湖北省武汉市部分学校2024-2025学年九年级上学期12月联合测评数学试卷

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参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断．
【解答】解：A．0既不是正数；
B．|﹣3|＝7＞0；
C．﹣（﹣4）＝7＞0；
D．﹣|+5|＝﹣3＜0；
故选：D．
2．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都能找到一条或多条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
选项D中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以不是轴对称图形；
故选：D．
3．【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、在十字交叉路口，是随机事件；
B、射击运动员在进行一次射击时，是随机事件；
C、在平面内任意绘制一个三角形，是必然事件；
D、掷一枚硬币，是随机事件；
故选：C．
4．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则计算，判定即可．
【解答】解：a3与a2不是同类项，不能合并；
a7•a2＝a5，B错误；
a8÷a2＝a，C正确；
（a3）7＝a6，D错误，
故选：C．
5．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形求解即可．
【解答】解：从上面看，是一行三个相邻的小正方形．
故选：D．
6．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的结果有2种，
∴抽出的卡片上的汉字能组成“必胜”的概率为＝，
故选：C．
7．【分析】先由根与系数的关系得到a+b＝2，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可．
【解答】解：由条件可知a+b＝2，
∴
＝
＝
＝，
故选：B．
8．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、增减性综合进行判断即可．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，故①符合题意；
②∵抛物线过（﹣1，5），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0；
③∵抛物线对称轴为直线x＝3，
∴，即3a+b＝0；
④∵当x＝时，y＝＝，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，开口向下，
∴当x＝时，y＝，
∴的解集为x，故④不符合题意．
综上所述，正确的结论有：①②③．
故选：C．
9．【分析】作BG⊥AD于G，由等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，证明△ABE≌△CAD（SAS）得出∠ABE＝∠CAD，求出∠BFG＝60°，得出∠FBG＝90°﹣∠BFG＝30°，从而得到，再证明△CBF≌△BAG，得出BF＝AG，推出，即可得解．
【解答】解：如图，作BG⊥AD于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BFG＝∠ABF+∠BAF＝∠CAD+∠BAF＝60°，
∵BG⊥AD，
∴∠BGF＝90°，
∴∠FBG＝90°﹣∠BFG＝30°，
∴，
∵CF垂直于BE，
∴∠AGB＝∠CFB＝90°，
∵∠CBF＝∠ABC﹣∠ABE，∠BAG＝∠BAC﹣∠CAD，
∴∠CBF＝∠BAG，
在△CBF和△BAG中，
，
∴△CBF≌△BAG（AAS），
∴BF＝AG，
∵AG＝AF+FG，
∴，
∴，
∴AF：BF＝1：2，
故选：A．
10．【分析】作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M，证明△EOF≌△OAH，求出EF与AH的比，再求出MF的份数，证明出NC与MN的比，表示出NC的份数，利用△OAC的面积求出x的值，即可求出k．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，CN⊥x轴于N，设AC交x轴于M，
∵∠CAB＝45°，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴OA⊥OE，OA＝OE，
∴∠EOF+∠AOH＝90°，
∵∠OAH+∠AOH＝90°，
∴∠EOF＝∠OAH，
∴△EOF≌△OAH（AAS），
设OH＝EF＝x，
∵AB：y＝3x，
∴AH＝3x＝OF，
∴EF：AH＝6：3，
∵EF∥AH，
∴MF：MH＝1：7，即MF：（MF+4x）＝1：5，
∴MF＝2x，
∵CN∥EF，
∴NC：MN＝EF：MF＝1：3，
∵点C、A在反比例函数上，
∴NC•ON＝OH•AH，
设NC＝y，
∴MN＝2y，
∴y（2y+4x）＝x•3x，
解得：y＝x或y＝﹣3x（舍去），
∵OA＝OB，
∴S△OAC＝×14＝7，
即OM（AH+CN）＝7，
即×5x（3x+，
∴x＝或x＝﹣，
∴OH＝，AH＝，
∴k＝．
故选：B．
三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．【分析】根据4＝，以及无理数的特征，一个小于4的正无理数是．
【解答】解：一个小于4的正无理数是．（答案不唯一）
故答案为：．
12．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：765000000＝7.65×108．
故答案为：2.65×108．
13．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲20秒跑完80米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑8秒钟跑的路程之和为80米，从而可以求得乙的速度，然后用80除以乙的速度，即可得到t的值．
【解答】解：由图象可得，
甲的速度为80÷20＝4（米/秒），
乙的速度为：80÷8﹣7＝10﹣4＝6（米/秒），
则t＝＝，
故答案为：．
14．【分析】根据正方形的性质和EF∥BC，证明得到△BCE≌△CDF（SAS），从而得到∠CDF＝∠BCE＝∠CEF＝15°，根据∠EDF＝∠BDC﹣∠FDC＝45°﹣15°＝30°即可得到答案．
【解答】解：，在正方形ABCD中、F分别是对角线BD，
∴BC＝CD，OB＝OC，
∵EF∥BC，且∠CEF＝15°，
∴∠OEF＝∠OBC＝45°，∠OFE＝∠OCB＝45°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∴OE＝OF，
∵OC＝OC，BE＝OB﹣OE，
∴BE＝CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CDF＝∠BCE＝∠CEF＝15°，
∴∠EDF＝∠BDC﹣∠FDC＝45°﹣15°＝30°，
故答案为：30°．
15．【分析】依据题意，分三种情况：当≥2时，当≤﹣1时，当﹣1≤≤2时，分别进行讨论即可得解．
【解答】解：由题意的，y＝x2﹣（m+4）x+7m+2的对称轴为直线x＝，开口向上，
①当≥7时，
要使在﹣1≤x≤2的范围内能使y≥7恒成立，
只需x＝2时的函数值大于等于2，即72﹣2（m+6）+3m+2≥6，
解得：m≥4，
结合m≥0，得：m≥5．
②当≤﹣8时，
要使在﹣1≤x≤2的范围内能使y≥5恒成立，
只需x＝﹣1时的函数值大于等于1，即（﹣6）2+（m+4）+4m+2≥2，
解得：m≥﹣，
结合m≤﹣6，得无解．
③当﹣8≤≤8时，
要使在﹣1≤x≤2的范围内能使y≥3恒成立，
只需x＝时的函数值大于等于3，即，
化简得：﹣+3m+2≥6．
∴（m﹣2）2+12≤4．
又∵（m﹣2）2+12≥12，
∴无解．
综上，m≥4．
故答案为：m≥4．
16．【分析】先根据垂线段最短、轴对称的性质找出最短路径，再根据直角三角形的性质和等边三角形的性质求解．
【解答】解：作点N关于BD的对称点E，过E作EM⊥AC于M，
∵BD⊥BC，
∴EP＝NP，
∴MP+NP＝MP+EP≥EM，
在等边△ABC中，有∠C＝60°，
∴∠CEM＝30°，
∴CE＝2CM．
设BE＝BN＝x，
则：2x+4＝2×7，
解得：x＝4，
∴AC＝BC＝CN+BN＝10，
故答案为：10．
四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分得出不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤8，
所以，不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
18．【分析】（1）根据角平分线的定义推角的关系，再根据A，O，E三点在同一条直线上，推∠AOC+∠COE＝180°，进一步推出∠BOD＝90°；
（2）根据OB平分∠AOC推∠BOC＝∠BOC＝∠AOC，再根据∠AOB+∠DOE＝90°，∠AOC+∠COE＝180°，推出∠COD＝∠DOE．
【解答】解：（1）∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，
∴∠BOC＝∠AOC∠COE，
∵A，O，E三点在同一条直线上，
∴∠AOC+∠COE＝180°，
∴∠BOC+∠COD＝∠BOD＝90°；
（2）∠COD＝∠DOE．
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOA＝∠AOC，
∵∠AOB+∠DOE＝90°，∠AOC+∠COE＝180°，
∴∠COD＝∠DOE．
19．【分析】（1）本次被抽样调查的学生人数为：15÷15%＝100（人）；
（2）“A．黄鹤楼”对应的圆心角度数：360×30%，计算即可；
（3）估计意向前往“E．园博园”的学生人数为：（人）．
【解答】解：（1）15÷15%＝100（人），
答：本次被抽样调查的学生人数为100人．
（2）“A．黄鹤楼”对应的圆心角度数：360×30%＝108°，
答：“A．黄鹤楼”对应的圆心角度数为108°．
（3）（人），
答：估计意向前往“E．园博园”的学生人数为65人．
20．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠ODB＝∠ABC，从而可得∠ABC+∠DBF＝90°，即可证明结论；
（2）连接BE，可得AB＝20，BE＝AB•sinA＝20×＝12，再由勾股定理求得AE＝16，由OF⊥BC，得，则有BE＝CE＝12，再证明△EBH∽△EAB，得BE2＝EH•EA，求得EH的长，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为10，sinA＝，
∴AB＝20，BE＝AB•sinA＝20×，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
EA＝＝16，
∵OF⊥BC，
∴，
∴BE＝CE＝12，∠EBH＝∠EAB，
∵∠BEH＝∠AEB，
∴△EBH∽△EAB，
∴BE2＝EH•EA，
∴EH＝＝9，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
BH＝＝15．
21．【分析】（1）先画出点A、B、C关于x轴的对称轴，再依次连接即可；
（2）用割补法求解即可；
（3）连接BC′，与x轴相交于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
∵A（4，0），4），1），
∴A′（4，6），﹣4），﹣1）；
（2）；
（3）如图所示，点P即为所求；
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴PC＝PC′，
∴PC+PB＝PC′+PB＝BC′，此时PC+PB最小．
22．【分析】（1）根据待定系数法解答即可；
（2）设销售单价x（元/盒）时，每天的销售利润为w元，根据每天销售利润＝每件的利润×销售量即可得出w关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质即可求出结果；
（3）先由每天销售量不得超过100件求出x的取值范围，然后根据每天销售利润＝每件的利润×销售量列出w关于x的二次函数（含m），然后根据二次函数的性质即可得到w的最大值，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴y＝﹣2x+300
（2）设销售单价x（元/盒）时，每天的销售利润为w元，
根据题意，得w＝（x﹣30）（﹣8x+300）
＝﹣2x2+360x﹣9000
＝﹣4（x﹣90）2+7200，
∴当x＝90元时，w有最大值，
即销售单价为90元∕盒时，当天的销售利润最大；
（3）由题意可列出不等式组：，
解得：100≤x≤150，
∴w＝（﹣2x+300）（x﹣30+m）
＝﹣7x2+（360﹣2m）x﹣9000+300m，
∴该二次函数的图象开口向下且对称轴为直线：，
∵m＞0，
∴，
又∵100≤x≤150，
∴当x＝100时，w有最大值为（﹣8×100+300）（100﹣30+m）＝100m+7000，
又∵w有最大值为7600，
∴100m+7000＝7600，解得：m＝6．
∴m的值为6．
23．【分析】（1）利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得△CBE是等边三角形；
（2）分两种情况：①当N在CD上，延长ED至点H，使得DH＝DN，连接NH，即可得出△HDN是等边三角形，利用△HGN≌△DBN即可得出BD＝HG＝DG+DH，再利用AD＝BD，即可得出答案；②当点N在边AD上时，如图3，延长BD至H，使得DH＝DN，同理可以得出答案；
（3）如图4，过点G作GP⊥AB于P，AC与GP交于点D，连接BD，过点C作CF⊥GE于F，CM⊥BD于M，证明PG是AB的垂直平分线，即点G在直线PG上，CG的最小值就是CF的长，由此即可解答．
【解答】（1）证明：如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，BC＝，
∵E是线段AB的中点，
∴BE＝AB，
∴BE＝BC，
∴△CBE是等边三角形；
（2）解：分两种情况：
①当点N在线段CD上，结论：AD＝DG+DN
如图6所示：延长ED至点H，使得DH＝DN，
∵∠BNG＝60°，
∴∠HNG＝120°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝×60°＝30°，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BD，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°＝∠HDN，
又∵DN＝DH，
∴△HDN是等边三角形，
∴NH＝DN，∠H＝∠DNH＝60°
∴∠BND＝120°＝∠HNG，
在△HGN和△DBN中，
，
∴△HGN≌△DBN（ASA），
∴BD＝HG＝DG+DH，
∴AD＝DG+DN；
②当点N在边AD上时，如图4，理由如下：
如图3，延长BD至H，
由①得：DA＝DB，∠2＝∠8＝60°，
∴∠4＝∠5＝60°，
∴△NDH是等边三角形，
∴NH＝ND，∠H＝∠3＝60°，
∴∠H＝∠2，
∵∠BNG＝60°＝∠6，
∴∠BNG+∠6＝∠6+∠7，
即∠DNG＝∠HNB，
在△DNG和△HNB中，
，
∴△DNG≌△HNB（ASA），
∴DG＝HB，
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD，
∴AD＝DG﹣ND；
综上，ND；
（3）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝，
如图4，过点G作GP⊥AB于P，连接BD，CM⊥BD于M，
∵△BNG是等边三角形，
∴BN＝BG，∠NBG＝60°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠NBG，
∴∠PBG＝∠NBC，
∵∠BPG＝∠NCB＝90°，BN＝BG，
∴△NCB≌△GPB（AAS），
∴BP＝BC＝8，
∴P是AB的中点，
∵PG⊥AB，
∴PG是AB的垂直平分线，即点G在直线PG上，
∴AD＝BD，
∴∠DBA＝∠CAB＝30°，
∴∠CBD＝30°，
Rt△CMB中，CM＝，
∵∠ADP＝∠BDP＝60°，
∴∠CDF＝∠CDM＝60°，
∵CF⊥GE，CM⊥BD，
∴CF＝CM＝7，
即CG的最小值为1．
故答案为：1．
24．【分析】（1）联立两个函数表达式得：x2﹣6x＝x，解得：x＝7，即B（7，7）；由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣6x＝9，即可求解；
（2）①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，则P（3，0），②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG 是等腰三角形，进而求解；
（3）求出xE＝﹣a，xM＝k﹣a+6，同理可得：xN＝﹣k﹣a+6，得到QM＝k﹣a+6﹣（6﹣a）＝k，PN＝6﹣a﹣（﹣k﹣a+6）＝k，即可求解．
【解答】解：（1）联立两个函数表达式得：x2﹣6x＝x，
解得：x＝7，即B（7，7）
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝3，
当x＝3时，y＝x2﹣6x＝4，即D（3，-9）
（2）如图，过点D作 DE⊥y轴于点E，
∴DE＝3，OE＝5，
∴，
∵，
∴∠DOE＝∠PDO，
当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，
∴P（3，0），
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，
∴OG＝DG，设OG＝t，GE＝9﹣t，
在Rt△DGE 中，t2＝72+（9﹣t）4，
解得t＝5，
∴G（0，﹣5），
∴直线DG的解析式为：
令y＝0，则
解得 ，
综上，点P的坐标为（6；
（3）的值不变
由E（﹣a，4），0）知平移后的新的抛物线解析式为：y＝（x+a）（x+a﹣6），
设直线EM的解析式为：y＝k（x+a）
令（x+a）（x+a﹣8）＝k（x+a），
解得：xE＝﹣a，xM＝k﹣a+6，
同理可得：xN＝﹣k﹣a+6，
延长HF，过M，NP⊥FP，P，
∴QM＝k﹣a+4﹣（6﹣a）＝k，
PN＝6﹣a﹣（﹣k﹣a+3）＝k，
∴QM＝PN，
由△MQH∽△NPH 得：．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D．
D
C
C
D
C
B
C
A
B