吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

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考试时间：90分钟 满分：120分
命题人：张淑峰 李永国 审题人：高二备课组
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（ ）
A．事件是随机事件 B．事件是必然事件
C．事件是不可能事件D．事件是随机事件
2．若直线过点和，则直线的倾斜角为（ ）
A． B．C．D．
3．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）
A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312
4． 设是一个随机试验中的两个事件，且，则=（ ）
A．B．C．D．
5．若空间中点的坐标为(2，2，1)，(0，0，1)、(2，0，0）在直线上，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（ ）
A．B．C．D．
7． 据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．正三棱柱中，，为的中点，为棱上的动点（含端点） 为线段上的点，且，则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；
B．在所有棱长都相等的直平行六面体中，平面；
C．对于空间三个非零向量，一定有成立；
D．在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为．
10． 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字表示第一次抛掷骰子的点数，数字表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件“”，事件=“”，事件=“”，则（ ）
A．B与相互独立C．与为对立事件D．与相互独立
11．在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ）
A．若∥/平面，则动点的轨迹是一条长为的线段
B．存在点，便得⊥平面
C．三棱锥的最大体积为
D．若，且与平面所成的角为，则的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．
12．已知，，当时，实数的值为____________．
13．柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是____________．
14．已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球的半径为____________；若动点分别在与的球面上运动，且满足，则的最大值为____________．
四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分10分）
如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设．
（1）试用表示向量；
（2）若，求异面直线与的夹角的余弦值．
16．（本小题满分10分）
如图，在正四棱柱中，，分别为，的中点．
（1）证明：∥平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成的角．
17．（本小题满分12分）
2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕。在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）甲同学先玩了游戏一，当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．
18．（本小题满分15分）
球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为，、、为球面上的三点，设表示以为圆心，且过、的圆，劣弧的长度记为，同理，圆，的劣弧、的长度分别记为，，曲面（阴影部分）叫做球面三角形．
如果二面角的大小分别为，那么球面三角形的面积为．
（1）若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）若平面三角形为直角三角形，，设，，．
①求证：；
②延长与球交于点，若直线，与平面所成的角分别为，，为的中点，为的中点． 设平面与平面的夹角为，求的最大值及此时平面截球的面积．游戏一
游戏二
游戏三
箱子中球的
颜色和数量
大小质地完全相同的红球4个，白球2个
（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个红球获胜
编号之和不超过获胜