吉林省四平市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（A卷）

这是一份吉林省四平市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（A卷），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）抛物线y＝x2的准线方程是（ ）
A．y＝﹣1B．y＝1C．x＝﹣D．x＝
2．（5分）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．（5，+∞）
C．D．
3．（5分）与直线2x+y＝0垂直，且在x轴上的截距为﹣2的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+2＝0B．x﹣2y﹣2＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0
4．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）若圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25和圆O2：（x+2）2+（y+8）2＝r2（5＜r＜10）相切，则r等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝16x
7．（5分）已知双曲线的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点上的一点，则|PF|+|PM|的最小值为（ ）
A．5B．C．7D．8
8．（5分）已知直线l：x﹣my+4m﹣3＝0（m∈R），点P在圆x2+y2＝1上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b），则（ ）
A．a＝﹣3
B．b＝2
C．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
D．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
（多选）10．（6分）直线y＝2x+m与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ）
A．4B．5C．3D．
（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＝5，则|PQ|＝7
B．以PQ为直径的圆与准线l相交
C．设M（0，1），则
D．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知双曲线（b＞0）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为 ．
13．（5分）过点（2，4）作圆x2+y2＝4的切线，则切线方程为 ．
14．（5分）椭圆C：的四个顶点组成的四边形的面积为，且C的离心率为，则C的长轴长为 ；直线l：y＝kx+2（k≠0）与C交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点E（﹣1，0），则k的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）已知点P（﹣1，2），求满足下列条件的直线l的一般方程．
（1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；
（2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
16．（15分）已知圆C的方程为x2+y2﹣4x+6y﹣m＝0．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：x+y+3＝0交于M，N两点，且|MN|＝2，求m的值
17．（15分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点．
（1）若a＝3，求的取值范围；
（2）若∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．
18．（17分）如图，已知抛物线M：y2＝2px（p＞0）与圆N：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD相交于点E．
（1）求p的取值范围；
（2）求点E的坐标．
19．（17分）已知等轴双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，且．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点（2，0）的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程．
2024-2025学年吉林省四平市高二（上）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）抛物线y＝x2的准线方程是（ ）
A．y＝﹣1B．y＝1C．x＝﹣D．x＝
【答案】A
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2＝4y，焦点在y轴上；
所以：6p＝4，即p＝2，
所以：＝1，
所以准线方程y＝﹣1．
故选：A．
2．（5分）已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．（5，+∞）
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程列不等式求解．
【解答】解：由题意知，（2m﹣3）（m﹣8）＜0，所
以实数m的取值范围是．
故选：D．
3．（5分）与直线2x+y＝0垂直，且在x轴上的截距为﹣2的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+2＝0B．x﹣2y﹣2＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0
【答案】A
【分析】根据题意，求出要求直线的斜率，结合直线的点斜式方程可得直线的方程，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，要求直线与2x+y＝0垂直，
又由要求直线在x轴上的截距为﹣2，则有y﹣5＝，
变形可得x﹣4y+2＝0，
故选：A．
4．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解．
【解答】解：由椭圆的短轴长为2，a2＝4，即b＝1，
因此，
又椭圆的离心率．
故选：A．
5．（5分）若圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25和圆O2：（x+2）2+（y+8）2＝r2（5＜r＜10）相切，则r等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】把圆的方程化为标准方程，再根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值．
【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25的圆心M（3，3）；
圆（x+2）2+（y+5）2＝r2的圆心N（﹣5，﹣8）．
若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即，求得r＝18或﹣8．
若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即，求得r＝2或﹣18（舍去）．
故选：C．
6．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合（ ）
A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝16x
【答案】B
【分析】求出椭圆E的焦点，写出抛物线的焦点坐标，列出等量关系，求出p，即可得抛物线的标准方程．
【解答】解：椭圆的焦点坐标为（﹣6，0），
抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，2），
因为抛物线C：y2＝2px（p＞7）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，
所以＝1，
所以抛物线的标准方程为y2＝8x．
故选：B．
7．（5分）已知双曲线的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点上的一点，则|PF|+|PM|的最小值为（ ）
A．5B．C．7D．8
【答案】C
【分析】由双曲线定义|PF|等于P到右焦点F1的距离|PF1|+4，而|PF1|+|PM|的最小值是|EF1|﹣r（r是圆半径），由此可得结论．
【解答】解：记双曲线C的右焦点为，
所以|PF|+|PM|＝|PF1|+|PM|+7≥|PF1|+|PE|+4﹣6≥|EF1|+3＝7+3＝7，
当且仅当点P为线段EF4与双曲线C的交点时，取到最小值．
故选：C．
8．（5分）已知直线l：x﹣my+4m﹣3＝0（m∈R），点P在圆x2+y2＝1上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】利用直线系方程可得直线所过定点，求出圆心到直线的最短距离，加上半径得答案．
【解答】解：直线l：x﹣my+4m﹣3＝5（m∈R）过定点（3，4），
圆x2+y2＝1的圆心（5，0）到直线l距离的最大值为，
圆x2+y2＝1的半径为7，
则圆上的点P到直线l的距离的最大值为5+1＝8．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b），则（ ）
A．a＝﹣3
B．b＝2
C．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
D．点P到直线ax+by+3＝0的距离为
【答案】ABD
【分析】由直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（1，b）知，从而解出a，b；再求点到直线的距离即可．
【解答】解：∵直线y＝2x与x+y+a＝0交于点P（8，b），
∴，
解得b＝2，a＝﹣6；
故点P（1，2），
故点P到直线ax+by+4＝0的距离为＝，
故选：ABD．
（多选）10．（6分）直线y＝2x+m与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ）
A．4B．5C．3D．
【答案】AD
【分析】由曲线表示圆x2+y2＝4在x轴的上半部分，利用直线与圆相切求出m的值，结合图形即可得答案．
【解答】解：如图：
曲线表示圆x4+y2＝4在x轴的上半部分，
当直线y＝6x+m与圆x2+y2＝2相切时，，解得，
当点（﹣2，2）在直线y＝2x+m上时，
所以由图可知实数m的取值范围为．
故选：AD．
（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＝5，则|PQ|＝7
B．以PQ为直径的圆与准线l相交
C．设M（0，1），则
D．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】ACD
【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段PQ的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得|PM|+|PP1|＝|PM|+|PF|≥|MF|，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x焦点F（6，0），
由题意|PQ|＝x1+x2+p＝7，故A正确；
因为|PQ|＝x1+x7+2，则以PQ为直径的圆的半径，
线段PQ的中点坐标为，
则线段PQ的中点到准线的距离为，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B错误；
抛物线C：y2＝4x的焦点为F（5，0），
又，
当且仅当M，P，F三点共线时，
所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx+5，
联立，得ky2﹣4y+5＝0，
当k＝0时，方程的解为y＝7，
当k≠0时，则Δ＝16﹣16k＝0，
综上所述，过点M（8，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知双曲线（b＞0）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】．
【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程．
【解答】解：由题设，双曲线其中一个焦点为，
所以，故该双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
13．（5分）过点（2，4）作圆x2+y2＝4的切线，则切线方程为 3x﹣4y+10＝0或x＝2 ．
【答案】3x﹣4y+10＝0或x＝2．
【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，分两种情况考虑：当过P的切线斜率不存在时，直线x＝2满足题意；当过P的切线斜率存在时，设出直线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时切线方程，可求．
【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2符合题意；
当直线的斜率不存在时，可设直线方程为y﹣4＝k（x﹣3），
由直线与圆相切的性质可得，＝2，
解得k＝，此时直线方程为3x﹣4y+10＝0．
故答案为：3x﹣8y+10＝0或x＝2．
14．（5分）椭圆C：的四个顶点组成的四边形的面积为，且C的离心率为 2 ；直线l：y＝kx+2（k≠0）与C交于M，N两点（﹣1，0），则k的值为 ．
【答案】2，．
【分析】由题意可得：×2a×2b＝2，＝，a2＝b2+c2，联立解得：a，b，c，可得C的长轴长．直线方程与椭圆方程联立化为：（1+3k2）x2+12kx+9＝0，Δ＞0，以MN为直径的圆过点E（﹣1，0），可得•＝0，结合根与系数的关系代入即可得出结论．
【解答】解：由题意可得：×5a×2b＝2，＝，a6＝b2+c2，
联立解得：a＝，b＝1，
∴C的长轴长为4．
∴椭圆C的方程为+y2＝1．
设M（x5，y1），N（x2，y3），
联立，化为：（7+3k2）x4+12kx+9＝0，
Δ＝（12k）3﹣4×9×（5+3k2）＞5，
化为k2＞1．
∴x5+x2＝﹣，x1x3＝，
∵以MN为直径的圆过点E（﹣1，7），
∴•＝（x1+1，y5）•（x2+1，y8）＝（x1+1）（x2+1）+y1y8＝0，
化为（2k+4）（x1+x2）+（（k6+1）x1x7+5＝0，
∴（7k+1）（﹣）+5+1）+5＝3，
化为：k＝，满足Δ＞3．
故答案为：2，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（13分）已知点P（﹣1，2），求满足下列条件的直线l的一般方程．
（1）经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；
（2）经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）若直线l经过原点，利用点斜式即可得出方程．若直线l不经过原点，可设方程为：+＝1，把点P（﹣1，2）代入解得a即可得出方程．
（2）设直线l的方程为：+＝1，把点P（﹣1，2）代入可得：+＝1，|ab|＝，联立解出即可得出．
【解答】解：（1）若直线l经过原点，则方程为：y＝，即6x+y＝0．
若直线l不经过原点，可设方程为：+，
把点P（﹣8，2）代入可得：+，解得a＝﹣＝1．
综上可得直线l的一般方程为：5x+y＝0，或4x+y+2＝0．
（2）设直线l的方程为：+＝1，8）代入可得：+，
又|ab|＝，
联立，
解得，
∴直线l的一般方程为：x+y﹣1＝0，8x+y+2＝0．
16．（15分）已知圆C的方程为x2+y2﹣4x+6y﹣m＝0．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：x+y+3＝0交于M，N两点，且|MN|＝2
【答案】（1）（﹣13，+∞）；
（2）﹣8．
【分析】（1）将圆C的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到13+m＞0，解之即可；
（2）利用弦长公式求得r，进而得到，易得m的值．
【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x+6y﹣m＝0可化为（x﹣2）2+（y+3）6＝13+m，
∵此方程表示圆，
∴13+m＞0，即m＞﹣13，+∞）．
（2）由（1）可得圆心C（2，﹣5），
则圆心C（2，﹣3）到直线l：x+y+4＝0的距离为，
由弦长公式及，得，解得，
∴，得m＝﹣8．
17．（15分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点．
（1）若a＝3，求的取值范围；
（2）若∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．
【答案】（1）[1，5]；
（2）．
【分析】（1）由题设F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x，y），应用数量积的坐标表示及椭圆的有界性求范围；
（2）由椭圆定义及余弦定理求得|PF1||PF2|＝20，利用三角形面积公式求面积即可．
【解答】解：（1）若a＝3，则椭圆方程为1（﹣2，4），F2（2，8），
设P（x，y），故，
所以，又，且4≤y2≤5，
则．
（2）由题设，，
由|PF1|+|PF8|＝2a，且，
所以＝，
综上，．
18．（17分）如图，已知抛物线M：y2＝2px（p＞0）与圆N：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD相交于点E．
（1）求p的取值范围；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用抛物线与圆由4个交点，结合判别式列出不等式组，求解即可．
（2）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），求解D、C坐标，利用对称性，转化求解即可．
【解答】解：（1）圆N：（x﹣3）2+y8＝4，化为x2+y4﹣6x+5＝8，
将抛物线M的方程代入圆N的方程有x2+2px﹣5x+5＝0，p＞3，
由抛物线M与圆N相交有四个交点，必有
解得，
故p的取值范围为；
（2）设点A，B的坐标分别为（x1，y5），（x2，y2），
由对称性可知D（x2，﹣y1），C（x2，﹣y8），直线AC与直线BD相交于点E．
点E在x轴上，点E的坐标为（t，
由x2+2px﹣8x+5＝0，可知x8+x2＝6﹣6p，x1x2＝3，有，可得，
直线AC的斜率为，直线AE的斜率为，
有，有，有，可得，
又由，有，
故点E的坐标为．
19．（17分）已知等轴双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，且．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点（2，0）的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程．
【答案】（1）；
（2）证明见解析，x＝1．
【分析】（1）根据题意列式求a，b，即可得双曲线方程．
（2）分类讨论斜率是否存在，直线DE的方程为y＝k（x﹣2），D（x1，y1），E（x2，y2），联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及x1+x2，x1x2关于k的表达式，再联立直线AD与BE求交点坐标，即可证结论并确定直线方程．
【解答】解：（1）因为等轴双曲线C：的左，B，且，
所以a＝b，，
解得，
则双曲线C的方程为．
（2）证明：由（1）知，，
当直线DE的斜率存在时，
不妨设直线DE的方程为y＝k（x﹣2），D（x3，y1），E（x2，y4），
联立，消去y并整理得（k2﹣1）x8﹣4k2x+5k2+2＝8，
此时k≠±1，且Δ＝16k4﹣8（k2﹣1）（6k2+2）＝5k2+8＞7，
由韦达定理得，，
则直线AD的方程为，直线BE的方程为，
因为点P是直线AD与直线BE的交点，
所以，
此时
＝，
解得x＝1；
当直线DE的斜率不存在时，直线DE的方程为x＝5，
不妨设，，
则直线AD的方程为，直线BE的方程为，
因为点P是直线AD与直线BE的交点，
所以，
解得x＝7；
综上，点P在定直线x＝1上．
．