江苏省连云港市连云区东港中学2022-2023学年九年级上学期 数学第三次月考测试题 (含答案)

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江苏省连云港市连云区东港中学
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（24分）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t+1 D．y＝x2+
2．下列图形中不一定相似的是（　　）
A．两个矩形 B．两个圆
C．两个正方形 D．两个等边三角形
3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若＝，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
6．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）

A． B． C． D．
7．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，则下列说法中正确的有（　　）个
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣37
﹣21
﹣9
﹣1
3
3
…
①当x＞1时，y随x的增大而减小．
②抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
③当x＝2时，y＝﹣9．
④方程ax2+bx+c＝0一个正数解x1满足1＜x1＜2．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AB上一点，则∠APB的度数为（　　）

A．45° B．30° C．75° D．60°
二、填空题（24分）
9．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式是 　 　．
10．二次函数y＝﹣x2+x+m图象的顶点在x轴上，则m＝　 　．
11．已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 　 　cm．
12．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 　 　．
13．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　 　．
14．已知二次函数y＝x2﹣2x+4，关于该函数在﹣1＜x≤4的取值范围内，函数值的范围是 　 　．
15．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是S＝20t﹣t2，则飞机着陆滑行到停止，最后6s滑行的路程 　 　m．
16．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　 　．

三、计算与解答（102分）
17．解方程
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）2（x﹣3）2﹣18＝0；
（4）x2﹣5x+3＝0．
18．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）图①中a的值为 　 　；
（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．

19．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
20．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．
（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

21．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点D在AC上，∠CBD＝∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
（1）判断BD所在直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AE＝8，∠A＝30°，求图中由BD、BE、围成阴影部分面积．

22．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

23．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．

24．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

25．如图，抛物线y＝﹣与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求直线BD的解析式；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

26．思考发现：

（1）如图1，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝60°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝30°，则点P与⊙O的位置关系是 　 　；若∠AQB＞30°，则点Q与⊙O的位置关系是 　 　．
问题解决：
如图2，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝135°，且AB＝2，AD＝4．
（2）若点P是BC边上任意一点，且∠APD＝45°，求BP的长；
（3）如图3，以B为圆心，BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为弧EC上的动点，过点Q作QH⊥BC于点H，设点I为△BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 　 　．（直接填空）

参考答案
一、选择题（24分）
1．解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B不符合题意；
C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C符合题意；
D、y＝x2+不是二次函数，故D不符合题意．
故选：C．
2．解：A．所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
B．所有的圆，一定相似，故本选项不合题意；
C．所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
D．所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．
故选：A．
3．解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
4．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0
∴①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b＝3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
5．解：∵＝，
∴＝＝．
故选：D．
6．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝8cm，
∴AP＝AB＝×8＝（4﹣4）cm，
故选：D．
7．解：①由表格看出，当x＞1时，y随x的增大而减小，故①的说法正确；
②由表格看出，这个抛物线的对称轴为直线x＝，故②的说法错误；
③当x＝2时的函数值与x＝﹣1时的函数值相同，即y＝﹣1，故③的说法错误；
④方程ax2+bx+c＝0的解异号，其中正数解x1满足1＜x1＜2，负数解x2满足﹣1＜x2＜0，故④的说法正确．
故选：B．
8．解：作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD＝CD，
∴OD＝OC＝OA，
∴∠OAD＝30°，
又OA＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠APB＝∠AOB＝60°．
故选：D．

二、填空题（24分）
9．解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2+3．
故答案为：y＝（x﹣2）2+3．
10．解：二次函数y＝﹣x2+x+m的顶点纵坐标为：y＝＝m+1．
∵二次函数y＝﹣x2+x+m图象的顶点在x轴上，
∴m+1＝0．
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
11．解：展开图扇形的弧长l＝＝＝2π．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
∴这个圆锥的底面圆半径是＝1（cm）．
故答案为：1．
12．解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
13．解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得：
y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，
∵5﹣4＜3＜15，
所以y3＞y1＞y2．
故答案为y3＞y1＞y2．
14．解：∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴在﹣1＜x≤4的取值范围内，当x＝1时，有最小值3，
当x＝4时，有最大值为y＝9+3＝12．
故答案为：3≤y≤12．
15．解：由题意可得：当t＝﹣＝20时，飞机停下，
故t＝20时，S＝20×20﹣×202＝200（m），
t＝20﹣6＝14时，S＝20×14﹣×142＝182（m），
故飞机着陆滑行到停止，最后6s滑行的路程为：200﹣182＝18（m）．
故答案为：18．
16．解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
当y＝2时，x＝，
∴E（，2），
∴AE＝，
∴BF＝AE＝，
∴EF＝4﹣2×＝6﹣b，
∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝EF•OG＝（6﹣b）•b＝﹣（b﹣3）2+4.5，
∵﹣＜0，
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
三、计算与解答（102分）
17．（1）解：x2+4x﹣1＝0
∴x2+4x+4＝5，
即（x+2）2＝5，
∴，
解得：；
（2）解：x2﹣2x﹣3＝0
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0，x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（3）解：2（x﹣3）2﹣18＝0
∴2（x﹣3）2＝18，
即（x﹣3）2＝9，
∴x﹣3＝±3，
解得：x1＝0，x2＝6；
（4）解：x2﹣5x+3＝0
∵a＝1，b＝﹣5，c＝3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4×1×3＝13＞0，
∴，
解得：．
18．解：（Ⅰ）根据题意得：
1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%＝25%；
则a的值是25；
故答案为：25；
（Ⅱ）观察条形统计图得：
＝＝1.61（m）；
∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是1.65m；
将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是1.60，
则这组数据的中位数是1.60m．
（Ⅲ）能；
∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，
∴根据中位数可以判断出能否进入前十名；
∵1.65m＞1.60m，
∴能进入复赛．
19．解：（1）∵共10个球，有2个黄球，
∴P（黄球）＝＝；
（2）设有x个红球，根据题意得：＝，
解得：x＝5．
故后来放入袋中的红球有5个．
20．解：（1）设该抛物线的解析式是y＝ax2，
结合图象，把（10，﹣4）代入，得
100a＝﹣4，
a＝﹣，
则该抛物线的解析式是y＝﹣x2．
（2）当x＝9时，则有y＝﹣×81＝﹣3.24，
4+2﹣3.24＝2.76（米）．
所以水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
21．解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，DE，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠A+∠CDB＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，
∴OD⊥BD，
∵OD为半径，
∴BD是⊙O切线；
（2）解：∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE＝90°，
∵AE＝8，∠A＝30°，
∴DE＝AE＝4，∠AED＝60°，
∵OD＝OE，
∴△DOE是等边三角形，
∴∠ODE＝60°，OD＝OE＝DE＝4，
∵∠ODB＝90°，
∴∠EDB＝30°，
∴∠B＝∠DEO﹣∠EDB＝60°﹣30°＝30°，
∴OB＝2OD＝8，
由勾股定理得：DB＝＝4，
∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOE＝×4×4﹣＝8﹣π．

22．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；

（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
23．解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4．
设P（x，y），则S△PAB＝AB•|y|＝2|y|＝10，
∴|y|＝5，
∴y＝±5．
①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
24．解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x+b1，
∵y1＝k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），
∴
∴，
∴这个一次函数的表达式为；y1＝﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设y2与x之间的函数关系式为y＝k2x+b2，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴，
解得：，
∴这个一次函数的表达式为y2＝﹣0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]＝﹣0.4（x﹣75）2+2250，
∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣42]＝﹣0.6（x﹣65）2+2535，
由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
∴当x＝90时，W＝﹣0.6（90﹣65）2+2535＝2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
25．解：（1）∵令x＝0得；y＝2，
∴C（0，2）．
∵令y＝0得：﹣＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4．
∴A（﹣1，0），B（4，0）．
（2）∵点C与点D关于x轴对称，
∴D（0，﹣2）．
设直线BD的解析式为y＝kx﹣2．
∵将（4，0）代入得：4k﹣2＝0，
∴k＝．
∴直线BD的解析式为y＝x﹣2．
（3）如图1所示：

∵QM∥DC，
∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．
设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），
则M（m，m﹣2），
∴﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝4，
解得：m＝2，m＝0（不合题意，舍去），
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；
（4）存在，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，
∴①当∠QBD＝90°时，
由勾股定理得：BQ2+BD2＝DQ2，
即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2+20＝m2+（﹣m2+m+2+2）2，
解得：m＝3，m＝4（不合题意，舍去），
∴Q（3，2）；
②当∠QDB＝90°时，
由勾股定理得：BQ2＝BD2+DQ2，
即（m﹣4）2+（﹣m2+m+2）2＝20+m2+（﹣m2+m+2+2）2，
解得：m＝8，m＝﹣1，
∴Q（8，﹣18），（﹣1，0），
综上所述：点Q的坐标为（3，2），（8，﹣18），（﹣1，0）．
26．解：（1）如图1中，

∵∠APB＝30°，∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB，
∴点P在⊙O上，
当∠AQB＞30°，时 点Q在⊙O内部，
故答案为：在圆上，在圆内．
（2）过点D作DE垂直于BC交于点E，过点A作AF垂直于DE．

∵∠AFE＝∠FEB＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴∠BAF＝90°，
∵∠BAD＝135°，
∴∠DAF＝135°﹣90°＝45°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠FAD＝∠FDA＝45°，
∴FA＝FD，
以点F为圆心，DF为半径作圆，交BC于点P，连接AP，PD，则∠APD＝∠AFD＝45°，
当点P在E点右侧时，∵∠DAF＝45°，AB＝FE＝2，，
∴FP＝FA＝4，
∴EP＝＝＝2，即．
当点P在E点左侧时，．
（3）如图3中，连接IC，以BC为斜边，向下作等腰直角三角形△BCT，

∵BQ＝BC，∠QBI＝∠CBI，BI＝BI，
∴∠∠BIQ＝∠BIC，
∵I是△BHQ的内心，∠BHQ＝90°，
∴∠BIQ＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠BIC＝∠BIQ＝135°，
∴点I在△BCT的外接圆上运动，
由（2）可知BC＝BE＝BA+EC＝2+8＝10，
∴BT＝TC＝×10＝5，
∴点I的运动路径的长＝＝．
故答案为：π．