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2021-2022学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1
2．（3分）一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
4．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．4x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x+4＝0 D．2x2+5x＝﹣2
5．（3分）下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD•AC
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
7．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
9．（3分）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则＝ ．
12．（4分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
13．（4分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值 ．
14．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣15＝0；
（2）解方程：（x+3）2＝2x+6．
16．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
17．（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
18．（8分）2021年6月，天府国际机场正式通航．天府国际机场是4F级国际机场、国际航空枢纽、丝绸之路经济带中等级最高的航空港之一、成都国际航空枢纽的主枢纽．目前，市民出行到天府国际机场，通常可以选择地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行方式，小明通过调查统计附近居民的出行方式绘制了如下两幅不完整统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的市民有 人；
（2）求出m的值，并补全条形统计图；
（3）小明和小亮分别乘坐交通工具去往天府国际机场，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选到同一种交通工具的概率．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点A（2，5），B（﹣5，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集．
20．（10分）如图，点E是菱形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE，点F在边BC上，连接EF．
（1）求证：EB＝ED；
（2）若∠DEF＝∠ABC＝120°；
①求证：ED＝EF；
②试探究CF+CD与CE的关系，并说明理由．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）反比例函数y＝的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大，那么k的取值范围是 ．
22．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣4x1x2+x22的值为 ．
23．（4分）方程x2﹣bx+c＝0中，系数b、c可以在1、2、3、4中任取一值（b、c可以取相同的值），则b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是 ．
24．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB，AD•AC＝25，则△ABE的面积为 ．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是双曲线y＝（x＞0）上一动点，将线段OM饶O点逆时针旋转45°并延长，使OM'＝OM，已知点N的坐标为（1，1），当∠M′NO＝90°时，M的坐标为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？
27．（10分）已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，连接AF，G是线段AF上一点，连接BG，DG．
（1）如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；
①求∠FAD的度数；
②求证：BG⊥DG；
（2）如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．
2021-2022学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．
【解答】解：A、x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2﹣2＝0，是一元二次方程，符合题意；
C、x＝2x3﹣3，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；
D、3x+＝1，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别对每一项进行判断即可．
【解答】A、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
B、圆柱体的主视图是长方形，故此选项错误；
C、立方体的主视图是长方形，故此选项错误；
D、三棱柱的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：A．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：正方形是中心对称图形，也是轴对称，A错误；
矩形是中心对称图形，也是轴对称，B错误；
菱形是中心对称图形，也是轴对称，C错误；
平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，D正确，
故选：D．
4．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．4x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x+4＝0 D．2x2+5x＝﹣2
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断即可得到答案．
【解答】解：A．x2﹣2x＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根；
B．4x2﹣4x+3＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根；
C．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝，方程有两个相等的实数根；
D．2x2+5x＝﹣2可化为2x2+5x+2＝0，Δ＝52﹣4×2×5＝﹣15＜0，方程没有实数根．
故选：C．
5．（3分）下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD•AC
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.3，
解得x＝15，则白球可能有50﹣15＝35个．
故选：D．
7．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝＝4（cm）．
故选：B．
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故选：D．
9．（3分）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（，y3）所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）在第二象限，而C（，y3）在第四象限，
∴0＜y2＜y1，y3＜0，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用正方形的周长为8，求出BC，再利用正方形的性质得出O是BD中点，OH是△BCD的中位线，得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的周长为8，
∴BC＝2，
又∵O是正方形对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∵H是CD边的中点，
∴OH是△DBC的中位线，
∴OH＝BC＝1．
故选：D．
二、填空（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案为．
12．（4分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为 1：3 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
故答案为：1：3．
13．（4分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得到关于P的一元一次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得4+2p﹣2＝0，解得p＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 4 cm．
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB•OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣15＝0；
（2）解方程：（x+3）2＝2x+6．
【分析】（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
则x﹣5＝0或x+3＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣3；
（2）（x+3）2＝2x+6，
（x+3）2＝2（x+3），
移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
则（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．
16．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
17．（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
【分析】方法一：根据DE和EF的值求出tan∠EDF的值，根据三角函数求出BC即可得出AB的长；
方法二：证△DCB∽△DEF，根据线段比例关系求出BC，然后求出AB长即可．
【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，
∴tan∠EDF＝＝＝，
在Rt△BCD中，CD＝6m，
∵tan∠BDC＝tan∠EDF，
∴＝，
∴BC＝3.6m，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m；
方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，
∴△DCB∽△DEF，
∴，
∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，
∴＝，
解得：BC＝3.6，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m．
18．（8分）2021年6月，天府国际机场正式通航．天府国际机场是4F级国际机场、国际航空枢纽、丝绸之路经济带中等级最高的航空港之一、成都国际航空枢纽的主枢纽．目前，市民出行到天府国际机场，通常可以选择地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行方式，小明通过调查统计附近居民的出行方式绘制了如下两幅不完整统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的市民有 80 人；
（2）求出m的值，并补全条形统计图；
（3）小明和小亮分别乘坐交通工具去往天府国际机场，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选到同一种交通工具的概率．
【分析】（1）由选择专线大巴交通工具出行方式的人数除以所占百分比即可；
（2）求出选择地铁交通工具出行方式的人数所占的百分比得出m的值，再求出选择自驾交通工具出行方式的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次被调查的市民有：12÷15%＝80（人），
故答案为：80；
（2）∵m%＝48÷80×100%＝60%，
∴m＝60，
∵选择出租车交通工具出行方式的人数为：80×10%＝8（人），
∴选择自驾交通工具出行方式的人数为：80﹣48﹣12﹣8＝12（人），
补全条形统计图如下：
（3）把地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行方式分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的结果有4种，
∴小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的概率为＝．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点A（2，5），B（﹣5，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集．
【分析】（1）通过待定系数法求解即可．
（2）设直线AB交y轴于C，求得C的坐标，然后由S△OAB＝S△BOC+S△AOC求解．
（3）通过观察图象中直线不在曲线上方的x的取值范围求解．
【解答】解：（1）把A（2，5）代入y2＝（m＞0）得5＝，
解得m＝10，
∴反比例函数y2＝，
把B（﹣5，n）代入y2＝得，n＝＝﹣2，
∴B（﹣5，﹣2），
∵一次函数y1＝kx+b的图象过点A（2，5），B（﹣5，﹣2）．
∴，解得，
∴一次函数y1＝x+3；
（2）设直线AB交y轴于C，
在y＝+3中令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∴S△OAB＝S△BOC+S△AOC＝＝；
（3）由图象可知：关于x的不等式kx+b≤的解集是x≤﹣5或0＜x≤2．
20．（10分）如图，点E是菱形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE，点F在边BC上，连接EF．
（1）求证：EB＝ED；
（2）若∠DEF＝∠ABC＝120°；
①求证：ED＝EF；
②试探究CF+CD与CE的关系，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ECB≌△ECD，可得BE＝DE；
（2）①由全等三角形的性质可得DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，由四边形内角和定理可得∠EFB＝∠EBC，可证BE＝EF＝DE；
②由“SAS”可证△EDM≌△EFC，可得∠M＝∠ECF，由直角三角形的性质可得CM＝CE，可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD，
在△ECB和△ECD中，
，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴EB＝ED；
（2）①证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ACD＝60°，
∵△ECB≌△ECD，
∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，
∵∠DCB+∠DEF+∠CDE+∠EFC＝360°，
∴∠CDE+∠CFE＝180°，
∵∠CFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠CDE，
∴∠EFB＝∠EBC，
∴BE＝EF，
∴EF＝DE；
②CF+CD＝CE，理由如下：
延长CD至M，使DM＝CF，过点E作EN⊥CD，连接EM，
∵∠MDE+∠EDC＝180°，∠EDC+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝∠MDE，
在△EDM和△EFC中，
，
∴△EDM≌△EFC（SAS），
∴∠M＝∠ECF，
∵∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝∠ACD＝∠BCD＝30°，
∴∠M＝∠ACD＝30°，
∴CN＝EC，CM＝2CN，
∴CM＝CE，
∵CF+CD＝DM+CD＝CM，
∴CF+CD＝CE．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）反比例函数y＝的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大，那么k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】先根据反比例函数的性质得出1﹣k＜0，再解不等式求出k的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，
k＞1．
故答案为k＞1．
22．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣4x1x2+x22的值为 15 ．
【分析】由根与系数的关系可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12﹣x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣3x1x2进一步代值求解．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，
∴x12﹣4x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣6x1•x2＝32﹣6×（﹣1）＝15．
故答案为：15．
23．（4分）方程x2﹣bx+c＝0中，系数b、c可以在1、2、3、4中任取一值（b、c可以取相同的值），则b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是 ．
【分析】列表得出Δ＝b2﹣4c的值的所有等可能结果，从中找到使△≥0的结果是，利用概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
4
1
﹣3
0
5
12
2
﹣7
﹣4
1
8
3
﹣11
﹣8
﹣3
4
4
﹣15
﹣12
﹣7
0
由表可知，Δ＝b2﹣4c的值共有16种等可能结果，其中△≥0的有7种结果，
所以b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是，
故答案为：．
24．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB，AD•AC＝25，则△ABE的面积为 ．
【分析】通过证明△ABD∽△ACB，可求AB＝AE＝5，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC＝25，
∴AE＝AB＝5，
∵∠BAC＝30°，BH⊥AC，
∴BH＝，
∴△ABE的面积＝×5×＝，
故答案为．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是双曲线y＝（x＞0）上一动点，将线段OM饶O点逆时针旋转45°并延长，使OM'＝OM，已知点N的坐标为（1，1），当∠M′NO＝90°时，M的坐标为 （，） ．
【分析】如图，连接ON，NM′，过点M作MJ⊥x轴于点J，设NM′交y轴于点T．证明△M′NO∽△MJO，推出＝＝，可得结论．
【解答】解：如图，连接ON，NM′，过点M作MJ⊥x轴于点J，设NM′交y轴于点T．
∵N（1，1），
∴ON＝，∠NOT＝90°，
∵∠MOM′＝45°，
∴∠NOT＝∠M′OM，
∴∠TOM′＝∠NOM，
∵∠NOJ＝∠NOT＝45°，
∴∠NOM′＝∠MOJ，
∵∠ONM′＝∠MJO＝90°，
∴△M′NO∽△MJO，
∴＝＝，
∴OJ＝，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（，）．
故答案为：（，）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？
【分析】（1）结合图像利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（3，70），（9，10）代人得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+100；
（2）由题意得：（x﹣3）y＝120，
即（x﹣3）（﹣10x+100）＝120，
解得：x＝6或x＝7，
∴销售单价应为6元或7元．
27．（10分）已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，连接AF，G是线段AF上一点，连接BG，DG．
（1）如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；
①求∠FAD的度数；
②求证：BG⊥DG；
（2）如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．
【分析】（1）①可求得∠ACD＝∠DAC＝45°，进而求得结果；
②连接GE，根据中位线定理证得EG＝，进而得出EG＝，进一步命题得证；
（2）连接EG，可证得EG＝DE＝BE＝AE，所以点A、G、D、B、C共圆，从而得出∠FGD＝∠ACD，进而证得△FDG∽△FAC，进一步求得结果．
【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACF＝45°，∠ADF＝∠ADC＝90°，
∵CF＝CA，
∴∠FAC＝∠F＝，
∴∠FAD＝∠FAC﹣∠DAC＝67.5°﹣45°＝22.5°；
②证明：如图1，
连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AE＝CE，BE＝DE＝，
∵AC＝CF，
∴CF＝BD，
∵AG＝FG，AE＝CE，
∴EG＝，
∴EG＝，
∴GE＝BE＝DE，
∴∠EGD＝∠EDG，∠EGB＝∠EBG，
∵∠EGD+∠EDG+∠EGB+∠EBG＝180°，
∴∠EGD+∠EGB＝90°，
∴∠BGD＝90°，
∴BG⊥DG；
（3）解：如图2，
连接EG，
∵BG⊥DG，BE＝DE，
∴GE＝BE＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝CE＝，BE＝DE＝，AC＝BD，
∴AE＝CE＝BE＝DE，
∴点A、G、D、C、B在以E为圆心，AE为半径的圆上，
∴∠DGF＝∠ACD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDG∽△FAC，
∴，
∴FD•FC＝FG•FA，
设FD＝x，则AF＝，FC＝x+4，
∵FG＝2AG，
∴FG＝，
∴x•（x+4）＝，
∴x1＝2﹣6，x2＝﹣2﹣6（舍去），
∴FD＝2﹣6．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．
【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n；
（2）表示出PQ的长，根据＝3求得t，进而得出点P的坐标；
（3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），
∴0+b＝﹣2，
∴b＝﹣2，
∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），
∴n＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
∵y＝过点A（3，1），
∴k＝xy＝3×1＝3；
（2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），
∴PQ＝，
∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ＝（xA﹣xB），
∴×3＝3，
∴t＝，
∴P（，）；
（3）如图1，
∵P（t，），Q（t，t﹣2），
∴C（t，），
当BC是边，点D在x轴正半轴上，
作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，
∴∠BFC＝∠G＝90°，
∴∠FBC+∠FCB＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG+∠FCB＝90°，
∴∠FBC＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴CF＝DG，
∵OF＝DG，
∴OF＝CF，
∴，
∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去），
∴P（1，3）
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：BG＝DF＝2，
∴t＝2，
∴P（2，），
当BC是对角线时，
当BC是对角线时，
可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，
∴＝2﹣t，
∴t＝1，
∴P（1，3），
综上所述：P（2，）或（1，3）．
2021-2022学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1
2．（3分）一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
4．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．4x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x+4＝0 D．2x2+5x＝﹣2
5．（3分）下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD•AC
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
7．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
9．（3分）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则＝ ．
12．（4分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
13．（4分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值 ．
14．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 cm．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣15＝0；
（2）解方程：（x+3）2＝2x+6．
16．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
17．（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
18．（8分）2021年6月，天府国际机场正式通航．天府国际机场是4F级国际机场、国际航空枢纽、丝绸之路经济带中等级最高的航空港之一、成都国际航空枢纽的主枢纽．目前，市民出行到天府国际机场，通常可以选择地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行方式，小明通过调查统计附近居民的出行方式绘制了如下两幅不完整统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的市民有 人；
（2）求出m的值，并补全条形统计图；
（3）小明和小亮分别乘坐交通工具去往天府国际机场，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选到同一种交通工具的概率．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点A（2，5），B（﹣5，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集．
20．（10分）如图，点E是菱形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE，点F在边BC上，连接EF．
（1）求证：EB＝ED；
（2）若∠DEF＝∠ABC＝120°；
①求证：ED＝EF；
②试探究CF+CD与CE的关系，并说明理由．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）反比例函数y＝的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大，那么k的取值范围是 ．
22．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣4x1x2+x22的值为 ．
23．（4分）方程x2﹣bx+c＝0中，系数b、c可以在1、2、3、4中任取一值（b、c可以取相同的值），则b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是 ．
24．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB，AD•AC＝25，则△ABE的面积为 ．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是双曲线y＝（x＞0）上一动点，将线段OM饶O点逆时针旋转45°并延长，使OM'＝OM，已知点N的坐标为（1，1），当∠M′NO＝90°时，M的坐标为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？
27．（10分）已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，连接AF，G是线段AF上一点，连接BG，DG．
（1）如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；
①求∠FAD的度数；
②求证：BG⊥DG；
（2）如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．
2021-2022学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．
【解答】解：A、x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2﹣2＝0，是一元二次方程，符合题意；
C、x＝2x3﹣3，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；
D、3x+＝1，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别对每一项进行判断即可．
【解答】A、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
B、圆柱体的主视图是长方形，故此选项错误；
C、立方体的主视图是长方形，故此选项错误；
D、三棱柱的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：A．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：正方形是中心对称图形，也是轴对称，A错误；
矩形是中心对称图形，也是轴对称，B错误；
菱形是中心对称图形，也是轴对称，C错误；
平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，D正确，
故选：D．
4．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．4x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x+4＝0 D．2x2+5x＝﹣2
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断即可得到答案．
【解答】解：A．x2﹣2x＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根；
B．4x2﹣4x+3＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根；
C．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝，方程有两个相等的实数根；
D．2x2+5x＝﹣2可化为2x2+5x+2＝0，Δ＝52﹣4×2×5＝﹣15＜0，方程没有实数根．
故选：C．
5．（3分）下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD•AC
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.3，
解得x＝15，则白球可能有50﹣15＝35个．
故选：D．
7．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝＝4（cm）．
故选：B．
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故选：D．
9．（3分）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（，y3）所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）在第二象限，而C（，y3）在第四象限，
∴0＜y2＜y1，y3＜0，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用正方形的周长为8，求出BC，再利用正方形的性质得出O是BD中点，OH是△BCD的中位线，得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的周长为8，
∴BC＝2，
又∵O是正方形对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∵H是CD边的中点，
∴OH是△DBC的中位线，
∴OH＝BC＝1．
故选：D．
二、填空（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案为．
12．（4分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为 1：3 ．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
故答案为：1：3．
13．（4分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得到关于P的一元一次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得4+2p﹣2＝0，解得p＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 4 cm．
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB•OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣15＝0；
（2）解方程：（x+3）2＝2x+6．
【分析】（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
则x﹣5＝0或x+3＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣3；
（2）（x+3）2＝2x+6，
（x+3）2＝2（x+3），
移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
则（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣1．
16．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
17．（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
【分析】方法一：根据DE和EF的值求出tan∠EDF的值，根据三角函数求出BC即可得出AB的长；
方法二：证△DCB∽△DEF，根据线段比例关系求出BC，然后求出AB长即可．
【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，
∴tan∠EDF＝＝＝，
在Rt△BCD中，CD＝6m，
∵tan∠BDC＝tan∠EDF，
∴＝，
∴BC＝3.6m，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m；
方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，
∴△DCB∽△DEF，
∴，
∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，
∴＝，
解得：BC＝3.6，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m．
18．（8分）2021年6月，天府国际机场正式通航．天府国际机场是4F级国际机场、国际航空枢纽、丝绸之路经济带中等级最高的航空港之一、成都国际航空枢纽的主枢纽．目前，市民出行到天府国际机场，通常可以选择地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行方式，小明通过调查统计附近居民的出行方式绘制了如下两幅不完整统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的市民有 80 人；
（2）求出m的值，并补全条形统计图；
（3）小明和小亮分别乘坐交通工具去往天府国际机场，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选到同一种交通工具的概率．
【分析】（1）由选择专线大巴交通工具出行方式的人数除以所占百分比即可；
（2）求出选择地铁交通工具出行方式的人数所占的百分比得出m的值，再求出选择自驾交通工具出行方式的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次被调查的市民有：12÷15%＝80（人），
故答案为：80；
（2）∵m%＝48÷80×100%＝60%，
∴m＝60，
∵选择出租车交通工具出行方式的人数为：80×10%＝8（人），
∴选择自驾交通工具出行方式的人数为：80﹣48﹣12﹣8＝12（人），
补全条形统计图如下：
（3）把地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行方式分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的结果有4种，
∴小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的概率为＝．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点A（2，5），B（﹣5，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集．
【分析】（1）通过待定系数法求解即可．
（2）设直线AB交y轴于C，求得C的坐标，然后由S△OAB＝S△BOC+S△AOC求解．
（3）通过观察图象中直线不在曲线上方的x的取值范围求解．
【解答】解：（1）把A（2，5）代入y2＝（m＞0）得5＝，
解得m＝10，
∴反比例函数y2＝，
把B（﹣5，n）代入y2＝得，n＝＝﹣2，
∴B（﹣5，﹣2），
∵一次函数y1＝kx+b的图象过点A（2，5），B（﹣5，﹣2）．
∴，解得，
∴一次函数y1＝x+3；
（2）设直线AB交y轴于C，
在y＝+3中令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∴S△OAB＝S△BOC+S△AOC＝＝；
（3）由图象可知：关于x的不等式kx+b≤的解集是x≤﹣5或0＜x≤2．
20．（10分）如图，点E是菱形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE，点F在边BC上，连接EF．
（1）求证：EB＝ED；
（2）若∠DEF＝∠ABC＝120°；
①求证：ED＝EF；
②试探究CF+CD与CE的关系，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ECB≌△ECD，可得BE＝DE；
（2）①由全等三角形的性质可得DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，由四边形内角和定理可得∠EFB＝∠EBC，可证BE＝EF＝DE；
②由“SAS”可证△EDM≌△EFC，可得∠M＝∠ECF，由直角三角形的性质可得CM＝CE，可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD，
在△ECB和△ECD中，
，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴EB＝ED；
（2）①证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ACD＝60°，
∵△ECB≌△ECD，
∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，
∵∠DCB+∠DEF+∠CDE+∠EFC＝360°，
∴∠CDE+∠CFE＝180°，
∵∠CFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠CDE，
∴∠EFB＝∠EBC，
∴BE＝EF，
∴EF＝DE；
②CF+CD＝CE，理由如下：
延长CD至M，使DM＝CF，过点E作EN⊥CD，连接EM，
∵∠MDE+∠EDC＝180°，∠EDC+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝∠MDE，
在△EDM和△EFC中，
，
∴△EDM≌△EFC（SAS），
∴∠M＝∠ECF，
∵∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝∠ACD＝∠BCD＝30°，
∴∠M＝∠ACD＝30°，
∴CN＝EC，CM＝2CN，
∴CM＝CE，
∵CF+CD＝DM+CD＝CM，
∴CF+CD＝CE．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）反比例函数y＝的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大，那么k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】先根据反比例函数的性质得出1﹣k＜0，再解不等式求出k的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，
k＞1．
故答案为k＞1．
22．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x12﹣4x1x2+x22的值为 15 ．
【分析】由根与系数的关系可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12﹣x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣3x1x2进一步代值求解．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣1，
∴x12﹣4x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣6x1•x2＝32﹣6×（﹣1）＝15．
故答案为：15．
23．（4分）方程x2﹣bx+c＝0中，系数b、c可以在1、2、3、4中任取一值（b、c可以取相同的值），则b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是 ．
【分析】列表得出Δ＝b2﹣4c的值的所有等可能结果，从中找到使△≥0的结果是，利用概率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
1
2
3
4
1
﹣3
0
5
12
2
﹣7
﹣4
1
8
3
﹣11
﹣8
﹣3
4
4
﹣15
﹣12
﹣7
0
由表可知，Δ＝b2﹣4c的值共有16种等可能结果，其中△≥0的有7种结果，
所以b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是，
故答案为：．
24．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB，AD•AC＝25，则△ABE的面积为 ．
【分析】通过证明△ABD∽△ACB，可求AB＝AE＝5，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC＝25，
∴AE＝AB＝5，
∵∠BAC＝30°，BH⊥AC，
∴BH＝，
∴△ABE的面积＝×5×＝，
故答案为．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是双曲线y＝（x＞0）上一动点，将线段OM饶O点逆时针旋转45°并延长，使OM'＝OM，已知点N的坐标为（1，1），当∠M′NO＝90°时，M的坐标为 （，） ．
【分析】如图，连接ON，NM′，过点M作MJ⊥x轴于点J，设NM′交y轴于点T．证明△M′NO∽△MJO，推出＝＝，可得结论．
【解答】解：如图，连接ON，NM′，过点M作MJ⊥x轴于点J，设NM′交y轴于点T．
∵N（1，1），
∴ON＝，∠NOT＝90°，
∵∠MOM′＝45°，
∴∠NOT＝∠M′OM，
∴∠TOM′＝∠NOM，
∵∠NOJ＝∠NOT＝45°，
∴∠NOM′＝∠MOJ，
∵∠ONM′＝∠MJO＝90°，
∴△M′NO∽△MJO，
∴＝＝，
∴OJ＝，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（，）．
故答案为：（，）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？
【分析】（1）结合图像利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（3，70），（9，10）代人得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+100；
（2）由题意得：（x﹣3）y＝120，
即（x﹣3）（﹣10x+100）＝120，
解得：x＝6或x＝7，
∴销售单价应为6元或7元．
27．（10分）已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，连接AF，G是线段AF上一点，连接BG，DG．
（1）如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；
①求∠FAD的度数；
②求证：BG⊥DG；
（2）如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．
【分析】（1）①可求得∠ACD＝∠DAC＝45°，进而求得结果；
②连接GE，根据中位线定理证得EG＝，进而得出EG＝，进一步命题得证；
（2）连接EG，可证得EG＝DE＝BE＝AE，所以点A、G、D、B、C共圆，从而得出∠FGD＝∠ACD，进而证得△FDG∽△FAC，进一步求得结果．
【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACF＝45°，∠ADF＝∠ADC＝90°，
∵CF＝CA，
∴∠FAC＝∠F＝，
∴∠FAD＝∠FAC﹣∠DAC＝67.5°﹣45°＝22.5°；
②证明：如图1，
连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AE＝CE，BE＝DE＝，
∵AC＝CF，
∴CF＝BD，
∵AG＝FG，AE＝CE，
∴EG＝，
∴EG＝，
∴GE＝BE＝DE，
∴∠EGD＝∠EDG，∠EGB＝∠EBG，
∵∠EGD+∠EDG+∠EGB+∠EBG＝180°，
∴∠EGD+∠EGB＝90°，
∴∠BGD＝90°，
∴BG⊥DG；
（3）解：如图2，
连接EG，
∵BG⊥DG，BE＝DE，
∴GE＝BE＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝CE＝，BE＝DE＝，AC＝BD，
∴AE＝CE＝BE＝DE，
∴点A、G、D、C、B在以E为圆心，AE为半径的圆上，
∴∠DGF＝∠ACD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDG∽△FAC，
∴，
∴FD•FC＝FG•FA，
设FD＝x，则AF＝，FC＝x+4，
∵FG＝2AG，
∴FG＝，
∴x•（x+4）＝，
∴x1＝2﹣6，x2＝﹣2﹣6（舍去），
∴FD＝2﹣6．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．
【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n；
（2）表示出PQ的长，根据＝3求得t，进而得出点P的坐标；
（3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），
∴0+b＝﹣2，
∴b＝﹣2，
∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），
∴n＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
∵y＝过点A（3，1），
∴k＝xy＝3×1＝3；
（2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），
∴PQ＝，
∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ＝（xA﹣xB），
∴×3＝3，
∴t＝，
∴P（，）；
（3）如图1，
∵P（t，），Q（t，t﹣2），
∴C（t，），
当BC是边，点D在x轴正半轴上，
作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，
∴∠BFC＝∠G＝90°，
∴∠FBC+∠FCB＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG+∠FCB＝90°，
∴∠FBC＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴CF＝DG，
∵OF＝DG，
∴OF＝CF，
∴，
∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去），
∴P（1，3）
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：BG＝DF＝2，
∴t＝2，
∴P（2，），
当BC是对角线时，
当BC是对角线时，
可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，
∴＝2﹣t，
∴t＝1，
∴P（1，3），
综上所述：P（2，）或（1，3）．
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