16+4a，解得：a＝4，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3，即点B（1，3），即m＝3，
故a＝4，m＝3；
（2）延长AB交y轴于点N，过点C作CM∥AB交y轴于点M，
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，
解得：，即点N（0，4），即ON＝4，
∵△AOB的面积是△ABC的面积的2倍，
∴MN＝ON＝2，即点M（0，6），
∵CM∥AB，
故直线CM的表达式为：y＝﹣x+6，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+4x＝﹣x+6，
解得：x＝2或3，
即点C（2，4）或（3，3）；
（3）是定值，理由：
设点C（t，﹣t2+4t），
由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣t（x﹣4），
当x＝2时，y＝2t，即点D（2，2t），则DH＝2t，
由点C的坐标得，直线CO的表达式为：y＝（﹣t+4）x，
当x＝2时，y＝（﹣t+4）x＝﹣2t+8，即点E（2，﹣2t+8），则EH＝﹣2t+8，
则DH+EH＝2t﹣2t+8＝8，为定值．
20．【解答】解：（1）过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝3，
∴AM＝＝＝4，
∴csB＝＝；
（2）设BD长为x，
在Rt△BDE中，cs∠B＝＝，
∴BE＝x，EC＝6﹣x．
同理FC＝（6﹣x），FE＝（6﹣x）．
∵以点F为圆心，线段FA为半径的圆与BC边相切，
∴FA＝EF，
∴5﹣（6﹣x）＝（6﹣x），
解得x＝，
∴BD＝；
（2）如图，
∵DE⊥AB，EF⊥BC，
∴∠B+∠BED＝90°，∠DEF+∠BED＝90°．
∴∠B＝∠DEF．
同理∠EFG＝∠C．
∴△ABC∽△GEF．
∴＝（）2
∴＝（）2
∴y＝（t﹣）2，
∵△ABC∽△EFG，
∴BC：EF＝AB：GE，
∴6：（8﹣t）＝5：GE，
∴GE＝﹣t．
∵在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝t，BE＝t，
∴DE＝t．
∴DG＝DE﹣GE＝t﹣（﹣t）＝t﹣．
∵点G在线段DE上，EG为△EFG的一条边，
∴DG≥0，且EG＞0，
∴t﹣≥0，且﹣t＞0，
解得≤x＜．
21．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0）；
（2）①设P点的纵坐标为m，
∵△PAB的面积为3，
∴6（﹣m）＝3，
解得m＝﹣1，
当﹣x2+4x+5＝﹣1时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴P（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）；
当﹣x2+4x+5＝1时，解得x＝2+2或x＝2﹣2，
∴P（2+2，﹣1）或（2﹣2，﹣1）；
综上所述：P点坐标为（2+，﹣1）或（2﹣，﹣1）或（2+2，﹣1）或（2﹣2，﹣1）；
②∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点为（2，9），
∵图象M与直线y＝t恒有四个交点，
∴﹣9＜t≤0，
当﹣x2+4x+5＝﹣t时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴E（2﹣，t），F（2+，t），
∴EF＝2，
当＝﹣t时，解得t＝，
∵t＜0，
∴t＝，此时图象N与x轴相切，
∴﹣9＜t＜时，图象N与x轴相离．
22．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠A＝45°．
∵CE2＝BE•DE，
∴＝．
又∵∠BEC＝∠BEC，
∴△CDE∽△BCE．
∴∠ECD＝∠B＝45°．
（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴∠B＝∠A＝45°，AB＝＝3．
∵AD＝2BD，AD+BD＝AB，
∴3BD＝3．
∴BD＝，AD＝2．
∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠DCE+∠ACE＝∠ACD．
∠A＝∠DCE＝45°，
∴∠BEC＝∠ACD．
∵∠A＝∠B＝45°，
∴△BEC∽△ACD．
∴＝，即＝．
∴BE＝．
∵BD+DE＝BE，
∴DE＝BE﹣BD＝﹣＝．
23．【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵AC⊥BF，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴△ACD∽△CBE；
②解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴△FEC∽△BEA，
∴＝，
∵DF＝AB，
∴＝，
∴＝，
设CE＝a，则EA＝3a，
∵∠ABC＝90°，AC⊥BF，
∴BE2＝AE•EC＝3a2，
∴BE＝a，
则tan∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝30°；
（2）解：过点F作FH⊥AC于H，
设BC＝2a，则AB＝CD＝3a，
由勾股定理得：AC＝＝a，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝a，
则AF＝＝a，
∵S△AFC＝AC•FH＝CF•AD，
∴×a•FH＝×a×2a，
解得：FH＝a，
则sin∠CAF＝＝＝．
24．【解答】解：（1）设m＝kx+b，y＝px+q，
则，，
解得，，
∴m＝0.2x+40，
y＝﹣x+20；
（2）①根据题意，得P＝（1﹣40%）x•y＝60%x（﹣+20），
即P＝﹣0.2x2+12x；
②根据题意，得﹣0.2x2+12x﹣2.2x﹣（0.2x+40）＝70.2，
解得x＝29或19，
答：原料质量为29或19吨时，获销售利润70.2万元；
③设销售利润为W万元，根据题意，
得W＝﹣0.2x2+12x﹣2.2x﹣（0.2x+40）＝﹣0.2x2+9.6x﹣40＝﹣0.2（x﹣24）2+75.2，
∴当x＝24时，W取最大值为75.2，
答：原料质量为24吨时，获最大销售利润，最大销售利润是75.2万元．
25．【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDC+∠HFD＝90°，
∵OD＝OC＝r，
∴∠HDC＝∠OCD，
∵∠HFD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠ECD，
∴EC＝EF；
（2）证明：∵∠ACD＝60°，且∠ACD与∠ABD都是弧AD所对圆周角，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∵DH⊥AB，且DH过圆心，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝DB，
∵∠ABD+∠DBE＝180°，∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠DBE＝∠ACB，
∵∠DBE＝∠ACB，∠CAB＝∠BDE，
∴△ACB∽△DBE，
∴，
∴AB2＝AC⋅DE；
（3）解：由（1）得EC＝EF，
∴BF+BE＝EF＝CE，
∵△ACB∽△DBE，
∴，
∴，
连接OC，OB
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCD+∠ECD＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠OCB+∠OBC+∠COB＝180°，，
∴∠BCE＝∠CAB，
∵∠CEB＝∠AEC，
∴△CBE∽△ACE，
∴，
∴，
∵AD＝3，
∴CE＝BD＝EF＝3，
∴BE•（3+BE）＝32，
解得：，
∴，
∴．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，原料的质量x/t
12
15
18
27
30
加工费m/万元
42.4
43
43.6
45.4
46
销售价y/（万元/t）
16
15
14
11
10