山东省德州市宁津县第四实验中学2024—2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省德州市宁津县第四实验中学2024—2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（48分）
1. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）．
A. 1B. C. ±1D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：依题意可得m-1≠0，
解得m=-1
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2. 把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A. 1，-3，10B. 1，7，-10C. 1，-5，12D. 1， 3，2
【答案】A
【解析】
【分析】方程整理为一般形式，找出各项系数和常数项即可．
【详解】方程整理得：x2−3x+10=0，
则a=1，b=−3，c=10.
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式.
3. 将一元二次方程x2＋4x＋2＝0配方后可得到方程（ ）
A. （x﹣2）2＝2B. （x＋2）2＝2C. （x﹣2）2＝6D. （x＋2）2＝6
【答案】B
【解析】
【分析】首项为1的一元二次方程配方法的公式为．
【详解】原式x2＋4x＋2＝0
配方得=0
化为完全平方式得
化简得
移项得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程配方法，一元二次方程配方法步骤如下（1）化二次项系数为1. 当二次项系数不是1时，可提取二次项系数，但不能像解方程那样，除以二次项系数（因为二次三项式配方是恒等变形，而配方法解一元二次方程是同解变形）；（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此二次三项式的值不变，故在加的同时，还要减去一次项系数一半的平方；（3）配方后将原二次三项式化为的形式．
4. ，，三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出的大小关系．
【详解】解：二次函数的图像开口向下，对称轴为，
∴关于对称轴的对称点为，
∵在对称轴左侧，随的增大而增大，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了比较函数值的大小，解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图像上距离对称轴越远的点，函数值越大．
5. 已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3=0，那么x2＋3x的值为( )
A. 1B. －3或1C. 3D. －1或3
【答案】A
【解析】
【详解】令t=x2+3x，则原方程可化为t2+2t-3=0.
分解因式得，（t+3）（t-1）=0.解得t1=-3，t2=1.
当x2+3x=-3时，△＜0，无解；
当x2+3x=1时，△＞0，有解.故选A.
点睛：利用换元法解一元二次方程形式的高次方程，应该要注意换元时未知数对应的取值范围，避免出现不符合条件的根.
6. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A. 0＜x＜0.5B. 0.5＜x＜1
C. 1＜x＜1.5D. 1.5＜x＜2
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
7. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，
当a＜0时，
二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴，
一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，
二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴，
一次函数经过一、二、三象限．
符合条件的只有选项C，
故选：C．
8. 生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设每个支干分出个小分支，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
故选：．
9. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( )
A. -1或3B. -1C. 3D. -3或1
【答案】C
【解析】
【分析】由图像经过原点可知m2-2m-3=0，同时注意m＋1≠0.
【详解】解：由图像过原点可得，m2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m＋1≠0，即m≠-1，故m=3.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m＋1≠0.
10. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（ ）
A. 不存在实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是D. 有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】直接把已知数据代入进而得出 的值，再解方程求出答案．
【详解】解：∵小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是，
∴，
解得：，
故原方程中，
∴原方程为，
则，
则原方程的根的情况是不存在实数根，
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键．
11. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m）
∴，b=-2a
∵a＜0
∴b＞0
∵抛物线与y轴的交点在正半轴
∴c＞0
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1）
∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下
∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0
∴at2+bt-（a+b）
= at2-2at-a+2a
= at2-2at+a
=a（t2-2t+1）
= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故答案为C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（ ）
A. 3sB. 3s或5sC. 4sD. 5s
【答案】A
【解析】
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使四边形APQC的面积为9cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，
则BP为（8-t）cm，BQ为2t cm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8-t）×2t=9，
解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．
故答案选：A
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
二、填空题（24分）
13. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________．
【答案】（-1，-3）
【解析】
【分析】将抛物线的一般式转化为顶点式，再根据顶点式即可求出结论．
【详解】解：y＝2x2＋4x－1=2（x＋1）2－3
∴抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是（-1，-3）
故答案：（-1，-3）．
【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握将抛物线的一般式转化为顶点式是解决此题的关键．
14. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
【答案】-1或2或1
【解析】
【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得．
【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，
解得：a1=-1，a2=2，
当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为：-1或2或1
15. 已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程有两个相等的实数根，则△ABC是 _______ 三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】根据方程有两个相等实数根，即可得到Δ=b2－4ac=0即（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，然后利用勾股定理的逆定理判定即可.
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=0，
∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，
所以△ABC是直角三角形.
故答案为：直角
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
16. 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．
【答案】20．
【解析】
【详解】求停止前滑行多远相当于求s的最大值.
则变形s=-5(t-2)2+20，
所以当t=2时，汽车停下来，滑行了20m.
17. 如图，一个长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是，容积是的无盖长方体容器，那么这块铁皮的长为_________，宽为_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，明白题意，找到等量关系并列出方程是关键．设铁皮的宽为，则长是，长方体的长为，宽为，根据容积列方程，求解即可．
【详解】解：设铁皮的宽为，则长是，长方体的长为，宽为，由题意得：，
整理：，
解得：（舍去），，
所以．
即这块铁皮的长为，宽为．
18. 若函数，当时的最大值是，最小值是，则____．
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M-m的值．
【详解】解：原式可化为y=（x-3）2-4，
可知函数顶点坐标为（3，-4），
当y=0时，x2-6x+5=0，
即（x-1）（x-5）=0，
解得x1=1，x2=5．
如图：m=-4，
当x=6时，y=36-36+5=5，即M=5．
则M-m=5-（-4）=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，找到x的取值范围，画出函数图象，根据图象找到m的值和M的值．
三、解答题（78分）
19. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1），；
（2）方程没有实数根 （3），.
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，根的判别式，根据题目系数特点，灵活选择解法，理解一元二次方程根的判别式是解答关键．
（1）先整理，用因式分解法比较简便；
（2）先求出判别式来判别方程根的情况，若有根再用公式法求解；
（3）把看作一个整体，运用因式分解法比较简便．
【小问1详解】
解：移项变形得
，
，
，
，
，；
【小问2详解】
解：移项变形得
，
这里，，，
，
此方程没有实数解；
【小问3详解】
解：由原方程分解因式得
，
，，
，．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
当方程有实数根时，实数的取值范围为；
【小问2详解】
解：方程两实数根分别为，，
，．
，
，
，
整理，得：，
解得：，．
，
实数的值为1．
21. 如图，已知二次函数的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象与轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线，并写出当在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
【答案】（1）二次函数的解析式为
（2）点D的坐标为（-1，0）
（3）x的取值范围为了-1