初中数学北京课改版九年级上册第十八章 相似形18.4 相似多边形测试题

这是一份初中数学北京课改版九年级上册第十八章 相似形18.4 相似多边形测试题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似．已知AB=5，对应边A′B′=6，若平行四边形ABCD的面积为10，则平行四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．15B．14.4C．12D．10.8
2．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
3．如图，一张长为a宽为b的矩形纸片（a>b），将纸片沿较长边的中点对折，得到的两个小矩形都和原来的矩形相似，则a：b的值是（ ）
A．B．C．D．
4．如果多边形ABCDEF∽多边形A`B`C`D`E`F`，且∠A＝68°，则∠A`等于（ ）
A．22 B．112 C．68 D．54
5．若点是线段AB的黄金分割点，设，则的长为（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.4或0.6
6．如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，则AD=（ ）
A．2 B．2.4C．2.5D．3
7．下列命题中，正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似B．所有的菱形都相似
C．边长相等的两个菱形都相似D．对角线相等的两个矩形都相似
8．下列说法不一定正确的是 （ ）
A．所有的等边三角形都相似B．有一个角是的等腰三角形相似
C．所有的正方形都相似D．所有的矩形都相似
9．如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（ ）
A．15B．12C．10D．8
10．如图，在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则的长为( )

A．2B．C．D．
11．给出下列几何图形：
①两个圆；
②两个正方形；
③两个矩形；
④两个正六边形；
⑤两个等腰三角形；
⑥两个直角三角形；
⑦四个角对应相等的两个等腰梯形；
⑧有一个角为40°的菱形．
其中，一定相似的有（ ）个.
A．2B．3C．4D．5
12．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB= ．
14．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字，，，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是 ，错误的是 ．（填序号）
15．在直角坐标系中，把四边形ABCD以原点O为位似中心放缩，得到四边形AˊBˊCˊDˊ．若点A和它的对应点Aˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），则＝
16．下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是 ．
17．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是 cm2
三、解答题
18．如图所示，污水处理公司为某楼房建一座周长为30米的三级污水处理池，平面图为矩形ABCD，米，中间两条隔墙分别为EF、GH，池墙的厚度不考虑．
(1)用含x的代数式表示外围墙AD的长度；
(2)如果设计时要求矩形水池ABCD恰好被隔墙分成三个全等的矩形，且它们均与矩形ABCD相似，求此时AB的长；
(3)如果设计时要求矩形水池ABCD恰好被隔墙分成三个全等的正方形，已知池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价每米300元，池底建造的单价为每平方米100元，试计算此项工程的总造价.（结果精确到1元）．
19．如图，在给出的格点内通过放大或缩小画出已给图形的相似图形．
（1）
（2）
20．如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？
21．如图，四边形是矩形，点F在对角线AC上运动，，．四边形和四边形一直保持相似吗？证明你的结论．
22．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方可得．
【详解】解：平行四边形ABCD与平行四边形A′B′C′D′相似，AB=5，对应边A′B′=6，则两平行四边形的相似比是5：6，相似图形面积的等于相似比的平方，
即：平行四边形ABCD的面积：平行四边形A′B′C′D′的面积=25：36，
解得：平行四边形A′B′C′D′的面积为14.4．
故选B．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握性质．
2．B
【分析】直接利用相似多边形的性质，得出对应边成比例进而得出答案．
【详解】∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，
∴，
∵AB=8cm，A′B′=6cm，AD=5cm，
∴，
解得：A′D′= ．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟记相似多边形对应边成比例．
3．C
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】解：由题意可得：
对折后小矩形的长为b，宽为
∵小矩形与原来矩形相似，
∴，
∴，
∵a>0，b>0，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似多边形对应边成比例的性质，解题的关键是找出相似多边形的对应边．
4．C
【详解】解：∵多边形ABCDEF∽多边形A′B′C′D′E′F′，∠A与∠A′是对应角，∠A=68°，∴∠A'=∠A=68°．故选C．
5．D
【分析】分PA是较长线段，和较小线段两种情况，根据黄金分割的概念得到较长线段PA=AB，再根据AB=1，即可得出答案．
【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，
∴较长线段PA=AB，
∵AB=1，
∴PA≈0.6，
∴较短的线段PA=1-0.6=0.4；
故选D．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
6．A
【详解】设AD=，
∵矩形ABCD∽矩形ADFE，
∴AD:AE=AB:AD，
又∵AE=1，AB=4，
∴，
∴，
又∵，
∴.
即AD=2.
故选A.
7．A
【分析】两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形，根据相似多边形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；
B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；
C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意；
D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念．
8．D
【分析】本题考查的是相似形的识别，把形状相同的图形叫做相似图形．根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、所有的等边三角形，形状相同，符合相似性的定义，故正确；
B、有一个角是的等腰三角形，形状相同，符合相似性的定义，故正确；
C、所有的正方形，形状相同，符合相似性的定义，故正确；
D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误．
故选D．
9．D
【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【详解】解：这两个图形两个形状相同，
即两个图形相似，
则对应线段的比相等，
因而，
．
的值是．
故选：D
10．D
【分析】可设AD=x，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】解：∵，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去）
经检验，是原方程的解．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形与矩形相似得到比例式．
11．D
【分析】试题分析：根据相似图形的定义，对题目条件进行一一分析，作出正确回答．
【详解】两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；
两个正方形，对应角度数相等，对应边比例相等，是相似图形，
两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；
两个正六边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．
两个等腰三角形，边的比、角的度数不一定相等，不一定是相似图形；
两个直角三角形，锐角不一定相等，不一定是相似三角形；
四个角对应相等的两个等腰梯形，是相似图形；
有一个角为40°的菱形边的比一定相等，且对应角一定对应相等，是相似图形；
∴有5个相似图形．
故选D
12．B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故选：B
【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．
13．或2
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，进行计算即可求解．
【详解】∵ABFE是正方形，
∴AB=EF=AE，
∵矩形GFCH和矩形EGHD全等，
∴EG=DH=GF=HC，设ED=，EG=，
∴AD=，AB=，
∵矩形ABCD和矩形EGHD相似，
∴或，
①当时，
∴，解得：，
∴AD：AB=，
②当时，，
解得：，
∴AD：AB=，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
14． ① ②③
【分析】根据相似图形的定义，对题目中的条件进行一一分析，确定正确和错误答案．
【详解】解：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，形状相同，但大小不一定相同，看到的图象是相似的图形，故正确；
②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们形状不同，故错误；
③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，属于不唯一确定图形，故错误．
∴正确的是①，错误的是②③．
【点睛】本题考查相似形的定义，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．
15．
【详解】分析：根据题意得到四边形ABCD与四边形AˊBˊCˊDˊ的相似比为，根据相似三角形的性质计算即可．
详解：∵点A和它的对应点Aˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），
∴四边形ABCD以原点O为位似中心扩大3倍，得到四边形AˊBˊCˊDˊ，
即四边形ABCD与四边形AˊBˊCˊDˊ的相似比为，
∴=，
故答案为.
点睛：本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似图形的性质是解题的关键．
16．①②⑤
【分析】根据相似图形的判定一一判断即可．
【详解】解：①两个正三角形相似，正确．
②两个等腰直角三角形相似，正确．
③两个菱形相似，错误．
④两个矩形相似，错误．
⑤两个正方形相似，正确．
故答案为：①②⑤．
【点睛】此题考查相似图形的判定，掌握相似图形的特点:对应边成比例,对应角相等是解题的关键．
17．27
【分析】由题意，在长为8cm宽6cm的矩形中，截去一个矩形使留下的矩形与原矩形相似，根据相似形的对应边长比例关系，就可以求解．
【详解】解：设宽为xcm，
∵留下的矩形与原矩形相似，
解得
∴截去的矩形的面积为
∴留下的矩形的面积为48-21=27cm2，
故答案为：27．
【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
18．(1)AD的长度为米；
(2)AB的长为米；
(3)此项工程的总造价约为18469元．
【分析】（1）根据矩形的周长等于相邻两边和的2倍，求解即可得；
（2）利用相似的性质及题意可得，即，且，据此可列方程，求解即可得；
（3）根据题意可得，由于是正方形，列出方程求解可得，然后根据题中各个部分的造价进行计算即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得：，，
∴，
答：AD的长度为米；
（2）解：由题意可知，，即，且，
∴
解得：，(不合题意，舍去)
∴，
∴AB的长为米；
（3）解：由题意知，则有，
解得：，
总造价：，
当时，原式（元），
答：此项工程的总造价约为18469元．
【点睛】题目主要考查一元一次方程及一元二次方程的应用，相似图形的性质等，根据题意列出方程是解题关键．
19．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】根据相似图形的定义，将图（1）各边长放大1倍，将图（2）各边长缩小一半，并保持形状不变，即可得答案.
【详解】解：（1）将图形放大如图所示：

（2）将图形缩小如图所示：
【点睛】本题考查作相似图形，根据相似图形的定义进行放大或缩小是关键.
20．
【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键在于理解相似矩形对应边成比例这一性质，并能准确找出小路内外边缘围成的矩形的长和宽的表达式．
通过分析两个矩形相似的性质，找出对应边的比例关系，并用含有的代数式表示内边缘所围成的矩形的长，进而列方程求解的值即可．
【详解】解：人行小路内边缘所围成的矩形的长为，
宽为．
根据相似多边形定义，当各边成比例时，这两个矩形相似，即：
，
解得，
经检验，是原方程的解．
答：当时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似．
21．四边形与四边形一直保持相似．原因是它们的角分别相等、边成比例．
【分析】由，证明再证明四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例，从而可得答案.
【详解】解： ，，

即
，，



四边形与四边形一直保持相似．
【点睛】本题考查的是四边形相似的判定，掌握“四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例的两个四边形相似”是解题的关键.
22．（1）见解析；（2）GD＝．
【分析】（1）用SAS证明△AEB≌△AGD即可得到EB＝GD；
（2）连接BD.由（1）可知，求出EB即可得到GD的长.依次求出BP、AP、EP的长即可解决问题.
【详解】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AEFG是菱形，ABCD是菱形，
∴AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴GD＝．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质及菱形的性质，利用菱形对角线互相垂直平分构造的直角三角形进行计算是解题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
C
D
A
A
D
D
D
题号
11
12








答案
D
B