2024~2025学年山东省烟台市莱州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年山东省烟台市莱州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在中， ，， ，则下列三角函数值正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴为直角三角形
在中，，，
∴，
A．，故选项计算错误，不符合题意；
B．，故选项计算错误，不符合题意；
C．，故选项计算正确，符合题意；
D．，故选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：抛物线的顶点坐标是（0，0），先向左平移1个单位，再向下平移3个单位是，则对应的二次函数关系式是，
故选C.
3. 如图，梯子地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ）
A. 的值越小，梯子越陡
B. 的值越小，梯子越陡
C. 梯子的长度决定倾斜程度
D. 梯子倾斜程度与的函数值无关
【答案】B
【解析】解：A选项，sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，故错误；
B选项，csA的值越小，∠A就越大，梯子越陡，故正确；
C选项，梯子的长度不能决定倾斜程度，故错误；
D选项，梯子倾斜程度与的函数值有关，故错误；
故选：B．
4. 二次函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由二次函数可得：开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
故选C．
5. 如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，作CD⊥AB于D点，
由题意可得，，，，
∴，，
在Rt△ADC中，，
∴，
故选：D．
6. 已知二次函数，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：
∴图象的开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
故选：B．
7. 已知关于的方程的两个根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】解：，，
，，
，，
，
令，，
，
轴，
∴轴，
点的纵坐标为，
把代入，
得，
解得，，
，
；
解法2：由题可知与轴交于点，，
对称轴为直线，
点在轴上，则到对称轴的距离为1，
、关于直线对称轴，则；
故选：A．
8. 某游乐场一个不等臂跷跷板AB长 5.6 米，支撑柱 OH 垂直地面，如图 1，当 AB的一端A着地时，AB与地面的夹角的正切值为；如图2，当AB 的另一端 B 着地时，AB 与地面夹角的正弦值为，则支撑柱 OH的长为（ ）
A. 0.4 米B. 0.8 米C. 米D. 1.2 米
【答案】D
【解析】解：在Rt△AOH中，tanA=，
设OH=3x，AH=4x，
∴OA==5x，
∴OH=OA，
sinB=，
∴OB=3OH，
∵AB=5.6米，
∴OH+3OH=5.6，
解得：OH=1.2（米），
故选：D．
9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由，解得或，
∴一次函数与二次函数的交点为，，
A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，由一次函数与二次函数可知，两图象交于点，则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
10. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】解：①∵抛物线开口向上，
∴a>0
二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，
，且，
，，
，
于是①的结论正确；
②点关于直线的对称点为，
当，则或，
于是②错误；
③当时，，
当，则，
于是③错误；
④方程有两个实数根和，且，
抛物线与直线交点的坐标，和，，
抛物线时，或3，
即抛物线与轴的两个交点坐标分别为和，
，
于是④正确．
综上，正确的有①④，共两个．
故选：B．
二、填空题（本题共6个小题）
11. 若二次函数的图象经过原点，则m＝__________．
【答案】2
【解析】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案：2．
12. 如图，已知直线分别与轴和轴相交于点和点，且直线的解析式为，于点，与轴正半轴的夹角为，则等于______．
【答案】
【解析】解：直线的解析式为，
∴当x=0，；当，x=1，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
13. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是_______．
【答案】或
【解析】解：点M在抛物线上时，将代入得，
时，抛物线开口变小，符合题意，
点N在抛物线上时，将代入得，
解得，
时，抛物线开口变大，符合题意．
结合a>0，可知a的取值范围是或
故答案为：或．
14. 如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为_____．
【答案】8米
【解析】解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，
则BF＝CG，
在Rt△CDG中, i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，
设CG＝4x米，则DG＝3x米，
由勾股定理得：，
解得：（舍），
∴CG＝8（米），DG＝6（米），
∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，
故答案为：8米．
15. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,
∴MC=7
又∠MPC=60°
∴MH=MCsin60°=
故答案为：
16. 某电商以每件40元的价格购进某款T侐，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T侐在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T侐的定价为______元．
【答案】52
【解析】解：设销售单价为x元，获利为w元，则降价元，每件的盈利元，每天可售出件，根据题意，得．
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，且距离对称轴远的函数值越小，
∵按照物价部门规定销售利润率不高于，即售价不能超过元，
∴，
∴当时，w取得最大值，
故答案为：52．
三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
.
18. 如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cs C＝，AC＝.求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．

解：（1）如图，作AE⊥BC，

∴CE=AC•csC=1，∴AE=CE=1，，
∴BE=3AE=3，∴BC=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，
∴∠ADC=45°，∴．
19. 如图，已知二次函数的图象经过原点，．

（1）写出该函数图象的对称轴，并写出该函数的解析式；
（2）若将线段绕点逆时针旋转到，试判断点是否为该函数图象的顶点?
解：（1）∵二次函数图象经过原点，．
∴对称轴为直线，
将点代入抛物线，
即，
解得：，
∴解析式为；
（2）点是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作轴于点，

线段绕点逆时针旋转60°到，
，，
在中，，
=1，
，
点的坐标为，
点为抛物线的顶点，
20. 在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
（1）货船从A港口航行到B港口需要多少时间；
（2）为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
解：（1）由已知得：，
（海里），
（小时），
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
（2）答：这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作交于D，
在上取两点M，N使得（海里）
∵，
∴（海里），
∴（海里），
∵且，
∴（海里），
∴（小时）
∵，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
21. 如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点，所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度．
请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
（1）请以点为坐标原点，线段所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
（2）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
解：（1）平面直角坐标系如图．
∵，
∴．
由题意得，，，
∴．
∵图象必过原点A，
∴设抛物线的函数表达式为：，
把，分别代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：．
（2）由题意，相邻两栏杆的间距是：．
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第根，
由题意，得：．
∴．
∴第7根与第8根涂色部分的高度差为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间．
由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根．
22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
实践报告
请你帮助兴趣小组解决以上问题．
（参考数据：，，，）
解：过作交于，
由测量步骤可得：
四边形、四边形、
四边形、四边形均是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
中，
；
故两幢楼楼顶B，D之间的距离为米．
23. 如图（1），在矩形中，，，点是边上一点，连接，过点作的垂线，分别交，于点，．设的长度为，的长度为，的长度为．
小东同学根据学习函数的经验对，随的变化规律进行了探究．
下面是小东同学的探究过程，请补充完整．
（1）求关于的函数解析式；
（2）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了的几组对应值；
通过计算可知，表格中的值为______；（结果保留根号）
（3）在如图（2）所示的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象．请根据（2）中表格里的数据描点、连线，在同一坐标系中，画出与的函数图象；
（4）结合函数图象解决问题：当时，______cm．
解：（1）∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）当时，点P在的中点，则．
∵，
∴和均为腰长为的等腰直角三角形，
∴．
在中，过点E作于点H，如图
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴．
设，则，，
∴，
解得：，
∴，即的值为；
（3）根据（2）中表格里数据描点、连线，画出与之间的函数关系图如图3，

（4）根据图象可得，当时，即两个函数图象相交时，
∴或或，
∴或或．
24. 如图，已知抛物线与轴交于点A-2,0，B4,0，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）点是直线上的一动点，交抛物线于，当点是线段的中点时，求出点的坐标；
（3）设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线与轴交于点A-2,0，B4,0，
∴设抛物线解析式为．
把代入，，
解得，
∴，顶点；
（2）设直线的解析式为y=kx+bk≠0，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵B4,0，
∴点的坐标为，
将代入得，
∴，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为
∴，，
∴点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
（3）存在．
由题意得A-2,0，B4,0
假设满足条件的点存在，
依题意设点．
把代入，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
设的垂直平分线交于，
则，．
则，点到的距离为．
又．
∴．
∴，
∴．
∴存在满足条件的点，的坐标为．活动课题
测量两幢楼楼顶之间的距离
活动工具
测角仪、皮尺等
测量过程
【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端M与楼的底部A，C在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内；
【步骤二】利用测角仪测出楼顶B的仰角，楼顶D的仰角；
【步骤三】利用皮尺测出米，米．
解决问题
根据以上数据计算两幢楼楼顶B，D之间的距离．
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
0
1.5
2.2
2.5
2.6
2.4
2
1.6
1.3
0.9
0