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    专题08 对数与对数函数(考点清单+知识导图+ 16个考点清单&题型解读)-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲(人教A版2019必修第一册)

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    这是一份专题08 对数与对数函数(考点清单+知识导图+ 16个考点清单&题型解读)-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲(人教A版2019必修第一册),文件包含专题08对数与对数函数考点清单+知识导图+16个考点清单题型解读原卷版docx、专题08对数与对数函数考点清单+知识导图+16个考点清单题型解读解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共64页, 欢迎下载使用。

    【清单01】对数概念
    1、对数的概念:一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数.
    特别的:规定,且的原因:
    ①当时,取某些值时,的值不存在,如:是不存在的.
    ②当时,当时,的值不存在,如:是不成立的;当时,则的取值时任意的,不是唯一的.
    ③当时,当,则的值不存在;当时,则的取值时任意的,不是唯一的.
    2、常用对数与自然对数
    ①常用对数:将以10为底的对数叫做常用对数,并把记为
    ②自然对数:是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.718 28.把以为底的对数称为自然对数,并把记作
    说明:“”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
    【清单02】指数式与对数式的相互转化
    当且,
    【清单03】对数的性质
    ①负数和零没有对数.
    ②对于任意的且,都有,,;
    ③对数恒等式: (且)
    【清单04】对数的运算性质
    当且,,


    ③()
    ④()
    ⑤()
    【清单05】对数的换底公式
    换底公式:(且,,,且)
    特别的:
    【清单06】对数函数的概念
    1、对数函数的概念
    一般地,函数叫做对数函数,其中指数是自变量,定义域是.
    判断一个函数是对数函数的依据
    (1)形如;(2)底数满足;(3)真数是,而不是的函数;(4)定义域.例如:是对数函数,而、都不是对数函数,可称为对数型函数.
    2、两种特殊的对数函数
    特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.
    【清单07】对数函数的图象及其性质
    函数的图象和性质如下表:
    【考点题型一】指数与对数综合运算
    【例1】(24-25高一上·云南昆明·期中)计算下列各式:
    (1);
    (2).
    【变式1-1】(24-25高一上·江苏扬州·期中)求值:
    (1);
    (2).
    【变式1-2】(24-25高一上·江苏南京·期中)求下列各式的值.
    (1)
    (2)
    【考点题型二】指数式与对数式的相互转化
    核心方法:
    【例2】(23-24高三上·四川泸州·阶段练习)实数满足,则下列关系正确的是( )
    A.B.C.D.
    【变式2-1】(24-25高一上·江苏无锡·期中)已知,则( )
    A.B.C.1D.2
    【变式2-2】(多选)(22-23高一上·广东惠州·期中)已知正实数,满足,且,则的值可以为( )
    A.6B.7C.8D.9
    【考点题型三】利用换底公式化简求值
    核心方法:换底公式:(且,,,且)
    特别的:
    【例3】(多选)(24-25高一上·江苏南通·期中)下列结论正确的有( )
    A.B.
    C.D.若,则.
    【变式3-1】(24-25高一上·浙江宁波·期中)计算:
    (1);
    (2).
    【考点题型四】有附加条件的对数求值问题
    【例4】(23-24高一上·江苏扬州·期中)(1)已知,,①求的值; ②求的值;
    (2)已知,,①用,表示; ②用,表示.
    【变式4-1】(24-25高一上·上海·期中)已知,,则用表示 .
    【变式4-2】(24-25高一上·上海·期中)已知,,用表示.
    【变式4-3】(23-24高一上·广西·期中)(1)计算:.
    (2)设,,试用,表示.
    【考点题型五】对数函数概念辨析
    【例5】(24-25高一上·全国·课后作业)给出下列函数:①;②;③;④.其中是对数函数的有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【变式5-1】(24-25高一·全国·课后作业)已知下列函数:
    ①y=lg(-x)(x<0);
    ②y=2lg4(x-1)(x>1);
    ③y=ln x(x>0);
    ④,(x>0,a是常数).
    其中为对数函数的是 (只填序号).
    【考点题型六】与对数函数有关的定义域问题
    【例6】(24-25高一上·上海·期中)函数的定义域为 .
    【变式6-1】(24-25高二上·上海·期中)函数的定义域为 .
    【变式6-2】(24-25高一上·上海嘉定·期中)设条件有意义,条件,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .
    【考点题型七】对数函数过定点问题
    核心方法:
    【例7】(2024·辽宁大连·模拟预测)已知函数(,且)的图象恒过定点,若点在直线上,则的最小值为( )
    A.13B.C.D.8
    【变式7-1】(24-25高一上·山东青岛·期中)函数且的图象恒过点,函数且的图象恒过点,则( )
    A.B.C.D.
    【变式7-2】(24-25高二上·云南昭通·阶段练习)已知函数(且)的图象恒过定点,点在幂函数的图象上,则 .
    【考点题型八】指数与对数函数的图象综合
    【例8-1】(23-24高一上·河南·期末)函数的大致图象是( )
    A.B.
    C.D.
    【例8-2】(23-24高一上·山东滨州·期末)若函数(,且)的图象如图所示,则下列函数与图象对应正确的为( )
    A.B.
    C.D.
    【变式8-1】(23-24高二下·江苏宿迁)函数的图象大致是( )
    A.B.
    C.D.
    【变式8-2】(多选)(24-25高一上·湖南长沙·期中)已知,且,函数与的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【考点题型九】对数型复合函数值域
    【例9】(24-25高三上·河南焦作·阶段练习)若函数,则函数的值域为( )
    A.B.C.D.
    【变式9-1】(2024高三·全国·专题练习)已知函数,的最小值是 .
    【变式9-2】(23-24高三上·上海黄浦·期中)函数在区间上的最小值为 .
    【变式9-3】(23-24高一上·广东·期中)已知函数.
    (1)求方程的根;
    (2)求在上的值域.
    【考点题型十】对数型复合函数值域(可化为一元二次函数型)
    核心方法:换元法(特别题型:换元必换范围)
    【例10-1】(23-24高一上·江苏苏州·阶段练习)已知,则的值域是 .
    【例10-2】(23-24高一上·安徽淮北·阶段练习)已知函数.
    (1)若,求方程的解集;
    (2)当时,求函数的最小值.
    【变式10-1】(23-24高一下·安徽合肥·期末)函数的最小值为 .
    【变式10-2】(23-24高一下·河北石家庄·期中)函数的定义域为.
    (1)设,求t的取值范围;
    (2)求函数的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值
    【考点题型十一】对数型复合函数的单调性问题
    核心方法:复合函数求单调性法则(特别题型,容易忽视定义域而造成错解)
    【例11】(23-24高一上·河北唐山·期中)函数的单调增区间为 .
    【变式11-1】(24-25高一上·福建厦门·期中)函数的单调递减区间是( )
    A.B.C.D.
    【变式11-2】(24-25高三上·江苏泰州·期中)函数的单调递增区间为 .
    【考点题型十二】根据对数型复合函数的单调性求参数
    核心方法:复合函数求单调性法则
    【例12】(24-25高三上·天津南开·阶段练习)已知函数 在上单调递增,则实数的取值范围为 .
    【变式12-1】(24-25高三上·山东德州·期中)已知关于的函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【变式12-2】.(24-25高三上·广东惠州·期中)已知函数,则“”是“函数在上单调递增”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【考点题型十三】利用对数函数单调性比大小
    核心方法:单调性
    【例13】(24-25高三上·四川成都·阶段练习)已知,,,则,,的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【变式13-1】(24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)已知,,则下列判断正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【变式13-2】(24-25高三上·四川德阳·阶段练习)已知,,,则下列判断正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【考点题型十四】利用对数函数单调性解不等式
    核心方法:单调性
    【例14-1】(23-24高一下·湖北·期中)已知函数.
    (1)若在上单调递减,求的取值范围;
    (2)若,解不等式.
    【例14-2】(23-24高一上·山东泰安·期中)函数.
    (1)如果时,有意义,求实数的取值范围;
    (2)当时,值域为,求实数的值;
    (3)在(2)条件下,.解关于的不等式.
    【变式14-1】(24-25高一上·吉林延边·期中)已知函数.
    (1)求函数的定义域;
    (2)判断奇偶性,并加以证明;
    (3)若,求实数的取值范围.
    【变式14-2】(23-24高一上·河北·期末)已知函数.
    (1)判断函数的奇偶性;
    (2)判断函数的单调性;
    (3)若,求实数的取值范围.
    【考点题型十五】对数函数综合问题(单调性,奇偶性,恒成立,不等式,值域等综合问题)
    核心方法:单调性
    【例15-1】(24-25高一上·福建厦门·期中)已知函数,关于的不等式的解集为,且.
    (1)求的值;
    (2)是否存在实数,使函数的最小值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
    【例15-2】(24-25高一上·浙江·期中)已知函数为奇函数.
    (1)求实数的值;
    (2)解不等式;
    (3)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
    【例15-3】(23-24高一上·河北唐山·期中)已知函数且的图象经过点,且函数为奇函数
    (1)求函数的解析式;
    (2)判断并证明在定义域上的单调性;
    (3)若关于的不等式在区间上恒成立,求正实数的取值范围.
    【变式15-1】(24-25高三上·辽宁大连·期中)已知函数为奇函数.
    (1)求实数a的值;
    (2)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
    【变式15-2】(24-25高一上·浙江绍兴·期中)函数.
    (1)当时,求该函数的值域;
    (2)若对于恒成立,求的取值范围.
    【变式15-3】(23-24高一上·江苏南通·期中)已知函数,函数
    (1)试判断函数的单调性,并证明你的结论;
    (2)若不等式对恒成立,求实数a的取值范围.
    【考点题型十六】对数函数中新定义问题
    【例16】(23-24高一下·贵州贵阳·期中)对于在区间上有意义的函数,若满足对任意的,,有恒成立,则称在上是“友好”的,否则就称在上是“不友好”的.现有函数.
    (1)当时,判断函数在上是否“友好”;
    (2)若函数在区间上是“友好”的,求实数的取值范围.
    【变式16-1】(23-24高一上·江苏无锡·阶段练习)若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在唯一的,使成立,则称该函数为“和一函数”.
    (1)判断定义在区间上的函数是否为“和一函数”,并说明理由;
    (2)若函数在定义域上是“和一函数”.
    ①求的值;
    ②求的取值范围.
    【变式16-2】.(2024·上海金山·二模)已知函数与有相同的定义域.若存在常数(),使得对于任意的,都存在,满足,则称函数是函数关于的“函数”.
    (1)若,,试判断函数是否是关于的“函数”,并说明理由;
    (2)若函数与均存在最大值与最小值,且函数是关于的“函数”,又是关于的“函数”,证明:;
    (3)已知,,其定义域均为.给定正实数,若存在唯一的,使得是关于的“函数”,求的所有可能值.
    提升训练
    1.(24-25高一上·上海·期中)已知,若,则( )
    A.−2B.C.D.
    2.(24-25高一上·江苏·期中)( )
    A.4B.2C.D.
    3.(24-25高三上·福建宁德·期中)某一物质在特殊环境下的温度变化满足:(为时间,单位为为特殊环境温度,为该物质在特殊环境下的初始温度,为该物质在特殊环境下冷却后的温度),假设一开始该物质初始温度为100℃,特殊环境温度是20℃,则经过15min,该物质的温度最接近(参考数据:)( )
    A.54℃B.52℃C.50℃D.48℃
    4.(24-25高三上·江苏常州·期中)已知函数(,且).,使得成立,则实数a的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    5.(辽宁省名校联合体2024-2025学年高三上学期期中检测数学试题)函数是奇函数,则的取值集合为( )
    A.B.C.D.
    6.(24-25高一上·福建厦门·期中)已知, 则( )
    A. B.
    C.D.
    7.(24-25高一上·河北保定·阶段练习)已知函数的值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    8.(24-25高三上·湖南长沙·阶段练习)已知函数的图象关于原点对称,且满足,且当时,,若,则等于( )
    A.B.C.D.
    二、多选题
    9.(24-25高三上·四川达州·开学考试)已知命题“”为真命题,则实数的值可以是( )
    A.2B.0C.D.
    10.(24-25高三上·河南三门峡·期中)在实际应用中,通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为,下表为不同玻璃材料的透光率:
    设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    三、填空题
    11.(24-25高三上·青海西宁·阶段练习)已知函数在区间1,2上单调递增,则实数的取值范围是
    12.(2024高三·全国·专题练习)已知函数,,若,使得成立,则实数的取值范围为 .
    四、解答题
    13.(24-25高一上·浙江宁波·期中)已知函数,,过定点.
    (1)若,求函数的定义域;
    (2)若不等式在上恒成立,求的取值范围.
    14.(2024高三·全国·专题练习)已知.
    (1)求的解析式;
    (2)函数,若对任意,总存在,使成立,求a的取值范围.
    15.(24-25高三上·江苏·阶段练习)已知函数
    (1)若在区间上的最大值是,求实数a的值;
    (2)若函数的值域为,求不等式的实数t的取值范围.
    16.(23-24高一上·江苏盐城·阶段练习)设函数的定义域为,若函数满足条件:存在,使在上的值域为(其中),则称为区间上的“倍缩函数”.
    (1)若存在,使函数为上的“倍缩函数”,求实数的取值范围;
    (2)给定常数,以及关于的函数,是否存在实数,使为区间上的“1倍缩函数”.若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.底数
    图象
    性质
    定义域
    值域
    单调性
    增函数
    减函数
    玻璃材料
    材料1
    材料2
    材料3
    0.7
    0.8
    0.9

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