吉林省四平市2024-2025学年高二上学期期中考试数学（A）试卷(含答案)

这是一份吉林省四平市2024-2025学年高二上学期期中考试数学（A）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．抛物线的准线方程是( )
A.B.C.D.
2．已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．与直线垂直，且在x轴上的截距为-2的直线方程为( ).
A.B.
C.D.
4．已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为( )
A.B.C.D.
5．若圆和圆相切,则r等于( )
A.6B.7C.8D.9
6．已知抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点M是圆上的一点，则的最小值为( )
A.5B.C.7D.8
8．已知直线，点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A.3B.4C.5D.6
二、多项选择题
9．已知直线与交于点，则( )
A.
B.
C.点P到直线的距离为
D.点P到直线的距离为
10．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是( )
A.4B.5C.3D.
11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.以为直径的圆与准线相交
C.设，则
D.过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条
三、填空题
12．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为_________.
13．过点作圆的切线，则切线方程为_________.
四、双空题
14．椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为，且C的离心率为，则C的长轴长为_________；直线与C交于M，N两点，若以为直径的圆过点，则k的值为_________.
五、解答题
15．已知点，求满足下列条件的直线l的一般方程
(1)经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；
(2)经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为.
16．已知圆C的方程为.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若圆C与直线交于M，N两点，且，求m的值
17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的面积
18．如图，已知抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线与直线相交于点E.
(1)求P的取值范围；
(2)求点E的坐标
19．已知等轴双曲线的左，右顶点分别为A，B，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），直线AD与直线BE的交点为P，证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程
参考答案
1．答案：A
解析：由化为，
抛物线焦点在y轴正半轴，且，
则准线方程为.
故选：A.
2．答案：A
解析：由题意知，，
解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：A.
3．答案：A
解析：由题得所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，
整理为.
故选：A
4．答案：A
解析：由椭圆的短轴长为2，
知，，即，，
因此，
又椭圆的离心率，
故选：A.
5．答案：C
解析：圆的圆心,半径为5;
圆的圆心,半径为r.
若它们相内切,则圆心距等于半径之差,即＝|r－5|,
求得或-8,不满足.
若它们相外切,则圆心距等于半径之和,即＝|r＋5|,
求得或-18(舍去),
故选：C.
6．答案：B
解析：对于椭圆E，，，
则，
椭圆的焦点坐标为和，
抛物线的焦点F的坐标为，
因为抛物线的焦点F与椭圆的一个焦点重合，
所以，解得，
所以抛物线的标准方程为.
故选：B.
7．答案：C
解析：记双曲线C的右焦点为，
所以
，
当且仅当点P为线段与双曲线C的交点时，取到最小值
故选：C.
8．答案：D
解析：直线
即为，
所以直线过定点，
所以点P到直线l的距离的最大值为，
故选：D
9．答案：ABD
解析：由题意，得：，
解得，，故A、B正确，
∴到直线的距离，
故C错误，D正确
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：做出函数与的草图
设与圆相切，
则或（舍去）.
因为函数与有两个交点，
所以.
故选：AD
11．答案：ACD
解析：抛物线焦点，准线，
由题意，故A正确；
因为，
则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，
则线段的中点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线l相切，故B错误；
抛物线的焦点为，，
当且仅当M，P，F三点共线时，取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，
消x得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，
故D正确
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题设，双曲线其中一个焦点为，
一条渐近线为，
所以，
故该双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
13．答案：或
解析：①直线的斜率不存在时满足，
②直线斜率存在时，设切线方程为，
则，
所以切线方程为，
即.
故答案为：或.
14．答案：；
解析：依题意，
解得，
所以长轴长，椭圆方程为，
由
消去y并化简得，
，
解得或，
设，
则，
由于以为直径的圆过点，
所以，
即，
即，
，
，
，
，
解得，符合题意
所以的值为
故答案为：；
15．答案：(1)或
(2)或.
解析：(1)当直线l过坐标原点，
可得直线l的斜率为，
可得直线l的方程为，即；
当直线l不过坐标原点，设直线l的方程为，
代入点的坐标，
可得，解得，
可得直线l的方程为，
即，
所以所求直线l的一般方程为或.
(2)直线l显然不过坐标原点，
设直线l的方程为，
即.
直线l与x轴的交点坐标为，
与y轴的交点坐标为，
与坐标轴围成的三角形的面积为，
解得或，
故直线l的方程为或，
即直线l的一般方程为或.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)方程
可化为，
∵此方程表示圆，
∴，即，即.
(2)由(1)可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
由弦长公式及，
得，解得，
∴，得.
17．答案：(1)
(2).
解析：(1)由题设，
则，
设，故，
所以，
又，且，
则.
(2)由题设，，
由，
且，
所以
，
综上，.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)圆N的方程可化为.
将抛物线M的方程代入圆N的方程有整理得，
由题意可知有两个正根，
所以
解得，
故P的取值范围为；
(2)设点A，B的坐标分别为，
由对称性可知，点E在x轴上，
设点E的坐标为，
由(1)可知，
得，
所以，
因为直线的斜率为，
直线的斜率为，
所以，
即，
所以，可得，
又由，有，
故点E的坐标为.
19．答案：(1)
(2)证明见解析，
解析：(1)由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程是.
(2)由(1)知，.
当直线DE的斜率存在时，
设直线DE的方程为，，，
联立方程，
消去y得，
则，
且，
可得，，
直线AD的方程为，
直线BE的方程为，
点P是直线AD与直线BE的交点，
则，
所以
，
解得；
当直线DE的斜率不存在时，
直线DE的方程为，
不妨设，，
所以直线AD的方程为，
直线BE的方程为，
点P是直线AD与直线BE的交点，
所以，
解得；
综上所述：点P在定直线上
.