江苏省连云港市连云区东港中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省连云港市连云区东港中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了10）， 一元二次方程 的二次项系数是， 下列式子是一元二次方程的是， 方程的根的情况为， 若是方程的一个根，则， 方程的解是_____．等内容，欢迎下载使用。
命题人：杨有为 审核人：张金美 总分：150分 考试时间：100分钟
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 一元二次方程 的二次项系数是（ ）
A. 3B. 2C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：，其中a是二次项的系数，b是一次项的系数，c是常数项，根据题目给出的二次项系数，一次项系数和常数项，可以写出一元二次方程．
【详解】解：二次项系数是1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，由一元二次方程一般形式的定义，可以知道二次项系数，一次项系数和常数项．那么知道二次项系数，一次项系数和常数项，就可以写出一元二次方程．
2. 下列式子是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、整理得：是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程是解题的关键．
3. 下列说法中,正确的是( )
A. 两个半圆是等弧
B. 同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C. 长度相等的弧是等弧
D. 同圆中优弧与劣弧的差必是优弧
【答案】B
【解析】
【详解】A.两个半圆的半径不一定相等，故错误；
B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧，正确；
C.长度相等的弧是等弧，错误；
D.同圆中优弧与劣弧的差比一定是优弧，故错误，
故选：B.
4. 方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】将原方程整理为一般形式，然后根据一元二次方程的根的判别式分析判断即可．
【详解】解：将方程整理为一般形式，
可得，
∵，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了判断一元二次方程的根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
5. 若是方程的一个根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，把代入方程得到，再把代入代数式即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧．已知第一天票房约为亿元，前三天票房累计约亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若每天票房的增长率都为元，第二天的票房为元，第三天的票房为元，据此可列方程即可，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：若每天票房的增长率都为元，则第二天的票房为元，第三天的票房为元，
由题意得，，
故选：．
7. 如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则最大值是（ ）

A 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
作于，连接、，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，则最小时，最大，根据垂线段最短得到当时，的值最大，从而得到的最大值为4．
【详解】解：作于，连接、，如图，
∵，
∴，
而为定值，最小时，最大，
∴当时，的值最大，最大值，
∴的最大值为4．
故选：B．

8. 若三角形三边的长均能使代数式 的值为零，则此三角形的周长是（ ）
A. 9或18B. 12或15
C. 9或15或18D. 9或12或15
【答案】C
【解析】
【分析】用因式分解法可以得到方程的两个根分别是3和6，所以三角形的三边可以是：3，3，3或6，6，6或6，6，3．然后求出三角形的周长．
【详解】x2−9x+18=0
(x−3)(x−6)=0，
x−3=0或x−6=0.
∴x1=3,x2=6，
所以三角形三边的长可以是：3，3，3或6，6，3或6，6，6.
周长是9或15或18.
故选C.
【点睛】此题考查三角形三边关系，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则.
二、填空题（每小题3分，共30分）
9. 方程的解是_____．
【答案】x=±5
【解析】
【分析】移项得x2=25，然后采用直接开平方法即可得到方程的解．
【详解】解：∵x2-25=0，
移项，得 x2=25，
∴x=±5．
故答案为：x=±5．
【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
10. 若关于的方程的一个根是1，则的值为______.
【答案】－6
【解析】
【分析】把x=1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值．
【详解】把代入方程得到，解得.
故答案为：−6.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入并求值是解题的关键.
11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据方程有实数根可得，解不等式即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴
∴解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
12. 若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤得出p、q的值，据此可得答案．
【详解】解：∵-6x+1=0，
∴-6x=-1，
∴-6x+9=-1+9，即，
∴p=-3，q=-8，
则p+q=-3-8=-11，
故答案为：-11．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
13. 关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为－1、4，则p＋q的值为_____．
【答案】-7
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到-1＋4＝−p，-1×4＝q，然后解方程即可得到p和q的值，即可得到结论．
【详解】根据题意得-1＋4＝−p，-1×4＝q，
所以p＝−3，q＝-4．
故p＋q＝−7，
故填：-7.
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．
14 已知实数x、y满足（x2＋y2＋1）（x2＋y2﹣3）＝0，则x2＋y2＝___．
【答案】3
【解析】
【分析】设x2+y2＝a，则原方程变形为（a+1）（a﹣3）＝0，运用因式分解法求得即可．
【详解】解：设x2+y2＝a，
则（a+1）（a﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或a＝3，
当a＝﹣1时，x2+y2＝﹣1，不合题意，舍去；
故x2+y2＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
15. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为________．
【答案】16
【解析】
【分析】作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解．
【详解】如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，
∵，，
∴，
∵直径为52cm，
∴，
，
，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
16. 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____．
【答案】-1
【解析】
【详解】x1x2= k2=1,k=.k=1时，
舍去.所以k=-1.
17. 一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是 ___．
【答案】cm
【解析】
【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．
【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，
则较长直角边长为（x＋5）cm，
根据题意，得，
所以，
解得，，
因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，
所以x＝2，
当x＝2时，x＋5＝7，
由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．
故答案为：cm．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．
18. ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动，P、Q两点从出发开始到__________秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
【答案】或
【解析】
【分析】作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】
设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD，垂足为H，
则PH=AD=6，PQ=10，
∵DH=PA=3t，CQ=2t，
∴HQ=CD−DH−CQ=|16−5t|，
由勾股定理,得
解得
即P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm.
故答案为或.
【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等，表示出HQ=CD−DH−CQ=|16−5t|是解题的关键.
三、解答题（共96分）
19. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），；
（6），．
【解析】
【分析】（）移项，利用因式分解即可解答；
（）移项，利用直接开平方法即可解答；
（）移项，利用配方法即可解答；
（）利用公式法即可解答；
（）移项，利用因式分解即可解答；
（）变形，利用因式分解即可解答；
本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、配方法、因式分解、公式法是解题的关键．
【小问1详解】
解：移项得，，
因式分解得，，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：移项得，，
开平方得，或，
∴，；
【小问3详解】
解：移项得，，
配方得，，
∴，
∴或，
∴，；
【小问4详解】
解：，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问5详解】
解：移项得，，
因式分解得，，
∴，，
∴，；
小问6详解】
解：方程变形得，，
因式分解得，，
∴或，
∴，．
20. 已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．
【答案】a＝0或a＝1
【解析】
【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a的值．
【详解】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，
整理得：a2﹣a＝0，
即：a（a﹣1）＝0
解得：a＝0或a＝1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a值是解题的关键．
21. 已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．

【答案】弧的度数为
【解析】
【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可．
【详解】解：如图，连接．

∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即弧的度数为．
【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键．
22. 已知关于的一元二次方程：
（1）求证：不论为何实数，方程总有实数根．
（2）当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）菱形的面积是
【解析】
【分析】（1）先计算判别式的值，再利用配方法得到，则，然后根据判别式的意义可得到结论；
（2）当时，方程为，设方程的两根分别为，，则根据根与系数关系可得，然后根据菱形的面积公式求解．
【小问1详解】
证明：∵
，
∴不论为何实数，一元二次方程总有实数根；
【小问2详解】
解：当时，方程为，
设方程的两根分别为，，
由根与系数关系可得，
∴．
∴菱形的面积是．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式和菱形面积的计算．
23. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点、、．
（1）写出圆心M的坐标为___________；
（2）这个圆的半径为___________；
（3）直接判断点与的位置关系．点在__________（填内、外、上）．
【答案】（1）
（2）
（3）内
【解析】
【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式计算出即可；
（3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系．
【小问1详解】
解：如图，圆心的坐标为；
【小问2详解】
，，
即的半径为；
【小问3详解】
圆的半径，
线段，
所以点在内．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系．
24. 如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，共余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求的长；
（2）如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）10米 （2）不能成功围成花圃，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设米，则米，由题意可列出关于x的一元一次不等式和一元二次方程，解出不等式的解集和方程的解，即得出答案；
（2）设米，则米，由题意可列出关于y的一元二次方程，由方程无解，即得出不能成功围成花圃．
【小问1详解】
解：设米，则米，
∵墙可利用的最大长度为15米，
∴，
解得：．
∵围成的花圃面积为40平方米，
∴，
解得：（舍），
∴的长为10米．
【小问2详解】
设米，则米，
由题意得：，
整理，得：，
∵，
∴原方程无解，
∴不能成功围成花圃．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
25. 某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价：
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？
【答案】（1）甲、乙零售单价分别为2元和3元
（2）当m定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元
【解析】
【分析】（1）设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，根据“甲、乙两种商品的进货单价之和是3元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元”列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据“商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元”列出方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，
根据题意可得：
解得：
答：甲、乙零售单价分别为2元和3元
【小问2详解】
根据题意得出：，
即．
解得或（舍去），
答：当m定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键．
26. 阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号．
阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值．
阅读上述内容，解答下列问题：
（1）已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________；
（2）已知，，求的最小值．
（3）某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数）
【答案】26. ，
27.
28. 当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元
【解析】
【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值；
（）把代入化成的 形式，即可求出最小值；
（）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案；
本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式．
【小问1详解】
解：由题意得，当 即时，取最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴当，即时，取最小值为，
∴的最小值为；
【小问3详解】
解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为，
当，即时，取最小值为，
∴最低费用是(元)，