江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第13周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第13周阶段性训练模拟练习【含答案】，共19页。试卷主要包含了如图，P是⊙O内一点，若两个相似三角形面积之比为16等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数 y＝x2﹣2ax+b （a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）
A．0B．C．D．2
2．如图，P是⊙O内一点．若圆的半径为5，OP＝3，则经过点P的弦的长度不可能为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．如图，将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，MN为折痕．若，的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DF＝6，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共11小题）
5．若两个相似三角形面积之比为16：9，则它们的对应中线之比为 ．
6．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4，则线段AC的长为 ．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AE是⊙O的直径，连接BE，若AE⊥BC，∠ADC＝2∠AEB，则∠ABC＝ °．
8．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为 ．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 ．
10．如图，PA，PB与⊙O相切于点A，B，若⊙O的半径为6，∠APB＝60°，则弦AB与所围成的图形的面积是 ．
11．已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（﹣2，1），则函数y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣2的图象经过的定点坐标为 ．
12．如图，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中△AFG是黄金三角形（底边与腰的比为的等腰三角形）．若△AFG的面积为1，则正五角星的面积为 ．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
当y＜y1时，自变量x的取值范围是 ．
14．如图，在四边形ABCD中，BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，AB为⊙O的直径．若BC＝4cm，AD＝3cm，则⊙O的半径为 cm．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，点P为AB上动点，点Q在AB的延长线上，且BP＝2BQ，CP、DQ相交于点E．当点P从点A运动到点B时，点E运动的路线长度为 cm．
三．解答题（共5小题）
16．已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m的值．
17．已知直线y1＝2x﹣2与抛物线y2＝ax2+ax﹣2a（a为非0常数）．
（1）求证：直线与抛物线总有公共点；
（2）无论x为何值，总有y1≤y2，结合图象，直接写出a的值或取值范围．
18．为了归纳“相似三角形对应线段的比等于相似比”，我们探索过相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比，那么相似三角形的内切圆半径的比呢？
已知：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，△ABC的内切圆⊙O与AB相切于点D，△A'B'C'的内切圆⊙O'与A'B'相切于点D'，求证：＝k．
19．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD互相垂直，垂足为E，以CE，BE为邻边作矩形CEBF，其对角线FE的延长线交AD于点G．
（1）求证：∠D＝∠CFE．
（2）若EG＝3.6，EF＝10，
①求CE的长；
②求⊙O的半径．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点．
（1）求b的值；
（2）求证该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点；
（3）设该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0）．当mn＜0时，直接写出a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：∵二次函数解析式为 y＝x2﹣2ax+b （a，b是常数），
∴顶点坐标为（a，﹣a2+b）．
又∵A（2，0），B（0，2），
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2．
∵二次函数图象的顶点在线段AB上，
∴﹣a2+b＝﹣a+2，且0≤a≤2，
则b＝a2﹣a+2＝（）2+，
∴当a＝时，b有最小值为．
故选：C．
2．【解答】解：连接OP，过P作弦AB⊥OP，此时AB是过P的最短的弦，
∴AB＝2AP，
∵圆的半径为5，OP＝3，
∴AP＝＝＝4，
∴AB＝8，
∵过P的最长的弦是圆的直径是10，
∴8≤经过点P的弦的长≤10，
∴经过点P的弦的长度不可能是7．
故选：A．
3．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
由折叠可知：△AMN与△DMN关于MN对称，
∴AM＝DM，AN＝DN，∠A＝∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠CDN＝120°，
∵∠BDM+∠BMD＝120°，
∴∠BMD＝∠CDN，
∵∠B＝∠C，
∴△BDM∽△CND，
∴＝＝，
∵，
设BD＝x，
∴CD＝2x，
∴BC＝AB＝AC＝3x，
设AM＝DM＝k，
∴BM＝3x﹣k，
∴＝，
∴CN＝，
∴＝，
∴DN＝，
∵DN+CN＝AN+CN＝AC＝3x，
∴+＝3x，
∴k＝x，
∴DN＝＝x，
∴＝＝×＝，
故选：C．
4．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵DF＝6，
∴，
∴EF＝4，
故选：C．
二．填空题（共11小题）
5．【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，
两个相似三角形的面积之比为16：9，
∴它们对应边上的中线之比为4：3．
故答案为：4：3．
6．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），BC＝4，
∴＝，
∴AC＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
7．【解答】解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠AEB，
∵∠ADC＝2∠AEB，
∴∠ADC＝2∠ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝60°．
故答案为：60．
8．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∵AB＝2CD，
∴CD＝2，
∵函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线x＝1，
∴C（0，0），D（2，0），
∴平移后抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），
即y＝x2﹣2x．
故答案为：y＝x2﹣2x．
9．【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，
∵DE与⊙O相切，设切点为M，
∴ME＝HE，MD＝GD，
∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4，
∴CG＝CH＝2，
设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2，
化简得xy＝2（x+y）+4①，
∵△ABC的面积是30，
∴BC•AC＝30，
∴（x+2）（y+2）＝60，
∴xy＝60﹣2（x+y）②，
由①②得x+y＝13，
∴AB＝13．
故答案为：13．
10．【解答】解：连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∴AB＝2AH，
∵PA，PB与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴OH＝OA＝×6＝3，
∴AH＝OH＝3，
∴AB＝2AH＝6，
∴△AOB的面积＝AB•OH＝×6×3＝9，
∵扇形OAB的面积＝＝12π，
∴弦AB与所围成的图形的面积＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积＝12π﹣9．
故答案为：12π﹣9．
11．【解答】解：∵y＝ax2+bx＝x（ax+b），
∴二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（0，0），
将二次函数y＝ax2+bx的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣2，
∵二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（0，0），（﹣2，1），
∴函数y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣2的图象经过的定点坐标为（1，﹣2），（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1），（1，﹣2）．
12．【解答】解：如图，连接GH，GM，由对称性可知，AF＝BF＝BH，FG＝FH，S△AFG＝S△GHM＝1，
∵△AFG是黄金三角形，即＝，
∴＝＝，
∵S△AFG＝1，
∴S△FGH＝，
∴S阴影部分＝6S△AFG+2S△FGH
＝6+﹣1
＝5+．
故答案为：5+．
13．【解答】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，开口向上，
∴当x＝0时的函数值与x＝4时的函数值相等，
∴当y＜y1时，自变量x的取值范围是0＜x＜4，
故答案为：0＜x＜4．
14．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，
∵BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，
∴DE＝AD＝3cm，CE＝BC＝4cm，直径AB⊥AD，直径AB⊥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∴DH＝AB，BH＝AD＝3cm，
∴CH＝BC﹣BH＝4﹣3＝1（cm），
∵DC＝DE+CE＝3+4＝7（cm），
∴DH＝＝4（cm），
∴AB＝4（cm），
∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径为2cm．
故答案为：2．
15．【解答】解：当点P在点A处时，如图，
，
∵BP＝2BQ，BP＝3cm，
∴BQ＝1.5cm，
当点P运动到点B时，如图，
，
所以点E运动的路线EE′，如图，
，
过E作EF⊥AQ，交AQ于点F，即∠AFE＝∠EFQ＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AD＝3cm，
在Rt△ABC中，AC＝＝3cm，
∵∠AFE＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠EAF，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴EF＝AF，
设EF＝x cm，则BF＝（3﹣x）cm，QF＝（4.5﹣x）cm，
∵∠EQF＝∠DQA，∠EFQ＝∠DAQ＝90°，
∴△EQF∽△DQA，
∴，即，
解得：x＝，
∴EF＝cm，E′F＝BF＝cm，
在Rt△EFE′中，EE′＝＝＝（cm），
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，
∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，
∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为1，
∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，
∴m＝±1．
17．【解答】解：（1）证明：令y1＝y2，得2x﹣2＝ax2+ax﹣2a，
整理得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）
＝a2﹣4a+4+8a2﹣8a
＝9a2﹣12a+4
＝（3a﹣2）2≥0，
∴该一元二次方程总有实数根，
即直线与抛物线总有公共点．
（2）解：抛物线y2＝ax2+ax﹣2a的对称轴为直线x＝＝﹣，
令y2＝0，得x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线y2＝ax2+ax﹣2a与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣2，0）．
根据题意画出草图如下：
∴a＞0，抛物线y2＝ax2+ax﹣2a与直线y1＝2x﹣2没有交点或只有一个交点，
令y1＝y2，可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝（3a﹣2）2≤0，
∴3a﹣2＝0，
解得a＝．
18．【解答】证明：连接OA，OB，OA′，OB'，
∵△ABC 的内切圆⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB．
同理 O'D'⊥A'B'；
∵△ABC∽△A'B'C'；，相似比为k，
∴∠CAB＝∠C'A'B'；∠CBA＝∠CBA′，＝k，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，
即 ，，
同理∠O′A′D′＝∠C′A′B′，∠O′B′A′＝∠C′B′A′，
∴∠OAD＝∠O′A′D，∠OBA＝∠O'B'A'，
∴△OAB∽△O′A′B′，
∵OD，O'D'为对应高，
∴＝＝k．
19．【解答】（1）证明：连接BC，如图，
∵四边形CEBF为矩形，
∴EF＝BC，FC＝BE，
在△BCE和△FEC中，
，
∴△BCE≌△FEC（SSS），
∴∠CBE＝∠CFE，
∵∠CBE＝∠D，
∴∠D＝∠CFE；
（2）解：①∵∠D＝∠CFE，∠DEG＝∠CEF，
∴△DEG∽△FEC，
∴＝，
∵直径AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CE2＝EF•EG＝36，
解得CE＝6或CE＝﹣6（舍去），
即CE的长为6；
②∵AB⊥CD，
∴∠CEB＝90°，
∵BC＝EF＝10，
∴EB＝＝＝8，
∵∠D＝∠CBE，∠A＝∠BCE，
∴△DEA∽△BEC，
∴＝，
∴AE＝＝，
∴AB＝AE+BE＝+8＝，
∴⊙O的半径为．
20．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点，
∴a﹣b+c＝3①，a+b+c＝﹣1②．
∴②﹣①得，2b＝﹣4．
∴b＝﹣2．
（2）由（1）得，b＝﹣2，
又a﹣b+c＝3，
∴a+c＝1．
∴c＝1﹣a．
∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a（1﹣a）
＝4﹣4a+4a2
＝（2a﹣1）2+3．
∵对于任意的a都有（2a﹣1）2≥0，
∴Δ＝（2a﹣1）2+3≥3＞0．
∴该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点．
（3）由题意，∵该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0），
∴mn＝＝．
又mn＜0，
∴＜0．
①当a＜0时，
∴1﹣a＞0．
∴a＜1．
∴a＜0．
②当a＞0时，
∴1﹣a＜0．
∴a＞1．
综上，a＜0或a＞1．x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
y1
2
1
2
5
…