吉林大学附属实验学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份吉林大学附属实验学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在空间直角坐标系中，已知点，点，则( )
A.点P和点Q关于x轴对称B.点P和点Q关于y轴对称
C.点P和点Q关于z轴对称D.点P和点Q关于原点中心对称
2．向量，若，则( )
A.
B.，
C.，
D.，
3．如图，在直三棱柱中，若，，，则等于( )
A.B.C.D.
4．下列可使非零向量，，构成空间的一组基底的条件是( )
A.，，两两垂直
B.
C.
D.
5．已知，则直线恒过定点( )
A.B.C.D.
6．已知，，则两圆的位置关系为( )
A.相切B.外离C.相交D.内含
7．已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知圆和圆交于两点，点P在圆上运动，点Q在圆上运动，则下列说法正确的是( )
A.圆和圆关于直线对称
B.圆和圆的公共弦长为
C.的取值范围为
D.若M为直线上的动点，则的最小值为
二、多项选择题
9．已知向量，，则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D.在方向上的投影向量为
10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体.若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是( )
A.
B.点到直线的距离是
C.
D.异面直线与所成角的正切值为4
11．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是( )
A.的最大值为
B.的最大值为
C.的最大值为
D.的最小值为
三、填空题
12．O为空间任意一点，若，若ABCP四点共面，则____________.
13．已知点和点，P是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为____________.
四、双空题
14．已知点P为圆上位于第一象限内的点，过点P作圆的两条切线，，切点分别为M，N，直线，分别交x轴于，两点，则____________，____________.
五、解答题
15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为；
(2)椭圆C与有相同的焦点，且经过点，求椭圆C的标准方程.
16．已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的一般式方程.
17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，M为上一点，且，连接、、.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知圆与圆内切.
(1)求r的值.
(2)直线与圆O交于M，N两点，若，求k的值；
(3)过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为和，若，求实数的最大值.
19．已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，，则叫作向量，的夹角，记作，.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，E为线段上一点，.
(1)求的长；
(2)若E为的中点，求二面角的正弦值；
(3)若M为线段上一点，且满足，求.
参考答案
1．答案：B
解析：由题得点P与点Q的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，
所以点P和点Q关于y轴对称,
故选：B.
2．答案：C
解析：因为，所以，
由题意可得，
所以，
则.
故选：C.
3．答案：C
解析：，
又，，，
所以.
故选：C.
4．答案：A
解析：由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，因为非零向量，，两两垂直，
所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；
对于B，，则，共线，
由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，
所以与，共面，故B错误；
对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误；
对于D，
即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误.
故选：A.
5．答案：A
解析：因为，
所以，
由，
可得，
所以，
当时，
所以对a，b为任意实数均成立,
故直线过定点.
故选：A.
6．答案：C
解析：因为
可化为,
则，半径，
因为
，
可化为，
则，半径，
则，
因为，
所以两圆相交.
故选：C.
7．答案：A
解析：，
即，
则圆心，半径为.
椭圆方程，,
则，
则圆心为椭圆的焦点，
由题意的圆的直径，且
如图，连接，
由题意知M为中点，则，
可得
.
点P为椭圆上任意一点，
则，，
由，
得.
故选：A.
8．答案：D
解析：对于A，和圆，
圆心和半径分别是，，，
则两圆心中点为，
若圆和圆关于直线对称，
则直线是的中垂线，
但两圆心中点不在直线上，故A错误；
对于B，到直线的距离，
故公共弦长为，B错误；
对于C，圆心距为，
当点P和Q重合时，的值最小，
当P，Q，，四点共线时，
的值最大为，
故的取值范围为，C错误；
对于D，如图，设关于直线对称点为，
则
解得
即关于直线对称点为，
连接交直线于点M，
此时最小，
，
即的最小值为，D正确.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：ABC选项，由题意得，
故且，AC正确，B错误；
D选项，在方向上的投影向量为，D正确.
故选：ACD
10．答案：ABC
解析：依题意得，故A正确；
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
，，，
，，
，，
对于BC，，
所以，
设，
则点到直线的距离，故BC正确；
对于D，因为，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的正切值为，故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：根据题意，方程，
即，
表示圆心为，
半径为的圆，由此分析选项：
对于A，设，即，
直线与圆有公共点，
所以，
解得
则的最大值为，故A正确；
对于B，设，
其几何意义为圆上的点到原点的距离，
所以t的最大值为，
故的最大值为，故B正确；
对于C，设，则，
直线与圆有公共点，
则，解得，
即的最大值为，故C错误；
对于D，设，作出图像为正方形，
作出圆，如图，
由图像可知，正方形与圆有公共点A时，m有最小值，
即的最小值为，故D正确；
故选：ABD
12．答案：
解析：空间向量共面的基本定理的推论：，
且A、B、C不共线，
若A、B、C、P四点共面，
则，
因为O为空间任意一点，
若，
且A、B、C、四点共面，
所以，，解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：设动点P的坐标为，又，，
所以的斜率，
的斜率，
由题意可得，
化简，得点P的轨迹方程为.
故答案为：
14．答案：2；
解析：圆的标准方程为，圆心，
则为的角平分线，所以.
设，则，
所以，
则，
即，解得，
则，
所以点N与重合，
此时，可得，
所以.
故答案为：2；
15．答案：(1)或；
(2).
解析：(1)由题得，
所以椭圆的标准方程为或.
(2)椭圆满足，
故该椭圆焦点坐标为，
因为椭圆C与有相同的焦点，且经过点，
所以可设椭圆C方程为，
且，
解得，
故，
解得（舍去）或，
故.
所以椭圆C的标准方程为.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)由题意，
则的中点为，且，
故线段中垂线的斜率为-1，
则中垂线的方程为，
即，
联立，
解得，即圆心，
则半径，
故圆C的方程为.
(2)
当直线斜率不存在时，直线l的方程为，
圆心到直线的距离为3，由半径，
则直线l截圆C所得的弦长，满足题意；
当直线l斜率存在时，
设直线l方程为，
化为一般式得，
由直线l截圆C所得的弦长2，半径，半弦长为1.
则圆心到直线的距离，又圆心，
由点到直线的距离公式得，
解得，故直线l方程为，
化为一般式方程为：.
综上所述，直线l的方程为或.
17．答案：(1)证明见详解
(2)
解析：(1)因为平面，
又平面，
所以.又，且，
所以平面.因为，
所以平面.
(2)作，垂足为N.则.又，
所以四边形是平行四边形，又，
所以四边形是矩形，
又四边形为等腰梯形，且，，
所以.
由(1)知平面，
所以.又，
所以.在中，
.
在中，
.
由上可知，以，，所在的直线
分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
由，得，
可取.
设平面的法向量为，
由，得，
可取
因此，.
依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为.
18．答案：(1)；
(2)；
(3).
解析：(1)由题意得，
，
故圆心，圆E的半径为，
因为，故在圆E上，
所以圆O的半径，
且，故.
(2)由(1)知，
联立，
设，
则恒成立，
且，
所以
所以，
解得.
(3)如图，因为直线和直线倾斜角互补，
所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，
此时，，
当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，
当直线斜率存在且不为0时，
设直线
即，
圆心O到直线的距离为，
故，
由直线方程得直线的方程为
即，
同理得，
则，
当，，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，
所以时，
故，
所以，
当，，
由上知时，
故，
所以.
综上，.
19．答案：(1)2
(2)
(3)10
解析：(1)由题意，以D为坐标原点，
分别以，，所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，由已知，
则，，，
则，
则，
且.
由题意知,
所以有，
则，
解得（舍去），
故的长为2.
(2)由(1)知，，，，
又E为的中点，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则.
故平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，且，
则，
故.
故二面角的正弦值为.
(3)由(1)可得，
由题意，设，
，
则
则
，
由可知，，
且，由，
则，解得；
则，
则
解得，，
则，
又，解得.