天津市部分区2024届高三（上）期末练习考试数学试卷（解析版）

这是一份天津市部分区2024届高三（上）期末练习考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意全集，集合，，则，.
故选：D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意或，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，
因为在上单调递增，
所以，即，
又在0,+∞上单调递增，
可得，即，
所以，
故选：C.
4. 已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可知函数为奇函数，
若，则有，
若，则有，
所以与都不是奇函数，故排除AD；
而由，可排除B，
若，经检验 C选项符合题意
故选：C.
5. 已知等比数列的前n项和是，且，，则（ ）
A. 30B. 80C. 240D. 242
【答案】D
【解析】由题意设公比为，所以，解得，所以.
故选：D.
6. 从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ）
A. 1440B. 120C. 60D. 24
【答案】B
【解析】从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生，
所以抽取的女生人数为2，男生人数为3，共有抽取方法为：.
故选：B
7. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则所具有的性质是（ ）
A. 图象关于直线对称
B. 图象关于点成中心对称
C. 的一个单调递增区间为
D. 曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
【答案】D
【解析】由题意，
对于A，，所以图象不关于直线对称，故A错误；
对于B，，所以图象不关于点成中心对称，故B错误；
对于C，当时，，由复合函数单调性可知此时单调递减，故C错误；
对于D，若，则或，
所以曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为.
故选：D.
8. 已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】中，因为，，，所以；
中，，，，所以；
中，，，，所以，从而.
因为，，，平面，平面，
所以平面.
.
故选：A
9. 双曲线：的离心率为，实轴长为4，的两个焦点为，.设O为坐标原点，若点P在C上，且，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，所以，
在中，由余弦定理得，
，
由于，所以，故，
由于是的中点，所以 ，
则，即，
即，①
而，两边平方并整理得，，②
联立①②可得 .
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分、试题中包含两个空的，签对1个的给3分，全部答对的给5分.
10. 是虚数单位，复数_________.
【答案】
【解析】.
故答案为：
11. 在的展开式中，常数项为_________.（结果用数字表示）
【答案】135
【解析】由题意的展开通项为，
令，解得，所以常数项为.
故答案为：135.
12. 在教师资格考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.70，0.6，且两人考试是否通过相互没有影响，则两人都通过的概率为____________，两人至少有一人通过的概率为___________.
【答案】 ；
【解析】因为两人考试相互独立，则两人都通过考试是相互独立事件，
所以同时发生的概率为，
两人都未通过考试的概率为，
故两人至少有一人通过的概率为.
故答案为：；.
13. 已知抛物线：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且直线的斜率为，则以线段为直径的圆的方程为______________.
【答案】
【解析】由题意，解得，所以抛物线：，
设线段的中点为，Ax1,y1,Bx2,y2，
又直线的方程为，联立抛物线方程得，
由韦达定理有，
所以，即，
而以线段为直径的圆的半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为.
故答案为：.
14. 在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示：
过点作，垂足为，则，，
由，，可设，,，则,，由，
所以，,，
所以，
当时，取得最小值为．
故答案为：．
15. 已知函数，（，且）.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为________；的取值范围为__________
【答案】 ；
【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数根，
即函数的图象与函数y=fx的图象有三个不同的交点，
由题意当且时，，
又，若关于的方程有根，
则只能，但此时方程有且仅有一个根不满足题意；
所以，
此时，
直接由解析式可得当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递增，
综上所述，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与函数y=fx的图象如图所示：

由图可知函数的图象与函数y=fx的图象有三个不同的交点，
则当且仅当，解得，即的取值范围为，
不妨设，注意到，
所以，，等号成立当且仅当，
解得，即，所以，即的取值范围为.
故答案为：；.
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，.
（1）求b的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
解：（1）因为，，所以，即，
又因为，
所以，解得.
（2）由（1）得，，所以，
所以.
（3）由（2）得，，又，所以，，
所以.
17. 如图，已知平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求点到直线距离.
证明：（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，，
所以，
，
所以平面，且平面，
所以平面.
解：（2）由题知，平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则
，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
（3），，
设点到直线的距离为，
则，
即点到直线的距离为.
18. 设，两点的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为.
（1）求的方程
（2）设直线与交于，两点，若的外接圆在处的切线与交于另一点，求的面积.
解：（1）设点Mx,y，因为的坐标为，所以直线的斜率，同理，直线的斜率，
由已知，有，
化简，得点的轨迹方程为：.
所以，的方程为.
（2）由解得或，
不妨设，，
设的外接圆方程为：，
所以，解得，
所以的外接圆的方程为：，
所以外接圆圆心，
所以，
所以的外接圆在处的切线方程为：，即，
由得，
，设Px0,y0，
由题意及韦达定理，所以 ，故，故，
又点,所以，
又点B4,0到直线的距离为：，
所以的面积为：.
19. 已知等差数列，，.
（1）求的通项公式和；
（2）已知为正整数，记集合的元素个数为数列.若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和.
解：（1）由题意，（分别是首项，公差），解得，
所以的通项公式为，
所以.
（2）由题意且为正整数，即，所以，
所以，
所以，
所以的前项的和为
.
20. 已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），
所以，
所以切线方程为.
证明：（2）设，
，
令，
所以在上单调递增，
又因为，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在0,+∞单调递增，
所以，即.
解：（3）令，
则，且，
令，则，
因在单调递减，
令，则在单调递减，且，
情形一：
当，即时，因为，
则，可得，
则hx在上是减函数，可得，即，
所以在上是减函数，则恒成立，
即恒成立，满足题意；
情形二：
当，即时，在上是减函数，
且，当时，，
则存在x0∈0,+∞，使得，
当x∈0,x0时，h'x>0，hx在上是增函数，此时，
所以当x∈0,x0时，，此时在上是增函数，
所以，即，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围是.