江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第14周阶段性训练模拟练习【含答案】

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A．B．πC．2πD．3π
2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于D，过点D作DE⊥AC于E，△PDE的外接圆与边BC的另一个公共点为F．下列结论：①∠PDE的大小不变；②∠CEF＝∠PED；③BD＝CF；④△PDE的外接圆直径的最小值为．其中正确的为（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
3．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心A的坐标为（0，2），点B为x轴上一个动点，过点B作⊙A的切线，切点为C，CD⊥AB于点D．下列结论：①CD的最大值为1；②BC的最小值为；③∠ABC的最大值为30°；④若点B（1，0），则△BCD的面积为．则其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．如图，点M是三边均不等的△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D、E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程2ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实数根
B．一定有两个不相等实数根
C．有两个实数根，但无法确定是否相等
D．没有实数根
5．如图，多边形ABCDEF为正六边形，点P在边CD上，过点P作PQ∥ED交EF于点Q，连接BQ，且满足∠BPC＝∠BQP．设四边形PQED、四边形AFQB和△BCP的面积分别为S1、S2、S3，则正六边形ABCDEF的面积为（ ）
A．S1+2S2+2S3B．S1+2S2+S3
C．S1+2S2+3S3D．2S1+S2+2S3
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，D是BC边上一点，CD＝2BD，线段AD的最大值为（ ）
A．12B．6+2C．6+D．
8．正方形ABCD，BEFG如图放置，AB＝6，AG，CE相交于点P，Q为AD边上一点，且DQ：AQ＝1：2，则PQ的最大值（ ）
A．B．C．7D．
二．填空题（共10小题）
9．若关于x的二次函数y＝3x2﹣2x+m﹣1的值恒为正数，则m的取值范围为 ．
10．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．
（1）若AE＝1，则EF的长＝ ；
（2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AM＝1，I为△ABC的内心，则IM＝ ．
12．如图，点M（2，0）、N（0，4），以点M为圆心为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则AD2+BD2的最大值为 ．
13．如图，在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，D，则图中阴影部分的周长是 ．
14．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则的值 ．
15．如图，⊙O分别切∠ABC的两边AB，BC于点D，E，点F在⊙O上，若∠ABC＝70°，则∠F的度数为 °．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E是AB上的动点，点F是线段AE上的点，且EF＝3AF，DE，CF相交于点P，则DP的最大值为 ，最小值为 ．
17．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DGF的度数是 °．
18．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，，以C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB、CB于点D、E，则图中阴影部分面积之和为 ．
三．解答题（共5小题）
19．如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（0，3），C（4，0），点P是边OA上的一个动点．将线段CP绕点C顺时针旋转∠OCA的度数到CQ，点P的对应点是点Q．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点B．
（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）当点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，求OP的长；
（3）如图2，过点Q作y轴的平行线交位于第一象限的抛物线于点G，连接AG，AQ，若△AQG为直角三角形，求此时G点的坐标．
20．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．
（1）b＝ （用含c的代数式表示）；
（2）若△ABC的面积为6，点P，Q为二次函数y＝x2+bx+c图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且0＜n＜m＜3，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N．
①求该二次函数的表达式；
②若∠APQ＝2∠PAO，则2OM+ON是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．
21．已知二次函数y＝ax2﹣（a+b）x+b（a、b是常数，a≠0）．
（1）若M（﹣4，m）（m＞0）在该二次函数的图象上，当a＜0时，试判断代数式a+b的正负性；
（2）已知对于任意的常数a、b（a≠0），二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数y＝（k2+3）x+3k（x≥1）图象上所有的点都高于点P．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，垂足为E，AB＝DB，F为DC延长线上一点．
（1）求证：BC平分∠ACF；
（2）若BE＝3，DE＝2，求AE和⊙O的半径长．
23．已知：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝m．
（1）如图1，当时，以AB为直径的⊙G交CD于M、N两点，求此时MN的长；
（2）如图2，若⊙O经过A、B两点，且与CD相切，当其半径不大于时，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：连接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：＝π，
故选：B．
2．【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠PDE+∠EDC＝90°，∠EDC+∠C＝90°，
∴∠PDE＝∠C，
∴∠PDE＝∠B＝∠C，
∴∠PDE的大小不变．
∴①的结论正确；
连接PF，如图，
∵PD⊥BC，
∴∠PDF＝90°，
∴PF为△PDE的外接圆的直径，
∴∠PEF＝90°，
∴∠PED+∠DEF＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠PED．
∴②的结论正确；
过点A作AG⊥BC于点G，如图，
∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BG＝CG＝BC＝1，
∴AG＝＝2．
∵PD⊥BC，AG⊥BC，
∴PD∥AG，
∴△PBD∽△ABG，
∴，
∴，
设BD＝a，则PB＝a，PD＝2a，
∴CD＝2﹣a．
∵∠B＝∠C，∠PDB＝∠DEC＝90°，
∴△PBD∽△DCE，
∴，
∴，
∴DE＝2CE．
∵∠PDE＝∠C，∠PED＝∠CEF，
∴△PDE∽△FCE，
∴，
∴2CF＝PD＝2a，
∴CF＝a＝BD．
∴③的结论正确；
∵CF＝a，
∴DF＝DC﹣CF＝2﹣2a，
∴PF2＝PD2+DF2＝（2a）2+（2﹣2a）2＝8a2﹣8a+4＝8+2，
∵8＞0，
∴当a＝时，PF2有最小值为2．
∴PF有最小值为．
∵PF为△PDE的外接圆的直径，
∴△PDE的外接圆直径的最小值为．
④的结论正确．
∴正确的结论有：①②③④．
故选：D．
3．【解答】解：如图1，∵半径为1的⊙A的圆心A的坐标为（0，2），
∴AC＝1，OA＝2，
∵CD⊥AB于点D，
∴CD＜AC，
∴CD＜1，
∴CD的最大值不可能是1，
故①错误；
∵BC与⊙A相切于点C，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝，
∴当AB的值最小时，则BC的值最小，
∵OA⊥OB，
∴AB≥OA，
∴AB≥2，
∴AB的最小值为2，
当AB＝2时，BC＝＝，
∴BC的最小值为，
故②正确；
∵sin∠ABC＝＝，
∴当AB的值最小时，则sin∠ABC的值最大，此时∠ABC的值最大，
当AB最小＝2时，sin∠ABC＝，则∠ABC＝30°，
∴∠ABC的最大值为30°，
故③正确；
当B（1，0）时，如图2，
∵∠ACB＝∠BOA＝90°，AB＝BA，AC＝BO＝1，
∴Rt△ACB≌Rt△BOA（HL），
∴CB＝OA＝2，
∵∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC＝＝＝，
∴BD＝2CD，
∴CB＝＝＝CD＝2，
∴CD＝，
∴BD＝2×＝，
∴S△BCD＝BD•CD＝××＝，
故④正确，
故选：B．
4．【解答】解：∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠DAM＝∠EAM，
∵DE⊥AM，
∴∠AMD＝∠AME＝90°，
在△AMD和△AME中，
，
∴△AMD≌△AME（ASA），
∴MD＝ME，AD＝AE，
∵DE＝b，
∴MD＝ME＝DE＝b，
设∠BAC＝α，
则∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
∵BM，CM分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠MBC＝∠DBM＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣α，
∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠BAC＝180°，
∴∠ADE＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣α，
∴∠BDM＝180°﹣∠ADE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴∠BMC＝∠BDM，
又∵∠MBC＝∠DBM，
∴△MBC∽△DBM，
∴CM：MD＝BM：BD，
即CM：BM＝MD：BD，
同理可证：△MBC∽△EMC，
∴CM：CE＝BM：ME，
即CM：BM＝CE：ME，
∴MD：BD＝CE：ME，
即MD•ME＝BD•CE，
∵MD＝ME＝b＞0，BD＝a＞0，CE＝c＞0，
∴b•b＝ac，
∴b2＝4ac，
∵关于x的方程2ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4×2ac＝b2﹣8ac，
∴Δ＝4ac﹣8ac＝﹣4ac＜0，
∴关于x的方程2ax2+bx+c＝0没有实数根．
故选：D．
5．【解答】解：如图，将△BCP绕点B逆时针旋转120°得到△BAG，连接QG交AF于H．
∵∠BAG＝∠C＝120°，
∴∠FAG＝360°﹣∠BAG﹣∠BAF＝120°＝∠F，
∴PQ∥DE，∠E＝∠D，
∴四边形DEQP是等腰梯形，
∴DP＝EQ，
∵CD＝EF，
∴CP＝AG＝FQ，
∵∠GHA＝∠QHF，
∴△AGH≌△QFH（AAS），
∴S△AHG＝S△QFH，
∵∠PBQ＝180°﹣∠BQP﹣∠BPQ＝180°﹣∠BPC﹣∠BPQ＝∠DPQ＝60°，∠PBG＝120°，
∴∠GBQ＝∠QBP＝60°，
∵BG＝BP，BQ＝BQ，
∴△GBQ≌△PBQ（SAS），
∴S△BPQ＝S∠BGQ＝S△BCP+S四边形BAFQ＝S2+S3，
∴S正六边形ABCDEF＝S1+S2+S3+S2+S3＝S1+2S2+2S3．
故选：A．
6．【解答】解：如图1，当BE＝BC时，
∵BE＝BC，∠ABC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BOD＝2∠BCE＝140°，
∴弧BD的长＝＝π．
故选：B．
7．【解答】解：作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC，
∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∵，CD＝2BD
∴，
∵OB2＝OE2+BE2，
∴4OE2＝OE2+27，
∵OE＞0，
∴OE＝3，
∴OB＝6，
∵，
∴，
∵AO+OD≥AD，
∴当A，O，D三点共线时，AD最大，
即：；
故选：B．
8．【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OQ，延长AD至E，使DE＝2，连接CE，OP，
∵四边形ABCD、BEFG是正方形，AB＝6，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝6，BG＝BE，∠ADC＝∠ABC＝∠CBE＝90°，
∴AC＝AD＝6，
∵DQ：AQ＝1：2，
∴DQ＝AD＝2，AQ＝AD＝4，
∴QE＝DQ+DE＝2+2＝4，
∴AQ＝QE，即Q是AE的中点，
又∵点O是AC的中点，
∴OQ＝CE，
∵∠CDE＝90°，
∴CE＝＝＝2，
∴OQ＝CE＝，
在△ABG和△CBE中，
，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠BAG+∠CEB＝90°，
∴∠APC＝∠BAG+∠CEB＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴OP＝AC＝3，
在△OPQ中，PQ≤OP+OQ＝3+，
∴PQ的最大值为3+，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
9．【解答】解：由题知，
抛物线的开口向上，
又因为二次函数的函数值恒为正数，
所以（﹣2）2﹣4×3×（m﹣1）＜0，
解得m＞．
故答案为：m＞．
10．【解答】解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°，
又∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，
∵AE＝1，
∴BF＝1，BE＝3，
∴EF＝＝；
故答案为：；
（2）∵∠ADE＝∠BAF，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠EOF＝∠AOD＝90°，
又∵点P为EF的中点，
∴OP＝EF，
设AE＝BF＝x，则BE＝4﹣x，
∴EF＝＝＝，
∴当x＝2时，EF最小为2，即OP最小为；
故答案为：．
11．【解答】解：作ID⊥AB于点D，IE⊥BC于点E，IF⊥AC于点F，连接IA、IB、IC，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AM＝1，
∴AB＝＝＝13，
∵∠IEC＝∠IFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形IECF是矩形，
∵I为△ABC的内心，
∴ID＝IE＝IF，
∴四边形IECF是正方形，
设CF＝IF＝ID＝IE＝r，
∵S△AIB+S△BIC+S△AIC＝S△ABC，
∴×13r+×12r+×5r＝×12×5，
解得r＝2，
∴CF＝IF＝2，
∵∠AFI＝90°，MF＝AC﹣CF﹣AM＝5﹣2﹣1＝2，
∴IM＝＝＝2，
故答案为：2．
12．【解答】解：如图，连接MN，取MN的中点J，连接MC，JD，OJ，OD，MA，MB．
∵点M（2，0）、N（0，4），
∴OM＝2，ON＝4，
∴MN＝＝2，
∵MJ＝JN，
∴OJ＝MN＝，
∵MJ＝JN，CD＝DN，
∴JD＝MC＝，
∵MA＝MB＝，OM＝2，OM⊥AB，
∴OA＝OB＝＝＝1，
∴A（0，1），B（0，﹣1），
∴点D的运动轨迹是以J为圆心，为半径的圆，
设D（m，n），则AD2+BD2＝（n﹣1）2+m2+（n+1）2+m2＝2（m2+n2）+2，
∵OD2＝m2+n2，
∴OD最大时，m2+n2的值最大，
∵OD≤OJ+JD，
∴OD≤，
∴m2+n2的最大值为，
∴AD2+BD2的最大值为2×+2＝，
故答案为：．
13．【解答】解：如图，连接AE，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，BE＝AB＝3，
∴弧BE的长度为＝π，
∴图中阴影部分的周长是：3+π．
故答案为：3+π．
14．【解答】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．
∵∠ABC所对的弧有，，，
∴AC＝CD＝DE，
∵CH⊥AD，
∴AH＝DH，
∵AD＝2OD，
∴AH＝DH＝OD＝a，
在Rt△OCH中，CH＝＝＝a，
在Rt△ACH中，AC＝＝＝a，
∴＝＝＝．
故答案为：．
15．【解答】解：连接OD，OE，
∵⊙O分别切∠ABC的两边AB，BC于点D，E，
∴半径OD⊥AB，半径OE⊥BC，
∴∠BDO＝∠BEO＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠F＝∠DOE＝55°．
故答案为：55．
16．【解答】解：设AF＝x，
∵EF＝3AF，
∴EF＝3x，
∴AE＝AF+EF＝x+3x＝4x，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，
∴△PCD∽△PFE，
∴＝，即＝，
∴PD＝DE，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝4，
∴PD＝，
令x+2＝t，则x＝t﹣2，
∴PD＝＝8＝8，
∵0＜AE≤6，即0＜4x≤6，
∴0＜x≤，
∴0＜t﹣2≤，即2＜t≤，
当t＝，即x＝时，PD取得最大值，PD的最大值＝8＝，当t＝，即x＝时，PD取得最小值，PD的最小值＝8＝；
故答案为：，．
17．【解答】解：如图，连接OD，OF，
∵∠B＝65°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠ODA＝90°．
同理∠OFA＝90°．
∴∠A+∠DOF＝180°．
∴∠DOF＝110°．
∴∠DGF＝55°．
故答案为：55．
18．【解答】解：连接CD，
∵∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD＝CA，
∴△CDA为等边三角形，
∴∠DCA＝60°，AD＝CD＝AC＝，
∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DCE＝∠B，
∴CD＝BD，
∴AD＝BD，
∴S△ACD＝S△CBD＝S△ABC，
∵S扇形ACD＝＝π，S扇形DCE＝＝π，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD+S△CBD﹣S扇形DCE＝S扇形ACD﹣S扇形DCE＝＝π．
故答案为：π．
三．解答题（共5小题）
19．【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2+4x+3；
（2）如图1，
作QW⊥AC于W，交OA于V，作WE⊥OA于E，
∴∠QWC＝∠AOC＝90°，
∵∠QCP＝∠QCA，
∴∠QCW＝∠OCP，
∵CQ＝CP，
∴△CWQ≌△COP（AAS），
∴CW＝OC＝1，
∵OC＝4，OA＝3，
∴OC＝5，
∵sin∠CAO＝，cs∠CAO＝＝，
∴，，
∴EW＝，AE＝，AV＝，
∴OV＝OA﹣AV＝3﹣＝，OE＝OA﹣AE＝3﹣，
∴V（0，），W（，），
∴直线WV的解析式为：y＝x+，
当x＝2时，y＝＝4，
∴Q（2，4）
∴OP＝QW＝＝2；
（3）当∠AQG＝90°时，此时Q在AB上，
由（2）知：点Q在直线y＝上运动，
当y＝3时，，
∴x＝，
把x＝代入y＝﹣x2+4x+3得，y＝，
∴G（，），
如图2，
当∠QAG＝90°时，设GQ交AB于X，设Q（m，），G（m，﹣m2+4m+3），
∴AX＝m，GX＝﹣m2+4m，XQ＝3﹣（m+）＝，
∵tan∠GAX＝tan∠QAX，
∴，
∴，
∴m1＝1，m2＝5，
由﹣x2+4x+3＝0得，
x1＝2，x2＝2，
∵5＞2+，
∴m＝5舍去，
∴m＝1，
当m＝1时，y＝﹣1+4+3＝6，
∴G（1，6），
综上所述：G（1，6）或（，）．
20．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c得1﹣b+c＝0，
∴b＝c+1，
故答案为：c+1；
（2）①∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴交于点C．
∴C（0，c），
∵b＝c+1，
∴y＝x2+bx+c＝x2+（c+1）x+c＝（x+1）（x+c），
令y＝0，则x＝﹣1或﹣c，
∴B（﹣c，0），
∵A（﹣1，0），
∴AB＝﹣c+1，
∵△ABC的面积为6，
∴S△ABC＝AB•OC＝（﹣c+1）•（﹣c）＝c2﹣c＝6，
解得c＝﹣3或4（舍去），
∴b＝c+1＝﹣3+1＝﹣2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
②过点P作PH⊥x轴于点H，设直线PQ交x轴于点D，
设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，n2﹣2n﹣3），直线PQ的解析式为y＝kx+a，
∴3，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝（m+n﹣2）x﹣3﹣mn，
∵∠APQ＝2∠PAO，∠APQ＝∠PAO+∠ADP，
∴∠BAP＝∠ADP，
∴PA＝PD，
∵PH⊥x轴，
∴AH＝DH，H（m，0），
∵A（﹣1，0），
∴D（2m+1，0），
∵D在直线PQ上，
∴（m+n﹣2）（2m+1）﹣3﹣mn＝0，
∴n＝5﹣2m，
∴N（5﹣2m，4m2﹣16m+12），
设直线AP的解析式为y＝px+q，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3，
∴M（0，m﹣3），
∴OM＝3﹣m，
同理得N（0，2﹣2m），ON＝2m﹣2，
∴2OM+ON＝2（3﹣m）+2m﹣2＝4．
∴2OM+ON是定值，该定值为4．
21．【解答】（1）解：由题意，y＝ax2﹣（a+b）x+b＝（ax﹣b）（x﹣1），
又M（﹣4，m）（m＞0）在该二次函数的图象上，
∴（﹣4a﹣b）×（﹣5）＞0．
∴﹣4a﹣b＜0．
∴﹣4a＜b．
∴﹣4a+a＜a+b．
∴a+b＞﹣3a．
又a＜0，
∴a+b＞﹣3a＞0，即a+b为正．
（2）证明：由（1）y＝ax2﹣（a+b）x+b＝（ax﹣b）（x﹣1），
∴对于任意的常数a、b，都有当x＝1时，y＝0．
∴二次函数始终过定点P（1，0）．
对于一次函数y＝（k2+3）x+3k（x≥1），
∴当x＝1时，y＝k2+3+3k
＝k2+3k++
＝（k+）2+．
∴对于任意的k，当x＝1时都有y≥＞0．
∴一次函数y＝（k2+3）x+3k（x≥1）图象上所有的点都高于点P（1，0）．
22．【解答】（1）证明：∵AB＝DB，
∴∠ADB＝∠BAD，
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCF＝∠BAD，
∴∠ACB＝∠BCF，
∴BC平分∠ACF；
（2）解：∵BE＝3，DE＝2，
∴BD＝3+2＝5，
∵AB＝DB，
∴AB＝5，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝2，
连接BO并延长交⊙O于点M，交线段AD于点N，连接OD，
∵BM是⊙O的直径，
∴BM平分圆，
∵AB＝DB，
∴＝，
∴＝，
∴点N是AD的中点，
∴BM⊥AD，DN＝AD＝，
在Rt△BDN中，BN＝＝＝2，
设⊙O的半径为r，则OD＝r，ON＝OB﹣r＝2﹣r，
在Rt△ODN中，DN2+ON2＝OD2，即（）2+（2﹣r）2＝r2，
解得r＝．
23．【解答】解：（1）过点G作GE⊥MN于点E，连接GM，如图，
则ME＝NE＝MN，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵GE⊥MN，
∴四边形DAGE为矩形，
∴GE＝AD＝BC＝，
∵AB为⊙G的直径，
∴GM＝AB＝3，
∴EM＝＝＝，
∴MN＝2FM＝2；
（2）①当点O在矩形ABCD内部时，过点O作OE⊥CD，反向延长EO交AB于点F，如图，
∵⊙O经过A、B两点，且与CD相切，
∴OE＝⊙O的半径，AF＝BF＝AB＝3．
∵⊙O的半径不大于，
∴令OE＝⊙O的半径＝，
∴OA＝，
∴，
∴m的最大值＝OE+OF＝＝4；
②当点O在矩形ABCD外部时，设⊙O与CD切于点E，连接OE交AB于点F，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴四边形ADEF为矩形，
∴EF＝AD＝BC＝m，
∵⊙O的半径不大于，
∴令OE＝⊙O的半径＝，
∴OA＝，
∵OE⊥CD，AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴AF＝AB＝3．
∴，
∴m的最小值＝OE﹣OF＝＝；
综上，m的取值范围为≤m≤4．
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