精品解析：安徽省合肥市合肥一六八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

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1. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可.
【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误；
选项B：表示有理数集，所以，说法错误；
选项C：表示整数集，所以，说法正确；
选项D：表示自然数集，所以，说法错误；
故选：C
2. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性比较大小关系，通过指数幂运算比较大小关系，由此结果可知.
【详解】因为，，，
因为幂函数在0,+∞上单调递增，所以，
又因为，所以，
由上可知，
故选：B.
3. 若命题，则的准确表述是（ ）
A. ，B. ，
C. ，或D. ，或
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题否定是全称命题，否定结论的时候，注意不等式的解集是否互为补集关系.
【详解】由特称命题的否定是全称命题，另外，等价于，其否定为，即或，
所以或.
故选：D.
4. 若命题，是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，命题，是真命题，分、两种情况讨论，时直接检验即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为命题，是假命题，
则命题，是真命题，
当时，则有，合乎题意；
当时，则有a>0Δ=9a2−8a0x1-2+x2-2>0x1-2x2-2>0，
即(m-2)2-4(5-m)>0-(m-2)-4>05-m-2(m-2)+4>0，
解得.
故选：B
6. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合，由图可知图中阴影部分表示的集合为，从而可求得答案.
【详解】由，得，解得，
所以，
由，所以，
图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
7. 已知函数则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称
B. 当时，函数的值域为0,+∞
C. 若方程没有实数根，则
D. 若函数在0,+∞上单调递增，则a>0
【答案】B
【解析】
【分析】对A，判断的奇偶性可判断；对B，时，判断的单调性求出的范围，结合指数函数的单调性求出值域；对C，将方程转化，再换元，利用一元二次方程根的判别式及根与系数关系求解判断；对D，利用复合函数单调性分析求解.
【详解】对于A，函数的定义域为，且，
所以函数是偶函数，其图象不关于原点对称，故A错误；
对于B，当时，，令，令，
则单调递增，时，，时，，
所以的值域为R，即，所以的值域为，故B正确；
对于C，由，得，要使原方程无实数根即方程无实数根，
令，则方程无正实数根，
所以或，即或，解得，故C错误；
对于D，要使函数在上单调递增，需在上单调递增，
即函数在上单调递增，所以，故D错误.
故选：B.
8. 已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为、、，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推导出函数、的图象都关于点对称，结合对称性可得出结果.
【详解】因为函数、的定义域均为，
因为，
所以，，
故函数的图象关于点对称，
因为
，
故，则函数的图象也关于点对称，
不妨设，由题意可知，这两个函数的交点也关于对称，且，
则点与点关于点对称，则，
因此，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点和问题，分析两个函数的对称性是解题的关键，进而根据对称性求和.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法中正确的有（）
A. 若则
B. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件
C. 设a，则“”是“”的必要不充分条件
D. 若则的最小值是2
【答案】BC
【解析】
【分析】由不等式的性质可判断A；由二次方程的解法和充分必要条件的定义可判断B；由充分必要条件的定义和性质可判断C；由基本不等式可得最小值，可判断D.
【详解】对于A，若，则，所以，故A错误；
对于B，集合中只有一个元素，则方程有一个根，
当时，原不等式，解得x=-1，满足题意；
当时，，解得；
综上所述：若中只有一个元素,则或，
所以"集合中只有一个元素"是""的必要不充分条件，故B正确;
对于C,设"推不出""，比如，反之成立,
所以""是""的必要不充分条件，故C正确;
对于D，若，则,但是等号不成立，
因为,即无实数解，所以的最小值不是2,故D错误.
故选:BC.
10. 函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】讨论、、、四种情况下，的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性.
【详解】①当时，，
当时，是定义在R上的奇函数，当时，，，
函数在上递减，在上递增，
因此在上递增，在上递减，A可能；
当时，是定义在上的奇函数，
当时，，，函数在上递增，
则在上递增，当时，，同理在上递增，B可能；
②当时，的定义域为，，为偶函数，
若时，当时，（注意），
当时，，则C不可能；
若时，当时，，当时，，则D可能.
故选：ABD
11. 已知、均为正实数，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，利用基本不等式即可解得；
对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；
对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；
对D，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.
【详解】对于A选项，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最大值为，A对；
对于B选项，，
当且仅当ba=2aba+b=1a>0,b>0时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，B错；
对于C选项，
，
当且仅当ab=18a+b=1a>0,b>0时，即当或时，等号成立，
所以，的最小值为，C对；
对于D选项，
，
设，，可得，
则上式，
当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，D对.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数y=fx的定义域可得出关于满足函数有意义时，
满足的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为函数y=fx的定义域为，
对于函数，则有，解得，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
13. 已知幂函数的图象经过点，若，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先由已知条件求出幂函数的解析式，再由幂函数的单调性解不等式即可
【详解】设，则，解得，
，
因为在和上单调递减，，
或或，
解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 设函数，若关于不等式的解集为空集，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围.
【详解】解：根据题意，可知，
设，则，
因为不等式的解集为空集，
即在区间上的解集为空集，
即在区间上无解，
所以在区间上恒成立，
对于二次函数，开口向上，对称轴为，
，
当，即时，则，
所以在区间上恒成立，符合题意；
当Δ=4−4a≥0，即时，
令，解得：或，
要使得在区间上恒成立，
只需满足且，
即且，解得：（舍去）或，
又因为，故解得：，
综上得，实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知集合，________________________.
（1）当时，求，；
（2）若求实数的取值范围.
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答.
①函数的定义域为集合；
②不等式的解集为.
【答案】（1）选①或②，，或x>2.
（2）
【解析】
【分析】（1）选①或②，求出集合，当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合；
（2）选①或②，分析可得，分、两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
选条件①：
当时，，，
则，
则或，或，
所以，或.
选条件②：由可得，则，
当时，，
则，
则或，或，
所以，或.
【小问2详解】
选①或②，若，则，
当时，，解得；
当时，由可得，解得.
综上，实数的取值范围为
16. 已知二次函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1） （2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）结合条件，用待定系数法求解即可；
（2）将问题转化为，讨论参数的范围求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以.
【小问2详解】
由，可得，即，
当，即时，不等式解集为，
当，即时，不等式解集为，
当，即时，不等式解集为，
综上，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为.
17. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为y万元.
（1）写出y与x之间的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）；
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种：
①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；
②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备.
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，）
【答案】（1），，从第3年开始盈利； （2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意得到函数关系化简，列出不等关系，解不等式得到结果，向上取整即可.
（2）①先表示出年平均盈利额，利用基本不等式求出去年平均盈利额最大年份，求出总获利；②由二次函数的性质求出盈利额最大年份，求出总获利；比较获利金额，金额相同比较时间，即可得到合理方案.
【小问1详解】
由题意可得，，（）
令，解得，
因为，所以，故从第3年开始盈利.
【小问2详解】
,
当且仅当，即时等号成立，
故第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元；
由，当时，，
故第10年，盈利额达到最大值，工厂获利万元，
盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理.
18. 定义在上的函数是单调函数，，且，.
（1）求，判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）存在使得成立，求参数的取值范围.
【答案】（1），函数为奇函数，理由见解析
（2）函数在上为减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令，可求得的值；令，结合函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性；
（2）判断出函数为R上的减函数，然后任取、，且，可得出，利用题中等式以及函数单调性的定义即可证得结论成立；
（3）将所求不等式变形为，可得出，令，可得出，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
在等式中，
令可得，解得，
因为函数的定义域为R，
令可得，所以，f−x=−fx，
因此，函数为奇函数.
【小问2详解】
函数为R上的减函数，理由见解析：
任取、，且，则，所以，，
因为fx1−x2=fx1+f−x2=fx1-x2>0，所以，，
所以，函数在R上为减函数.
【小问3详解】
存在使得，
可得，
因为函数在R上为减函数，则，
令，其中，则，即函数为偶函数，
任取、且，
则
，
因为，则，，则，
所以，，则，
所以，函数在0,1上单调递增，则当时，，
即，
所以，当时，，
令，则，则，
所以，m+t>−t2−2，可得，
令，其中，由题意可得m>htmin，
因为函数在上单调递减，则，
则，因此，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
19. 已知函数、、的定义域均为定义：①若存在个互不相同的实数、、、，使得，则称与关于“维交换”；②若对任意，恒有，则称与关于“任意交换”.
（1）判断函数与是否关于“维交换”，并说明理由；
（2）设，，若存在二次函数，使得与关于“任意交换”，求的解析式；
（3）设，若与关于“维交换”，求实数的取值范围.
【答案】（1）与不是关于“维交换”，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由“维交换”的定义，列出方程并求解即可判断.
（2）由与hx关于“任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出hx，借助恒恒等式求解即得.
（3）根据给定条件可得，再按、讨论分段函数零点即可得解.
【小问1详解】
函数与hx关于“维交换”，理由如下：
显然，，
令，即，即，，
即方程无解.
所以，与hx不是关于“维交换”.
【小问2详解】
依题意，对任意x∈R，恒有成立，
即对任意x∈R，存在二次函数hx，，
显然等式左边是关于的次多项式，则设，
于是，
由奇次项系数得，又，则，，解得，
因此存，使得与关于“任意交换”，所以.
【小问3详解】
令，依题意，函数Fx在R上有个零点，
显然，即是函数Fx的零点，
当时，若，则，hx>1，，即函数Fx在时无零点，
若，则在上单调递增，
，，函数Fx在时只有个零点，不符合题意，
因此，①当时，，
显然函数的图象恒过点、，
则当时，函数的图象开口向上，Fx在时仅只一个零点，
当时，，Fx在时没有零点，
②当时，，
显然函数的图象恒过点、，
，当，即时，Fx在时仅只一个零点，
当，即时，Fx在时有个零点，
当，即时，Fx在时没有零点，
③当时，，
显然函数的图象恒过点0,1、，
当时，Fx在时无零点，当时，Fx在时有个零点，
综上所述，当时，Fx有个零点，
所以当与hx关于“维交换”时，.
故实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.