吉林省多校2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷(含答案)

这是一份吉林省多校2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．若方程表示圆,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．“”是“直线和直线平行且不重合”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
5．已知圆关于直线对称,则的最小值是( )
A.2B.3C.6D.4
6．已知,直线与的交点P在圆上,则r的最大值是( )
A.B.C.D.
7．已知,分别是椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,P是椭圆E上一点,与y轴交于点M.若,,则椭圆E的离心率为( )
A.或B.或C.或D.或
8．在平面直线坐标系中,定义为两点、的“切比雪夫距离”,又设点P及l上任意一点Q,称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作,给出下列四个命题:
①对任意三点A、B、C,都有;
②已知点P(3,1)和直线则;
③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形;
④定点、,动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.
其中真命题的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
二、多项选择题
9．以下四个命题表述正确的是( )
A.过,两点的直线方程为
B.已知直线l过点,且在x,y轴上截距相等,则直线l的方程为
C.“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D.直线,的距离为
10．已知,是圆上两点,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若点O到直线AB的距离为,则
C.若,则的最小值为
D.若,则的最大值为
11．已知,分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意一点（不在轴上）,外接圆的圆心为H,半径为R,内切圆的圆心为I,半径为r,直线PI交x轴于点M,O为坐标原点,则( )
A.最大时,B.的最小值为8
C.D.的取值范围为
12．将下列多项式因式分解,结果中含有因式的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．与圆同圆心,且过点的圆的方程是________.
14．圆与圆的公共弦所在直线被圆:所截得的弦长为________.
15．如图,椭圆的左、右焦点分别为,,过点作椭圆的切线,切点为T,若M为x轴上的点,满足,则点M的坐标为________.
四、解答题
16．（1）已知直线经过点且与直线垂直,求直线的方程.
（2）已知直线与x轴,y轴分别交于A,B两点,AB的中点为,求直线的方程.
17．为了开发古城旅游观光,镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥,河面跨度AB为32米,拱桥顶点C离河面8米,
（1）如果以跨度AB所在直线为x轴,以AB中垂线为y轴建立如图的直角坐标系,试求出该圆形拱桥所在圆的方程;
（2）现有游船船宽8米,船顶离水面7米,为保证安全,要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥,并说出理由.
18．已知椭圆C的焦点为和,且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点的直线l与椭圆C交于P,Q两点,则在x轴上是否存在定点N,使得的值为定值?若存在,求出点N的坐标和该定值;若不存在,请说明理由.
19．已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点P到点的距离的2倍.
（1）求点P的轨迹方程;
（2）若点P与点Q关于点对称,点,求的最大值和最小值;
（3）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E,F两点,点,则是否存在直线l,使取得最大值,若存在,求出此时l的方程,若53不存在,请说明理由.
20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直.
(i)若，求异面直线和所成角的余弦值；
(ii)是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意可知直线的斜率为,故倾斜角为.
故选:C.
2．答案：A
解析：由二元二次方程表示圆的充要条件可知:,解得,故选A.
3．答案：C
解析：设中点为C，则，
，
，，
，即，
又直线与圆交于不同的两点A、B，
，故，
则，
，.
故选：C.
4．答案：C
解析：当时,两直线分别为：,,
∴两直线斜率相等且,
∴两条直线平行且不重合；充分性成立,
若两直线平行且不重合,则,
∴,必要性成立,
综上所述,是两直线平行且不重合的充要条件,
故选：C.
5．答案：D
解析：因为圆关于直线对称,
所以直线l过圆心,即,
则
因为,且,
所以,,
所以,
当且仅当即,等号成立,
则的最小值是4.
故选：D
6．答案：A
解析：,所以直线恒过点,
,所以直线恒过点,
由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直,
因此点P在以为直径的圆上,线段中点为,
半径为,
圆C的圆心为,半径为,
由已知条件可知点P在圆上,
所以圆C与圆D相交或相切,,
因此有,
解得：,所以则r的最大值是,
故选：A.
7．答案：B
解析：由,得,则,则,
则,即,解得,
则,
因为,所以,
即,整理得,
则,解得或,
故或.
故选:B.
8．答案：A
解析：①对任意三点A、B、C,若它们共线,设、,
,如图,结合三角形的相似可得,,
为AN,CM,AK,或CN,BM,BK,则;
若B,C或A,C对调,可得;
若A、B、C不共线,且三角形中C为锐角或钝角,由矩形CMNK或矩形BMNK,
;
则对任意的三点A、B、C,都有;故①正确;
设点Q是直线上一点,且,
可得,
由,解得,即有,
当时,取得最小值;
由,解得或,即有,
的范围是.无最值,
综上可得,P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.
故②正确;
③由题意,到原点的“切比雪夫距离”等于1的点设为,则,
若,则;若,则,故所求轨迹是正方形,则③正确;
④定点、,动点
满足,
可得P不y轴上,P在线段间成立,
可得,解得,
由对称性可得也成立,即有两点P满足条件;
若P在第一象限内,满足,
即为,为射线,
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,
则点P的轨迹与直线(k为常数）有且仅有2个公共点.
故④正确;
综上可得,真命题的个数为4个,
故选:A.
9．答案：CD
解析：A:若两点的纵坐标或者横坐标相等,则不能用该方程表示直线,故错误;
B:直线l过点,且在x,y轴上截距相等,除直线外,还可以是直线y=2x,故错误;
C:直线与直线垂直的充要条件是,解得或;
“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件,故正确;
D:因为直线,平行,则两平行直线的距离,故正确.
综上所述,正确的选项是CD.
故选:CD.
10．答案：AD
解析：因为,是圆上两点,
当时,为正三角形,所以,A正确;
点O到直线AB的距离为时,,B错误;
的值可转化为单位圆上的A,B到直线
的距离之和,又,
所以为等腰三角形,设M是AB的中点,
则,且,
则M在以点O为圆心,半径为的圆上,
A,B两点到直线的距离之和为
点M到直线的距离的2倍,
点O到直线的距离为,
所以点M到直线的距离的最大值为,
最小值为,则A,B两点到直线的距离之和
最大值为,最小值为.
所以的最大值为,
最小值为,C错误,D正确;
故选:AD
11．答案：BCD
解析：由,得,,,
A选项:设,则,,,所以当点在短轴端点时,面积最大值为,
此时由内切圆性质可知,
则,A选项错误;
设,,则,
B选项:如图所示,设中点为G,则,
所以,
又,
同理,
所以,当且仅当时,等号成立,B选项正确;
C选项:设PI与交于点M,由角分线定理可知,
即,即,
所以,所以,C选项正确;
D选项:设,由正弦定理得,即,
由余弦定理得,
则,且,即,当且仅当时取等号,
所以,
,
所以,
则,D选项正确;
故选:BCD.
12．答案：ABD
解析：A.原式,符合题意;
B.原式,符合题意;
C.原式,不符合题意;
D.原式,符合题意.
故选:ABD.
13．答案：
解析：依题意,设所求圆的方程为,
由于所求圆过点,所以,解得.
所以所求圆的方程为.
故答案为:.
14．答案：
解析：圆与圆的两方程作差得,
即公共弦所在直线方程为,
又圆的圆心为,半径,
所以圆心到直线的距离,
则圆被直线所截得的弦长为.
故答案为:.
15．答案：或
解析：设AT的方程等于,不妨设T在x轴上方,即.
则联立与椭圆的方程,得,整理得,令,解得,此时方程为,解得
因此可知,由椭圆方程可知,所以,又因为,所以,,
（如图）过T做x轴的垂线,记垂足为N
,
则可知,因此,设,则,,在中,由正弦定理,,
即,解得或
故答案为:或
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）直线的斜率,则,
故直线的方程为;
（2）设,,AB的中点为,知,,
则直线的方程为.
17．答案：（1）
（2）船可以通过,理由见解析
解析：（1）,,设圆心,圆的方程为:
由圆过点B、C可得,解得,
拱桥所在的圆方程是:
（2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为,
代入圆方程左端得,所以点P在圆内,故船可以通过
18．答案：（1）
（2）存在,,定值为
解析：（1）已知椭圆C的焦点为和,设椭圆C的方程为,
将点代入椭圆方程,
得,解得（舍去）,,
所以椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为,设定点.
联立方程组,消掉x可得,恒成立.
设,,可得,,
所以
.
要使上式为定值,则,解得,
此时.
当直线l的斜率为0时,,,
此时,也符合.
所以存在点,使得为定值.
19．答案：（1）
（2）53;13
（3）存在,或
解析：（1）由已知,
化简得,即,
所以点P的轨迹方程为;
（2）依题意,设,
因为点P与点关于点对称,,所以点P坐标为,
因为点P在圆上运动,所以,
即点Q的轨迹方程为,
不妨设,
,
其中,
则当时,取得最大值;
当时,取得最小值;
（3）由题意知l的斜率一定存在,
不妨假设存直线l的斜率为k,且,则,
联立方程:,
所以,
又因为直线l不经过点,则,
因为点到直线l的距离,,
所以,
因为,,
所以当时,取得最大值2,此时,
所以直线l的方程为或.
20．答案：（1）；
（2）(i)，(ii)存在，
解析：（1）因为的周长为8，离心率为，
所以，即，，，
所以椭圆C的标准方程为：；
（2）由（1）知，点，倾斜角为，
故直线l设为：，
(i)联立直线l与椭圆的方程：，可得，
可得或，
可得，（因为点A在x轴上方）以及，
再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则，，，
，，
，，，
所以
记异面直线和所成角为φ，则；
(ii)由，，，
设折叠前，，
直线l与椭圆C联立方程，得，
即，，
在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴），
设A，B在新图形中对应点记为，，，
，，
①，
即
所以②，
由①②可得：
即
则
即，，
解得，
因为，所以.