合肥一六八中学2024届高三下学期4月检测（一）数学试卷(含答案)

这是一份合肥一六八中学2024届高三下学期4月检测（一）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数(i为虚数单位),则z的共轭复数( )
A.B.C.D.
2．下列说法中正确是( )
A.圆锥的轴截面是等边三角形
B.用一个平面去截棱锥,一定会得到一个棱锥和一个棱台
C.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成
D.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
3．在中,若,且,则的面积为( )
A.B.C.D.
4．中,点D满足,点E满足,则( )
A.B.C.D.
5．已知,为关于x的实系数方程的两个虚根,则( )
A.B.C.D.
6．一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B,C两点间的距离是( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
7．如图,已知圆O的半径为2,弦长,C为圆O上一动点,则的取值范围为( )
A.B.
C.D.
8．已知的内角A,B,C满足,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,若,则的取值不可能是( )
A.7B.C.8D.
二、多项选择题
9．已知,是复数,下列说法正确的是( )
A.B.若,则或
C.D.若,则
10．的内角A,B,C的对边分别为a,bc,则下列命题为真命题的是( )
A.若,则
B.若,则是钝角三角形
C.若,则为等腰三角形
D.若,,,则符合条件的有两个
11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形,其中,,动点P在上（含端点）,连结交扇形的弧于点Q,且,则下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.D.
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点且，则______.
13．已知复数z满足,则的最小值为______.
14．已知是锐角三角形,内角A,B,C所对应边分别为a,b,c.若,则的取值范围是_______.
四、解答题
15．计算:
（1）;
（2）.
16．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,.
（1）求A;
（2）若,的面积为,求b,c.
17．如图:在中,已知,,BD与CE交于点G.
（1）用向量,表示向量;
（2）过点G作直线MN,分别交线段AB,AC于点M,N,设,,若,,,当取得最小值时,求模长.
18．如图，已知扇形OMN是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案：
（1）如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO形状的道路，道路的一个顶点B在弧MN上（不含端点），，另一顶点A在半径OM上，且，的周长为，求的表达式并求的最大值；
（2）如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC的一个顶点B在弧MN上，另两个顶点A、C分别在半径OM、ON上，且，，求花圃面积的最大值.
19．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
(1)若函数的对称中心为(-1，2)，求函数的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：.
则有即.
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系.
①若，方程在复数集内的根为、、，当时，求的最大值；
②若，函数的零点分别为、、，求的值.
参考答案
1．答案：A
解析：
故
故选:A.
2．答案：D
解析：圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形,A错误;只有用一个平行于底面的平面去截棱锥,才能得到一个棱锥和一个棱台,B错误;等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体,是由一个圆柱和两个圆锥组合而成,故C错误;由棱柱的定义得,有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱,故D正确.
3．答案：D
解析：由,
故,
故选:D
4．答案：C
解析：如图,
.
故选:C.
5．答案：A
解析：由,,
方程的两个虚根为,或,,
不妨取,,则,,
.
故选:A.
6．答案：A
解析：依题意,如图,在中,
,,则,,
由正弦定理得,即,因此(海里),
所以B,C两点间的距离是海里.
故选:A
7．答案：C
解析：取AB的中点D,连接CD.
.,,,.故的取值范围为.
8．答案：A
解析：
,
又,,即,
又,
所以,
所以,
所以,
所以,
故选：A.
9．答案：BC
解析：设,,a,b,c,.
对A:,,显然,A错误;
对B:,
若,则,,解得或,
也即或,故B正确;
对C:,;
,,故C正确;
对D:若,则可取,,但,故D错误.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：对于A,当时,,根据正弦定理得,
整理得,故A正确;
对于B,因为,由正弦定理得,
所以,因为,所以,即C为钝角,
所以是钝角三角形,故B正确;
对于C,由,
由正弦定理可得,
即,所以或,
所以或,所以是直角三角形或等腰三角形,故C错误;
对于D,由正弦定理得,即,
因为,所以,A为锐角,
所以存在满足条件的有两个,D正确.
故选:ABD
11．答案：ABD
解析：如图，作，
分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，
则，
由,
可得，
且，
若，
则，
解得，（负值舍去），
故，A正确；
若，则，，所以，
所以，故B正确；
，
由于，
故，
故，
故C错误；
由于，
，
故
，
而，
所以，
所以，
故D正确，
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为终边上一点，
所以，
又，
所以可得，
所以，
故答案为：.
13．答案：4
解析：如图:,
则z的几何意义是复平面内的动点到定点的距离等于1,
对应的轨迹为以A为圆心,半径为1的圆.
的几何意义为动点到定点的距离,
由图形可知:当点位于C时,取的最小值,
由,
所以的最小值为:,
故答案为:4
14．答案：
解析：因为,得.
由余弦定理得,
所以,即.
由正弦定理得,
因为,则,
所以,即.
因为是锐角三角形,所以,,所以.
又在上单调递增,所以,则.
因为是锐角三角形,所以,,,
所以,
由正弦定理得
,
令,因为,所以.
在上单调递增,
当时,,当时,,
故.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
（2）
.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据正弦定理,
变为,即,
也即,
所以.
整理,得,即,所以,,
所以,则.
（2）由,,得.
由余弦定理,得,
则,所以.则.
17．答案：（1）
（2）5
解析：（1）设,将代入,
得,因为E,G,C三点共线,且B,G,D三点共线,
所以,得
即.
（2）,,,
则,因为M,G,N三点共线,
则,即
当且仅当,即时取得等号.
此时
.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1），，，，
又，在中，由正弦定理知：，
，，
周长为，，
化简，
，
，
当时，即时，周长取最大值，为.
（2）由题意，可知（2）中的面积与（1）中等底等高，即二者面积相等，
在中，，，，，
由余弦定理知：，
，
，当且仅当时取“＝”，
.
即花圃面积的最大值为.
19．答案：(1)
(2)0；10
解析：(1)由题有 QUOTE gx=fx-1-2 gx=fx-1-2为奇函数，则 QUOTE f-x-1-2+fx-1-2=0 f-x-1-2+fx-1-2=0恒成立.
即 QUOTE -1-x3+a-1-x2+b-1-x+1+-1+x3+a-1+x2+b-1+x1+1=4 -1-x3+a-1-x2+b-1-x+1+-1+x3+a-1+x2+b-1+x1+1=4，
整理得： QUOTE 2a-bx2+2a-2b-4=0 Errr! Digit expected.恒成立.
则，，
故.
(2)①若，则 QUOTE fx=x3+bx=1 fx=x3+bx=1，
由题有的三个实根为，，.
设 QUOTE x3+bx+1-k=x-x1x-x2x-x3 x3+bx+1-k=x-x1x-x2x-x3
展开得
，
故.
则. QUOTE
又，
故 QUOTE ，
综上：当时，
的最大值为0.
②，时，
，
QUOTE fx=x3-3x2-2x+1 fx=x3-3x2-2x+1由
有 QUOTE x3-3x2-2x+1=0 x3-3x2-2x+1=0，
同时除以得：
令，， QUOTE ，
由题知，，是方程 QUOTE t3-2t2-3t+1=0 t3-2t2-3t+1=0的三个根，
则 QUOTE t3-2t2-3t+1=t-t1t-t2t-t3 t3-2t2-3t+1=t-t1t-t2t-t3.
展开得 QUOTE t1+t2+t3=2t1t2+t1t3+t2t3=-3-t1t2t3=1 t1+t2+t3=2t1t2+t1t3+t2t3=-3-t1t2t3=1
则
. QUOTE 1x12+1x22=t12+t22+t33=t1+t2+t32-2t1t2+t1t3+t2t3=4+6=10. Errr! Digit expected.