专题09 函数的应用（考点清单+知识导图+ 12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

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【清单01】函数零点的概念
1、函数零点的概念
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点
2、已学基本初等函数的零点
①一次函数只有一个零点；
②反比例函数没有零点；
③指数函数（且）没有零点；
④对数函数（且）只有一个零点1；
⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。
【清单02】函数零点存在定理及其应用
1、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.
2、函数零点的求法
①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;
②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解
3、函数零点个数的判断
①利用代数法，求出所有零点；
②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；
③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；
④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.
【清单03】二次函数的零点问题
一元二次方程的实数根也称为函数的零点.
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
【清单04】区间中点
对于区间，其中点
【清单05】二分法
1、二分法的概念
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisectin )
2、用二分法求零点的近似值
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点
（3）计算;
①若（此时)，则就是函数的零点；
②若（此时)，则令；
③若（此时)，则令；
（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4
【清单06】常见函数模型
1、一次函数模型（，为常数）
2、反比例函数模型（）
3、二次函数模型（）
4、指数函数模型（且，）
5、对数函数模型（且，）
6、幂函数模型（，）
7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合
8、对勾函数模型：
【考点题型一】求函数的零点
核心方法：令（注意零点不是点，零点是数）
【例1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数，则函数的零点是 .
【变式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数的零点为（ ）
A．B．C．0D．1
【变式1-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的两个零点为，则=
【考点题型二】求函数零点个数
【例2】（23-24高一下·贵州遵义）函数的零点个数为 .
【变式2-1】（多选）（23-24高一下·河北石家庄）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（24-25高一上·北京）函数的零点有 个．
【考点题型三】判断函数零点所在区间
核心方法：零点存在性定理
【例3】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（23-24高一下·四川达州·期中）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】（23-24高一下·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（ ）
A．0,1B．C．2,3D．
【考点题型四】已知零点个数求参数的取值范围（核心考点）
核心方法：图象法
【例4】（24-25高二上·宁夏·期中）定义为a，b的最大值，函数的最小值为c．函数，如果函数有三个零点，则实数k的取值范围为 ．
【变式4-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【考点题型五】根据零点（根）所在区间求参数
核心方法：零点存在性定理
【例5】（23-24高一下·云南玉溪）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是 .
【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）若函数的零点在区间，内，则 ．
【考点题型六】用二分法求函数的零点的近似值
核心方法：二分法
【例6】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算发现，，可得其中一个零点，则第二次还需计算函数值（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间内，当（为精确度）时，函数零点的近似值与真实零点的误差的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【考点题型七】指数函数模型
【例7】（24-25高一上·江苏常州·期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）
（参考数据，）
A．6B．7C．10D．11
【变式7-1】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过（ ）年.（）
A．155B．159C．162D．166
【变式7-2】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，g及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他大约经过 小时才能驾驶.（结果精确到0.1，参考数据：）
【考点题型八】对数函数数模型
【例8】（24-25高三上·江苏泰州·期中）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．黄海是我国东部中强地震多发区之一，2013年4月21日，黄海海域发生里氏5.0级地震，2015年8月6日黄海海域发生里氏4.0级地震，前一次地震所释放出来的能量约是后一次的（ ）倍．（精确到1）
（参考数据：，，，）
A．29B．30C．31D．32
【变式8-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，将信噪比从2000提升至10000，则大约增加了（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2024·福建龙岩·三模）声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（ ）
A．120dBB．100dBC．80dBD．60dB
【考点题型九】拟合函数模型的应用题
【例9】（24-25高一上·重庆·期中）为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据：
为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，，
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值；
(2)计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度．
【变式9-1】（24-25高一上·四川成都·期中）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，（），日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元．
(1)求的值；
(2)给出以下三个函数模型：①；②；③．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；
(3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．
【变式9-2】（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③.
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；
(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）；
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.
【考点题型十】零点个数问题（解答题）
【例10】（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数的解析式为
(1)画出这个函数的图象，并解不等式；
(2)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围．
【变式10-1】（18-19高一上·浙江宁波·期中）已知函数
(1)若函数在上有最大值，求实数a的值；
(2)若函数在上有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【变式10-2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；
(3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
【考点题型十一】零点代数和问题
【例11】（24-25高一上·江苏·期中）记函数的两个零点为，．
(1)若，，求m的取值范围；
(2)若，求的最值．
【变式11-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，
(1)求的表达式；
(2)若函数的图象与直线有四个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设四个交点的横坐标分别为，，，，若恒成立，求实数的取值范围.
【变式11-2】（23-24高一上·重庆·期中）函数，其中为常数，有这5个不同的实数解，并且有．
(1)在坐标系中画出函数的图象，并求的取值范围（用表示）；
(2)若，求的最小值．
【考点题型十二】函数与方程综合
【例12-1】（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若方程有两个不等实根，，且，求的取值范围.
【例12-2】（23-24高一上·江苏泰州·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”.
(1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）
(2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由；
(3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围.
【变式12-1】（24-25高一上·上海徐汇·期中）利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径.
(1)已知函数,若对任意，恒成立，求：实数的取值范围.
(2)设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：a的取值范围.
①对于任意，的值为或；
②关于的方程无实数解．
(3)已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数.
【变式12-2】（24-25高一上·上海·期中）已知.
(1)若，证明：，并指出等号成立的条件;
(2)已知，设关于的方程的两个非零实数根为，问是否存在，使得对任意以及恒成立，若存在请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
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一、单选题
1．（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一上·河南新乡·期中）某花店销售某品种鲜花，当每束鲜花的售价为50元时，花店每天可以卖出18束鲜花；当每束鲜花的售价每降低1元时，花店当天可以多卖出1束鲜花．要使得该店该品种鲜花的日销售额最大，则每束鲜花的售价应为（ ）
A．16元B．18元C．32元D．34元
3．（24-25高一上·江西·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．110B．116C．119D．122
4．（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高一上·北京·期中）函数在区间内的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（24-25高三上·河南·期中）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．（24-25高一上·陕西榆林·期中）定义域和值域均为-a,a的函数y=fx和y=gx的图象如图所示，其中，则（ ）
A．方程有且仅有3个解B．方程有且仅有3个解
C．方程有且仅有5个解D．方程有且仅有1个解
三、填空题
11．（24-25高一上·山东·期中）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 .
12．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数，若，，满足，记，则的取值范围为 ．
四、解答题
13．（24-25高一上·山东·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元.
(1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值）
(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算?请说明理由.
14．（24-25高一上·陕西西安·期中）设函数，
(1)在坐标系中画出函数的图象；
(2)讨论方程，解的情况.
15．（24-25高一上·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．
(1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
(2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：
16．（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据：
为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③.
(1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式：
(2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？
(3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案：
方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为；
方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变.
请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由.
17．（24-25高一上·辽宁大连·期中）函数是定义在上的奇函数，已知当时，；
(1)求函数的解析式；
(2)作出函数的图象，并写出函数的单调增区间；
(3)若方程有个相异的实数根，求实数的取值集合．的实数根
（其中）
方程无实数根
的图象
的零点
函数无零点
10
30
40
60
70
0.8
6
8
4.8
3.5
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50
时间
0
1
2
3
4
5
水温
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27
0
2
3
4
4
25
63
156