湖南省长沙市第一中学2025届九年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2025届九年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．手机信号的强弱通常采用负数来表示,绝对值越小表示信号越强(单位：),则下列信号最强的是( )
A.B.C.D.
2．下列运算正确的是( ).
A.B.
C.D.
3．下列说法正确的是( )
A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势,采用扇形统计图最合适
B.为了解我省中学生的睡眠情况,应采用抽样调查的方式
C.一组数据的中位数可能有两个
D.“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
4．下列食品标识图中,依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
5．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形.若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合,至少需要旋转( )
A.B.C.D.
6．如图,在中,,,,将绕点A逆时针旋转得到,使点落在边上,连接,则的长度是( )
A.10B.20C.D.
7．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于B，则的面积为( )
A.1B.2C.3D.4
8．如图,是的直径,是的弦,连接、,若,则的度数为( )度.
A.15B.25C.35D.45
9．如图,已知,如果,那么等于( )
A.B.C.D.
10．如图,已知函数图像与x轴只有三个交点,分别是,,.
①当时,或；②当时,y有最小值,没有最大值；③当时,y随x的增大而增大；④若点在函数图象上,则m的值只有3个.上述四个结论中正确的有( )
A.①②B.①②④C.①③④D.②③④
二、填空题
11．要使二次根式有意义,则x应满足的条件是______.
12．若关于x的方程的一个根为3,则k的值为______.
13．如图,圆锥的底面半径,母线长,则圆锥的侧面积为______.
14．如图是一条高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,圆的半径,高,则路面宽______
15．已知抛物线的部分图象如图所示,则当时,x的取值范围是______.
16．如图,在等腰直角三角形中,,点P在以斜边为直径的圆上,M为的中点.当点P沿圆从点A开始运动一周时,长度的最小值是______.
三、解答题
17．计算：.
18．先化简,再求值：,其中.
19．如图,在中,D为上一点,.
(1)求证：；
(2)若,,求的长.
20．10月8日,麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕,当天举行了丰富多彩的活动,A.三阶6面魔方挑战赛；B.科技知识竞赛；C.环保调查；D.自制地球仪；E.机器人编程挑战赛.为了解学生对这五类活动的喜爱情况,随机抽取部分学生进行了调查统计(每位学生必选且只能选一类),并根据调查结果,绘制了两幅不完整的统计图如图所示.
AI
根据上述信息,解决下列问题.
(1)本次调查总人数为______,并补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
(2)我校有2700名学生,请估计该校参加环保调查的学生人数；
(3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生,计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
21．如图,P是反比例函数的图象上的一点,PN垂直x轴于点N,PM垂直y轴于点M,矩形OMPN的面积为2,且,一次函数的图象经过点P.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线与x轴的交点为A,点Q在y轴上,当的面积等于矩形OMPN的面积的时,直接写出点Q的坐标.
22．如图,为了改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长)的空地上修建一个矩形小花园,小花园一边靠墙,另三边用总长的栅栏围住,如图所示,若设矩形小花园边的长为,面积为.
(1)求出S与x之间的函数关系式(写出自变量取值范围)；
(2)当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？
23．如图,以线段为直径作,交射线于点,平分交于点D,过点D作直线于点E,交的延长线于点F.连接并延长交于点M.
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若,,求的长.
24．我们定义：点P在一次函数上,点Q在反比例函数上,若存在P、Q两点关于y轴对称,我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”,点P称为“幸福点”.例如：点在上,点在上,P、Q两点关于y轴对称,此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”,点是“幸福点”.
(1)判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”,若存在,请求出“幸福点”坐标；若不存在,请说明理；
(2)若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”,求其“向光函数”的解析式；
(3)已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B(A在B左侧),其“向光函数”与轴x交于C、D两点(C在D左侧),若有以下条件：
①②“向光函数”经过点,③,记四边形ACBD的面积为S,求的取值范围.
25．如图1,在中,,,,D是斜边上一动点,以点A为圆心,长为半径作圆A交于点F,设圆A半径为r,若满足,连接并延长交圆A于点E,连接,.
(1)如图1,若,求半径；
(2)如图2,点D在运动过程中,和之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)当点D在斜边上运动时,求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：∵,
则信号最强的是,
故选：D.
2．答案：D
解析：、,n不是同类项,无法合并,故本选项不符合题意；
、,n不是同类项,无法合并,故本选项不符合题意；
、,不是同类项,无法合并,故本选项不符合题意；
、,故本选项符合题意；
故选：D.
3．答案：B
解析：A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势,采用折线统计图最合适,故该选项不符合题意；
B.为了解我省中学生的睡眠情况,应采用抽样调查的方式,故该选项符合题意；
C.一组数据的中位数只有1个,故该选项不符合题意；
D.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件,故该选项不符合题意；
故选：B.
4．答案：D
解析：A.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不符合题意；
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意；
C.是中心对称图形,但不是轴对称图形,故不符合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形,故符合题意.
故选D.
5．答案：D
解析：正六边形的中心角的度数为,
∴绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合,至少需要旋转；
故选D.
6．答案：A
解析：将绕点A逆时针旋转得到,
,,
,,,
.
∴是等边三角形,
.
故选：A.
7．答案：A
解析：∵轴于点A，交于点B，
∴，，
∴.
故选：A.
8．答案：B
解析：连接,
∵是直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：B.
9．答案：B
解析：∵,,
∴,
∴,
∴,
故选：B.
10．答案：B
解析：由函数图象知,当时,或,故①正确；
当时,图象有最低点,没有最高点,
∴y有最小值,没有最大值,故②正确；
当时,y随x的增大而减小,故③不正确；
∵函数的图象与原函数的图象只有三个交点,
∴点在函数图象上,则m的值只有3个,故④正确
故选：B
11．答案：/
解析：根据题意得：,
解得：,
故答案为：.
12．答案：
解析：由题意,将代入方程得：,
解得,
故答案为：.
13．答案：
解析：圆锥的侧面积为：.
故答案为：.
14．答案：8
解析：∵半径
∴
∴
∵
∴
∴.
故答案为：8.
15．答案：
解析：由函数图象可知,该函数的对称轴是直线,与x轴的一个交点坐标为,则该函数与x轴的另外一个交点为,
故当时,x轴的取值范围为,
故答案为：.
16．答案：
解析：如图,取的中点O,连接,
为的中点,
,
,
点M在以为直径的圆上,设圆心为Q,连接,当Q、M、C共线时,最小,
在等腰直角三角形中,,
,
,
,
,,
,
,
的最小值是,
故答案为：.
17．答案：
解析：
.
18．答案：；2
解析：
,
,
,
当时,
原式.
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：,,
；
(2),
.
,,
,
,
.
20．答案：(1)200,图见解析
(2)810人
(3)
解析：(1)结合两幅图可得：(人),
∴本次调查总人数为200；
∵(人),
∴喜欢自制地球仪的有50人；
补全条形统计图如下：
(2)(人),
∴该校参加环保调查学生人数约为810人；
(3)根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果,恰好抽到1名男生和1名女生有8种,
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是.
21．答案：(1),
(2)和
解析：(1)∵轴,轴,矩形ONPM的面积是2,,
∴,
∴,即P点坐标为,
∵反比例函数和一次函数都进过P点,
∴将P点坐标分别代入得：,,
∴,,
∴反比例函数的解析式为：和一次函数；
(2)将代入得,
∴直线与x轴的交点A的坐标为,
∴,
∵,,
∴,
∵G点在y轴上,
∴,即,
又∵,
∴,即G点到x轴的距离为1,
∵G点在y轴上,
∴在y轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的G点,
∴G的坐标为：、.
22．答案：(1)
(2)当时,小花园的面积最大,最大面积是
解析：(1)设矩形小花园边的长为,则,
根据题意有：.
∵,
∴,
解得：,
∴S与x之间的函数关系式为；
(2)由(1)可知,
∵,
∴当时,S最大,且,
∴当时,小花园的面积最大,最大面积是.
23．答案：(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：(1)证明：连接OD,则,
,
∵AD平分,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵OD是的半径,且,
∴直线DE是的切线.
(2)证明：线段是的直径,
,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴.
(3)∵,,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
24．答案：(1)存在；“幸福点”坐标为,
(2)“向光函数”的解析式为：或
(3)
解析：(1)假设一次函数和反比例函数是存在“向光函数”,设“幸福点”坐标为,则
∴,
解并检验得：,,
∴一次函数和反比例函数是存在“向光函数”,“幸福点”坐标为,；
(2)∵一次函数关于y轴对称的直线函数解析式为,而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”,
所以与反比例函数只有一个交点,
∴,,
整理得：,
,
解得：,,
当时,则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”,向光函数”的解析式为：,
当时,则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”,向光函数”的解析式为：,
∴“向光函数”的解析式为：或.
(3)∵一次函数与反比例函数有两个“幸福点”A、B(A在B左侧),则A、B关于y轴对称的点、一定在上,
∴A、B关于y轴对称的点、是与的交点坐标,
∴,
整理得：,
又∵“向光函数”为,
∴与“向光函数”为关于y轴对称,
∴,
∵“向光函数”与x轴交于C、D两点(C在D左侧),若有以下条件：①②“向光函数”经过点,③,
∴,
∴,
∴,
即“向光函数”为
又∵,
∴,
∴,
又∵“向光函数”与x轴交于C、D两点(C在D左侧),与“向光函数”为关于y轴对称,
∴,
∴,,
∴,,
∴,,
∴,,
令“向光函数”中,得即,
解得,,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴的取值范围是：.
25．答案：(1)4
(2),理由见解析
(3)
解析：(1)如图：
∵,
∴,,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
(2),理由如下：
如图,延长FA交于点N,连接EN,
∴,
∵四边形DENF是圆内接四边形,
∴,
∵,
∴,
∴；
(3)如图,延长FA交于点N,连接EN,过点D作于H,
由(2)得：,,
∴,
∴,即,
∵圆的半径为r,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,即,
∴,,
则,,
∴,
∴,
∵,
∴,
即,
∴,
∵,
∴,
∵,所以在上函数值随r的增大而减小,
∴.