湖南省长沙市湘郡培粹实验中学2022届九年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)

湘郡培粹实验中学2021−2022学年度九年级上学期第三次练习

数  学

时量：120分钟    分值：120分

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．）

1. 在0、、，中，最大的有理数的是（       ）

A. 0 B.  C.  D.

2. 2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，它将与距离地球表面约390000米外的天和核心舱对接，将390000用科学记数法表示为（       ）

A.  B.  

C.  D.

3. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A.  B.  

C.  D.

4. 下列运算正确的是（  ）

A.  B.  

C.  D.

5. 下面图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（       ）

A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥

6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）

A. 这个函数的图象分布在第一、三象限

B. 这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C. 点（1，4）在这个函数图象上

D. 当x＞0时，y随x的增大而增大

8. 已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（       ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A. 64° B. 58° C. 68° D. 55°

10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　）

A sinA＝ B. tanA＝ 

C. cosA＝ D. tanB＝

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分．）

11. 分解因式：m2-6m+9=_______．

12. 已知，的是一元二次方程的两个实数根，则＝_______．

13. 在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积为______．

14. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为________．

15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC长为___．

16. 如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有_________．（仅填序号即可）

三、解答题（共72分）

17. 计算；

18. 先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4．

19. 已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．

（1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标；

（2）△A1B1C与△ABC的面积比为　　．

20. 为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）德育处一共随机抽取了        名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为        ；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？

（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．

21. 如图，AB是郑州航空港区某建筑工地的斜坡，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为8m，B、C在同一水平地面上．

（1）求斜坡AB水平宽度BC；

（2）矩形DEFG为某种建筑材料的左视图，其中DE＝5m，EF＝4m，将建筑材料沿斜坡向上运送，当BF＝7m时，求点D离地面的高．（，，，结果精确到0.1m）

22. 如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：；（2）若，求MN的长．

23. 如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P

（1）求证：PC＝PG；

（2）判断PG2＝PD·PE是否成立？若成立，请证明该结论；

（3）若G为BC中点，，，求DE的长．

24. 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”，选自《九年级下册教材》P89，粹园的同学们学完此节内容后，开始探究正投影在平面直角坐标系的应用．若平面直角坐标系中，规定曲线AB在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长”， 记为“l”．AB两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”，例如：如图，曲线AB，其中A（，1）、B（1，3），则曲线AB在x轴上的的“影长”l为4，在x轴上的“影长范围”为．

（1）已知反比例函数的部分图像在y轴上的“影长范围”是，求其在x轴上的“影长”以及“影长范围”．

（2）若二次函数的部分图像在x轴上的“影长范围”是，且在y轴上的“影长范围”的最大值为10，求满足条件的a的值．

（3）已知二次函数与一次函数交于A、B两点，当，且实数，求线段AB在x轴上“影长”的取值范围．

25. 如图1，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点B点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求点A，B的坐标；

（2）若tan∠BCO＝2，点P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，作PQ⊥x轴于点Q，连接PA，当△APQ与△BOC相似时，求点P的坐标；

（3）如图2，在第（2）问的条件下，若PA与y轴交于点E，且OE＜OB，连接BE，以BE为直径画圆交抛物线于点D，连接DB、DE．

①直接写出点D的坐标；

②作DF平分∠BDE交BE于点F，过点F作直线l与射线DB、DE分别交于点M、N，当直线l绕点F旋转时，试判断的值是否变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．

答案

1-10 ACDBC  BDCAC

11.

12.

13.

14. 8

15.

16. ①③④

17.解：

=2+1-2×+

=．

18. 解：（＋1）÷

＝

＝

＝a＋1，

当a＝﹣4时，原式＝﹣4＋1＝﹣3．

19. 解：（1）如图，△A1B1C为所作；点A1的坐标为(﹣3，0)；

（2））∵△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，

∴△A1B1C与△ABC面积比为4：1．

故答案为4：1．

20. 解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：（名），

则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：（名），

∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：，

故答案为：40，108°；

（2）把条形统计图补充完整如下；

（3）（名），

估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；

（4）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，

∴恰好选中甲和乙的概率为．

21. 解：（1）∵坡度为，，

∴．

（2）作，垂足为S，且与AB相交于H．如图所示：

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴由勾股定理得：，，

设，则，

∴，

∴，

∴;

即点D离地面的高约为8.9m．

22. 证明：（1）∵DB平分，

，且，

，

，

；

（2），

，

，且，

，

，

，且，

，

，

，

，

，

，

且，

．

23. （1）连接OC，

∵，

∴，

∵CP是的切线，

∴，

∵弦ED垂直AB于点F，AB是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）如图1，连接EC、CD，

∵，AB是圆O的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴；

（3）如图2，连接OG，EO，

∵G为BC中点，

∴，

在中，，，

∴，，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

中，，，

∴，

∴．

24. （1）把，分别代入中，得：x=−3，x=−1

∵比例系数−3<0

∴当x<0时，函数值随自变量的增大而增大

∴

∴“影长”为，“影长范围”为．

（2）抛物线的对称轴为直线

当，即-8≤a≤4时，由题意抛物线部分图象在y轴上的影长的最大值就是二次函数的最大值，故有

解得： 或（舍去）

∴

当，即a>4时，当时，函数值随x的增大而增大

∴当x=2时，-4+4a=10

解得：a=3.5(舍去)

当，即a<-8时，当时，函数值随x的增大而减小

∴当x=-4时，-16-2a=10

解得：a=-13

综上所述，或

（3）∵，且实数

∴a>0，c<0，b=-(a+c)

设A、B两点的横坐标分别为m、n

∴

∴

∴

设AB在x轴上的影长为l

则

由a>2b=-2(a+c)，得；由2b=-2(a+c)>3c，得

∴

∵二次函数

∴当时，函数值随自变量的增大而减小

当时，；当时，

∴

∴

∴线段AB在x轴上的“影长”的取值范围为

25. （1）令，则，解得或－4．

∴点A的坐标为，点B的坐标为

（2）∵tan∠BCO＝2

∴即OB=2OC

∵点B的坐标为，点A坐标为(−4，0)

∴OB=6，OA=4

∴OC=3

即点C的坐标为(0，−3)

把点C坐标代入抛物线解析式中得：−24m=−3

∴

故函数解析式为

设点P的坐标为(p，q)，且点P在第一象限，则p>0，q>0

∴OQ=p，PQ=q

则AQ=OQ+OA=p+4

若△APQ∽△BCO，则，即AQ=2PQ

∴p+4=2q

∴

即点P坐标为

由点P在抛物线上，则有

解得：，（舍去）

则

即点P的坐标为(10，7)

若△APQ∽△CBO，则，即PQ=2AQ

∴q=2(p+4)

即点P坐标为(p，2(p+4))

由点P在抛物线上，则有

解得：，（舍去）

则

即点P的坐标为(22，52)

综上所述，点P的坐标为或

（3）①由题意OE<OB，则点P的坐标只能为(10，7)，由待定系数法可求得直线PA的解析式为：，则点E的坐标为(0，2)，OE=2

设D，BE的中点为G，连接GD，则

则点G的坐标为(3，1)，由勾股定理得

∴， 即GD2=10

∴

即

由点D在抛物线上，则有

∴

∵a≠6

∴

整理得：

即

∵

∴a−4=0

∴a=4

此时b=−2

∴点D的坐标为

② 不变

由待定系数法可得直线BE的解析式为，直线DB的解析式为y=x−6，而当x=0时，y=−6，即直线DB与y轴的交点S的坐标为(0，−6)，所以OS=OB=6

∴∠OBD=45゜

∵DF平分∠BDE

∴∠BDF=EDF=45゜

∴∠OBD=∠BDF=45゜

∴DF⊥x轴

∴点F的坐标为

设过点F的直线MN的解析式为y=kx+c，其中k≠0，把点F的坐标代入得：

∴

由待定系数法得直线DE的解析式为

解方程组，消去y，可得，此即为点M的横坐标；

同理可求得点N的横坐标为

过点D作y轴的垂线与过点N的垂直于x轴的直线交于点K，则△DNK为等腰直角三角形，

过点M作y轴的垂线交DF的延长线于点H，则△DMH为等腰直角三角形

∴，

∴

∴（定值）．