2024~2025学年山东省烟台市招远市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年山东省烟台市招远市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数是反比例函数，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】C
【解析】∵函数是反比例函数，
∴，
解得，
故选C．
2. 已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ）
A. 25B. －5C. 5D. 10
【答案】A
【解析】解：∵抛物线解析式为
，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
∴，
故选：A．
3. 利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：

故选：A．
4. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力和动力臂之间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和，
∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为，
则，是反比例函数，
又∵动力臂，
故选：B．
5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 其图象的顶点坐标为B. 函数的最小值为2
C. 当时，的值为22D. 其图象的对称轴为直线
【答案】D
【解析】解：关于，
，则抛物线开口向下，其图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
最大值为，
当时，，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
6. 在 Rt 中，，如果，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图所示：
∠A＝α，AC＝1，
csα＝，
故AB＝．
故选：D
7. 已知二次函数和一次函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵原图的二次函数的开口向上，
∴中的，
∵原图的一次函数经过第一、二、三象限，
∴一次函数中的，
则函数的开口向上，
∵，
∴，
∴函数与轴交于负半轴，
∵，，
∴，即函数的对称轴在轴的负半轴，
∴符合上述条件是C选项，
故选：C．
8. 如图，延长等腰直角的斜边到，使，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】解：过点作DE垂直于CB的延长线于点，如下图，
∵等腰直角的斜边为，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边上的点，且，与另一直角边交于点，若，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：过点作轴，垂足为，
∵，
∴，
由题意可知，，
，
，
，
∴，，，
中为底时与中为底时等高，
，
双曲线的解析式为，即，
，
，，
，
由，
得：，
解得：，
故选：D．
10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①②；③；④（其中）；⑤若Ax1,y1和Bx2,y2均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
②∵函数图象与x轴有两个交点，
∴，故②不正确；
③∵该函数图象经过点，对称轴为直线，
∴该函数与x轴另一个交点坐标为，，
∴，
∴当时，，故③正确；
④∵对称轴为直线，函数开口向下，
∴当时，y有最大值，
把代入得：，
把代入得：，
∵，
∴，则，故④正确；
⑤∵函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵对称轴为直线，，
∴，故⑤不正确，
综上：正确的有①③④．
故选：B．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 将反比例函数写成的形式，则的值为_____．
【答案】
【解析】解：∵反比例函数，
∴；
故答案为：．
12. 把抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】解：把抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的新抛物线解析式为，
故答案为：．
13. 如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为_____．
【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
对角线平分．，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于的方程的一个解为，那么该方程的另一个解为______．
【答案】
【解析】解：∵关于的方程的一个解为，
∴当时，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
即的另一个解为，
故答案为．
15. 如图，反比例函数的图象与的两边、分别交于点、，已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为的中点，则的值为___________．

【答案】12
【解析】解：过点F作轴于点D，过点B作轴于点G，

∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
又∵F为的中点，，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：12．
16. “十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为_____米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】解：延长交于F，则，作于H，
∵坡度为的斜坡，
∴设，则，
∴，即，
解得，
∴，，
在中，，
则，
在中，，
∴，
由题意得，，
解得，，
则，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）.
解：（1）
；
（2）
．
18. 如图，在中，，为上的一点，，，求，，的值．
解：中，，，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
19. 已知二次函数．
（1）画出函数的图象；
①把下表补充完整：
②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象．
（2）根据所画的图象直接写出当时，的取值范围．
解：（1）①表格补充如下：
画出图象如下图：
；
（2）由图象可知：
当时，则或x>0，
故答案为：或x>0．
20. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的重要依据，在一条限速的公路上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲车的刹车距离为，乙车的刹车距离超过，但小于，根据两车车型查阅资料可知：甲车的车速与刹车距离之间有关系：；乙车的车速与刹车距离之间则有关系：．请从两车的速度方面分析相撞是因为谁超速了．
解：∵乙车的刹车距离超过，但小于，
∵
∴乙车的速度大于，小于，
∵公路限速，
∴.乙车超速；
∵甲车的刹车距离为，
解得，或（舍去）
∵，
∴甲车未超速；
∴由于乙车超速行驶，导致两车相撞．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．
（1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式；
（2）若将向下平移个单位长度，、两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值．
解：（1）过作于，过作轴于，延长AD交轴于点，
∵，且，
，，
，
∵，
∴
∴轴
∵点的坐标为．
∴，
∵轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，，
反比例函数的解析式为；
（2）∵，，轴，
∴点，
∵点的坐标为
∴将向下平移个单位长度，，
∵平移后两点同时落在反比例函数图象上，
，
．
22. 为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，）
解：过点作，垂足为．
由题意得，，，
在中，．
在中，．
∵，
∴，
∴．
答：新生物处到皮肤的距离约为．
23. 某市拥有丰富的旅游资源，在一景区研发一款纪念品，每件成本为元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如上表所示：
（1）当销售单价为50元时，每天销售的数量为_____件；
（2）直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
解：（1）由表格可知，销售单价每增加元，销售数量就减少件，
∴当销售单价为50元时，每天销售的数量为件，
故答案为：；
（2）设与的函数关系式为，
∵销售单价不低于成本且不高于元，
∴，
根据表格可得：，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（3）设每天所获利润为元，
根据题意有：，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
24. 阅读下面材料．
小明遇到这样一个问题：
如图，在四边形中，，，，，求的长．
小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题：
（1）请直接写出的长为_______；
（2）请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长．
解：（1）如图，延长AB与相交于点，

∵，，
∴．，
∴，
∴=7．
在中，
∵，，，
∴．
故答案为：；
（2）如图，过点作于，交CD于，过作于顶，
∵，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）如图，延长AB与相交于点．
∵，
∴，
∴，．
设，则，，．
在中，．
∵，
∴，即，
∴．
经检验是所列方程的解，且符合题意，
∴，，，
∴．
25. 如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，（点在点B左侧），连接，过点作交抛物线于D．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）若点为抛物线对称轴上一动点，连接、、．请直接写出周长的最小值及此时点的坐标；
（3）若点为直线上方的抛物线上一个动点，点为直线上一动点，连、、、，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
解：（1）∵抛物线的图象经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
解方程，
得，，
∴，B4,0；
（2）由抛物线可得，对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
∵如图，关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与对称轴的交点即为点，此时，
∴最小，
∴的周长为最小，
∵直线的解析式为，当时，，
的坐标为，
∵，
∴的周长最小为；
（3）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，
设点的坐标为，则，其中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为9，此时．x
…
0
1
…
y
…
…
…
0
1
…
…
0
0
…
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图


说明
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据
，，
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（元/件）
…
90
75
60
…