2023~2024学年四川省成都市东部新区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年四川省成都市东部新区九年级(上)期末数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A．
2. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
设 则

故选：
3. 把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴

∴方程的一般形式为：
故选A．
4. 两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵两个相似多边形的面积之比为，
∴相似比是，
又∵相似多角形对应高比等于相似比，
∴对应边上高的比为．
故选：A．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 四个角相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 四条边相等的四边形是正方形
【答案】A
【解析】A、四个角相等的四边形是矩形，故原说法正确，该选项符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，该选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，该选项不符合题意；
D、四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形，四条边相等的四边形是菱形，故原说法错误，该选项不符合题意．
故选：A．
6. 如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则AE的长度为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
又∵AD=3，AC=6，DB=5，
∴AB=AD+DB=8，
∴AE=8×3÷6=4．
故选D．
7. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（ ）
A. 2500(1＋x)2＝9100B. 2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100
C. 2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100D. 9100(1＋x)2＝2500
【答案】B
【解析】设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]=9100，
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，BA⊥y轴于点B，反比例函数y=（x＞0）的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为( )
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】连结OC，如图， ∵AB⊥y轴于点B，C是线段AB的中点，
∴S△AOB=2S△BOC，
△OAB的面积为3，
∴S△BOC= ，
∴|k|=3，而k＞0，
∴k=3．
故选D．
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9. 一元二次方程的根是_______．
【答案】
【解析】，
，
，
解得：，
故答案为：．
10. 在反比例函数的图象每一条分支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是________．
【答案】k＜1
【解析】由题意可知：k-1＜0，∴k＜1.
11. 在一个不透明的盒子中装有16个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数为______．
【答案】8
【解析】设黄球的个数为个，根据题意得：，解得：．
∴黄球的个数为8．
12. 如图，在直角坐标系中，ΔABC与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________．
【答案】
【解析】连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心，
∴M点坐标为．
13. 边长为4的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为，则CE的长为 _____ ．
【答案】1或3
【解析】四边形为正方形，
，
．
，
，
，
，
，
，即，
或．
14. 已知方程的两个根分别为，则的值为 _____．
【答案】5
【解析】根据根与系数的关系得，
所以．
15. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 _____．
【答案】
【解析】如图，
根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
设每个小三角形的面积为，则阴影的面积为，正六边形的面积为，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．
16. 定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则___________．
【答案】或
【解析】根据题意，得，
整理得，
解得．
经检验，是原方程的根，
故答案为：或．
17. 如图，已知点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，，在y轴的两侧，，，若与的距离为7，则的值是___________．
【答案】
【解析】轴，，
，整理得，
，
，整理得，
与的距离为7，
，
，
，
．
18. 如图，在菱形中，，对角线、交于点，，，点是直线上一动点，连接，以、为邻边作，其对角线与交于点，点的运动过程中，的对角线的最小值是___________．
【答案】4
【解析】设，，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴中，，
即，
整理可得，
解得或，
当时，可得，（舍去），
此时，不合题意，舍去；
当时，可得，（舍去），
此时，符合题意，
∴；
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴点在过点，且平行于的直线上，
∴当时，此时取最小值，
如下图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴的对角线的最小值是4．
三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
解：（1）；
（2），
，
，
或，
或．
20. 为全面落实作息令，某市教育局对在校集中学习时间（不含课外活动）作了明确的要求，为了解某小学学生在校集中学习时长（不含课外活动）情况，某部门针对某校学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“4小时以内”，B表示“4-5小时以内”，C表示“56小时分钟以内完成”，D表示“6-7小时以内”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）这次调查的总人数是___________人；扇形统计图中，B类扇形的百分比是___________；C类扇形所占的圆心角是___________．
（2）请你补全条形统计图；
（3）在D类学生中，有3名男生和1名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
解：（1）调查的总人数是：人，
B类扇形的百分比是：，
C类扇形所占的圆心角是：；
（2）C类的人数：人
（3）
共有12种等可能得情况，1名男生和1名女生的共有6种，
所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率，．
21. 【项目式学习】制作“”形视力表，
【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
（1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力．
（2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中AB是①号“”字的高度，CD是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同．
问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度AB为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度CD应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上）
解：问题1：由题可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同.
问题2：由（1）可得
，
∵，
∴，
∴，
答：②号“”的高度CD应为.
22. 如图1，在矩形纸片中，，折叠纸片使点B落在上的点E处，折痕为，过点E作交于点．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如图2，若时，则的长是多少？
解：（1）由折叠可得，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）如图
，
∴，
在中，由勾股定理可得，
，
作，
，
设，
，
由折叠可得，
，
在中，由勾股定理可得，
，
解得： ，
，
，
．
23. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴，轴分别交于点，．
（1）求的值及反比例函数的解析式；
（2）将线段AB沿轴向右平移得到，当点在反比例函数图象上时，求四边形的面积．
（3）点是点关于原点的对称点，以为边长作等边，点是平面上一点，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
解：（1）将代入 可得，
，则
将代入 可得，
反比例函数表达式为
（2）由 ，当；当，
∴，，
由平移可得四边形是平行四边形，
设将代入 = 中，
得 ，
，则 向右平移4个单位得到，
将向右平移4个单位得到，
.
（3）∵是关于原点对称点，
∴，
设,，
由等边可得，
解得：或，
∴，.
①当时，
Ⅰ、以与对角线，
∴，
解得：.
∴.
Ⅱ、以与为对角线，同理可得，.
Ⅲ、以与为对角线，同理可得，.
②当时，
同理可得，，，
综上所述：，，，
，，．
24. 某校准备用32米长的围栏修建一边靠墙的矩形菜地，已知墙体的最大可用长度为16米，在与墙平行的一边，要留一扇2米宽的门，设的长为x米，矩形菜地的面积为y平方米．
（1）请用含有x的代数式表示y，并写出自变量x的取值范围；
（2）如果该矩形菜地的面积为平方米，则的长．
解：（1）由题可得：，
化简可得：，
根据题意有：，
解得： ，
即：，；
（2）当时，可得，
解得（舍去），，
答：的长为10米．
25. 如图1，在矩形中，与BD相交于点O，，过点O做，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a，O对应，E对应．连接，．
（1）问题发现：当时，__________，___________，__________；
（2）拓展探究：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；
（3）问题解决：当旋转至B，，三点共线时，请计算线段的长．
（1）解：如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，∴，∴.
（2）证明：连接，如图所示：
∵，∴，
由旋转可得：，∴，
∴ , ，
∴ = , ，∴，
∴ ，∴ .
（3）解：当旋转至B，，三点共线时，存在两种情况:
如图所示，
在中，由勾股定理可得，
由（2）中= 可得=.
②如图所示，
同理可得：=，
综上所述，.
26. 【实践探究】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，正比例函数分别与反比例函数、交于点A、点B，求的值．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，正比例函数分别与反比例函数、交于点A、点B，求的值．
【拓展应用】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A、点B，连结、，延长、分别与反比例函数交于点D、C，连结，求．
解：（1）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
轴，轴，
∴，
∴，
∴ ，
点在上，点在上，
，，
∴，
∴.．
（2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
轴于点，轴于点，
∴，
∴，
，
点在上，点在上，
，，
∴，∴．
(3)由 得，或，∴，，
如图，设 与、轴分别交于点、，
由得，，，
∴
，
由(2)得， ，
∵，
∴，.
∴ ，
∴，
∴．