2024-2025学年广东省肇庆市德庆县高三上册12月联考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省肇庆市德庆县高三上册12月联考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了设集合，集合，则等于，已知，则，设为复数，．下列命题中正确的是，如图是函数等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，点D在边AB上，．记，则( )
A． B． C． D．
4. 已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A. B. C. D.
5．已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
7.已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（ ）
A． B．的最小正周期
C．有4个零点 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设为复数，．下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10.如图是函数（，，）的部分图像，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是的函数的一条对称轴
C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D．若函数（）在上有且仅有两个零点，则
11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面MBN
C．三棱锥P-MBN的体积为
D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 记为等比数列的前项和，若，，则 ____
13.曲线在x＝1处的切线的倾斜角为α，则的值为__________
14.已知若函数有两个零点，则的取值范围为________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(本小题满分13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a＝2cs B(bcs C＋ccs B)．
(1)求B；
(2)已知点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，BD＝2，求a＋c的最小值．
16.(本小题满分15分)
如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且.
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的余弦值．
17. (本小题满分15分)
已知函数.
（1）求的极值；
（2）对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
18.(本小题满分17分)
设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n＋1.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足b1＝a2，bn＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n为奇数，,an－bn，n为偶数，))求数列{bn}的前项的和．
19.(本小题满分17分)
记、分别为函数，的导函数.若存在满足且，则称为函数与的一个“S点”.
(1)证明:函数与不存在“S点”;
(2)若函数与存在“S点”，求实数的值
(3)已知函数，对任意，判断是否存在，使得函数与在区间内存在“S点”，并说明理由.
数学答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.【答案】 A 解析：集合，则。
2.【答案】 B 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
3.【答案】 D解析：因点D在边AB上，，所以，即，
所以．
4.【答案】B【详解】对于A:，故A错误；
对于B:，
又定义域为全体实数，它关于原点对称，且，
即函数是定义域为的偶函数，当时，单调递增，满足题意.
对于C:，故不是偶函数，故C错误；
对于D:，故D错误；
5.【答案】A 由圆柱侧面积，解得，因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为，则由，
所以
6.【答案】C 解：由得，即，由基本不等式得，当且时，等号成立。
7.【答案】C
【详解】由，得，
即，所以，所以，所以.
8.【答案】D 对于A：由题意可得：，解得，故A正确；对于B：∵是偶函数，则，则，又∵为奇函数，则，可得，∴fx+4=−fx+2=−−fx=fx，则的最小正周期，故B正确；对C：令，则，注意到此时，分别作出的图象，
由图象可知：有4个交点，故有4个零点，故C正确；
对D：∵，则，可得，故D不正确.故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9.【答案】BC
【详解】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，所以，所以，C正确；取，显然满足，但，D错误.
故选：BC
10.【答案】AD【详解】由图像可知， ， ，即，故A正确；
，此时，又 在图像上， ，解得， ，
，， ，
当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误；
将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为：
不为奇函数，故C错误；
令 ，解得 ，
当 时， ，不合题意时， ；时， ；时， ；
又因为函数在上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确. 故选：AD.
11.【答案】ABC
【详解】如图，在正方体中，连接，，
因为N，P分别是，的中点，所以，又因为，所以，
所以，B，N，P四点共面，即当Q与重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；
连接PQ，，当Q是的中点时，因为，，所以，
因为平面BMN，平面BMN，所以平面BMN，故选项B正确；
连接，，，因为，
所以，
故选项C正确；
分别取，的中点E，F，构造长方体MADF-EBCN，
则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球，
设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径，
即，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为，故选项D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 答案：
解析：设等比数列公比为，由已知得：，
∴∴ ,所以
13.答案：
解析：依题意，y′＝1x+2x2，所以tan α＝11+21＝3，
所以cs 2α+π2＝－sin 2α＝－2sinαcsαsin2α+cs2α＝－2tanαtan2α+1=2×332+1＝
14.【答案】
【解析】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
所以时，.画出函数的图象如图所示：
因为函数有两个零点，所以与的图象有两个交点，
由图可知或.所以的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.解：(1)由正弦定理得：分
sin A＝2cs B(sin Bcs C＋sin Ccs B)＝2cs Bsin A，分
因为sin A≠0，所以cs B＝eq \f(1,2)，分
又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3)分
(2)因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD＝eq \f(π,6)，分
又S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以eq \f(1,2)acsin eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)a·2·sin eq \f(π,6)＋eq \f(1,2)c·2·sin eq \f(π,6)，分
化简得eq \f(\r(3),2)ac＝a＋c，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(\r(3),2)，分
所以a＋c＝eq \f(2,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,c)))(a＋c)＝eq \f(2,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(c,a)＋\f(a,c)＋1))≥eq \f(2,\r(3))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋2\r(\f(c,a)·\f(a,c))))＝eq \f(8\r(3),3)分
当且仅当eq \f(c,a)＝eq \f(a,c)时，等号成立，即a＋c的最小值为eq \f(8\r(3),3)分
16.解：（1）设，连接.因为侧面是菱形，所以，分
又因为，所以分
又，分
所以，分
又，所以分
(2)因为，所以，由(1)知，则分
设.如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，分
则，，，，因为，易得.
，，. 分
（或者不求的坐标，利用也可得出的坐标）
设是面的一个法向量，则
即，可取 分
设是面的一个法向量，则
即，可取 分
，所以二面角的余弦值为 分
17. 解：（1）的定义域为. 分
当时，恒成立，此时单调递增，无极值； 分
当时，令，得. 分
故当时，单调递减；
当时，单调递增， 分
此时在处取到极小值，无极大值. 分
（2）方法一：对任意时，恒成立，即恒成立. 分
令，则. 分
令，则， 分
即在区间上单调递减，又， 分
所以当时，，即，此时单调递增； 分
当时，，即，此时单调递减， 分
所以. 分
所以，即的取值范围为. 分
方法二：由（1）知，当时，在区间上单调递增. 分
因为，所以不符合题意； 分
当时，当时单调递减，当时单调递增.
对任意时，恒成立，即，
即. 分
令在区间上单调递增.
又所以； 分
当时，在区间上单调递减分
所以，符合题意； 分
综上，的取值范围为. 分
18.解析：(1)证明：当n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0 分
由题意Sn＝2an－n＋1①得：则Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1②， 分
②－①，得an＋1＝2an＋1－2an－1， 分
即an＋1＝2an＋1， 分
所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2. 分
又因为a1＋1＝1， 分
所以{an＋1}是首项为1，公比为2的等比数列． 分
(2)由(1)知an＋1＝2n-1，则an＝2n－1－1， 分
所以bn＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2n－1－1，n为奇数，,2n－1－1－bn，n为偶数，)) 分
且b1＝a2＝22-1－1＝1， 分
又因为当n为偶数时，bn＋1＝2n-1－1－bn，即bn＋bn＋1＝2n-1－1， 分
所以b1＋b2＋…＋b2n＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2n-2＋b2n-1)＋b2n 分
＝1＋21－1＋23－1＋…＋22n-3－1＋22n-2－1， 分
＝ 分
＝ 分
19.证明：（1）因为，，则，，分
假设存在函数与存在“S点”
即存在满足，分
方程组无解，分
所以函数与不存在“S点”分
（2）因为与，则与，分
设“S点”为，满足，分
解得，分
所以分
（3）因为，，所以，，分
由，，显然，
假设，得，解得，分
由，得，得，分
令，分
设，则，，得，分
又的图象在上不间断，则在上有零点，则在上有零点，分
则存在，使与在区间内存在“S”点分