2025年小升初复习(全国通用)：知识点11平面图形(原卷版+解析)

这是一份2025年小升初复习(全国通用)：知识点11平面图形(原卷版+解析)，共53页。

线段、射线、直线
【例1】
如图所示的直线上有A、B、C、D 四个点。图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。

思路引导
A、B、C、D这几个点都在同一条直线上，所以只有1条直线；每个点都把直线分成了两个方向，向每个方向都是一条不同的射线。观图可知有4个点，构成的射线一共有4×2＝8（条）；按照端点的不同，顺次数出线段的条数，有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条线段。
正确解答：1；8；6
数线段时要按照一定的顺序数；数射线时，找准端点后，要沿着不同方向数；一般地，在一条直线上，如果有n个点，那么就有2n条射线，有（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1条线段。
【变式1】
1. 下图中有几条线段？几条射线？几条直线？
【例2】
下面有4个点，经过每两点画一条直线，能画（ ）直线。
思路引导
两点确定一条直线，可以在图中画一画，数一数。
正确解答：6
在解决问题时，根据题意画出示意图，将出现的情况一一列举出来。当图示比较复杂时，也可以从简单的情况入手，发现其中的规律，再根据规律推导出复杂的情况。
【变式2】
2. 先画一画，再回答问题。
（1）如图1所示过点A可以画几条直线？
（2）如图1所示以点A为端点可以画几条射线？
（3）如图2所示每两点之间画一条线段，如下四点可以画几条线段？
平行与垂直
【例3】
作图：（1）请画出从甲地通向小河最近的路；
（2）请画出经过丙地，与小河平行一条路。下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺。
思路引导
思路引导（1）点到直线的距离中，垂线段最短。过代表甲地的点画小河所在直线的垂线段即可。
第一步：把三角板的一条直角边与小河的岸边线重合，另一条直角边过代表甲地的点。第二步：过这一点沿三角板的直角边画重线段，并标注垂足。
（2）把三角板的一条直角边与小河的岸边线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来和小河岸边线重合的直角边经过代表丙地的点，过这一点沿三角板的直角边画直线即可。
正确解答：作图如下：
解答此题的关键是理解点到直线的最短距离是过这一点向直线所画的垂线段。
【变式3】
3. 图中是一条小河示意图，点P是一个果园，请按下列要求在图上画一画。
（1）要把河里的水引到果园去，怎样修水渠最短最省时。
（2）以果园所在的点P为起点，向东修一条路，使这条路平行于小河CB段。
角的认识
【例4】
从3时到3时45分，钟面上的分针转过（ ）°，时针转过（ ）°。
思路引导
从3时到3时45分，分针转了圈，转一圈正好是一个周角：是360°，转圈是360°×＝270°；把钟面的一圈分成12个大格，时针1小时转一个大格，所对应的角是360°÷12＝30°，时针小时转了个大格，所对应的角×30°＝22.5°。
正确解答：270°；22.5°
解决此类问题要掌握钟面上数字的分布。一个钟面是一个圆，即360"有12个大格，每一大格是360°÷12＝30°，有60个小格，每一小格是6°。所以有关钟面上分针与时针的夹角以及分针、时针旋转的角度，都可以根据每格的度数来计算。
【变式4】
4. 钟面上的时间是6时45分时，时针和分针形成（ ）°的角。
三角形、四边形的特性与特征
【例5】
李明准备把一根14厘米长的铁丝剪成三段，围成一个三角形。如果他第一次在6厘米处剪了一刀。那么第二次不能剪在（ ）处。
AA B.B C.C D.D
思路引导
任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边。
14－6＝8（厘米）
A.2＋6＝8（厘米），2＋6＞6，6－2＜6，因此第二次能剪在A处。
B．3＋5＝8（厘米），3＋5＞6，5－3＜6，因此第二次能剪在B处。
C．4＋4＝8厘米），4＋4＞6，6－4＜6，因此第二次能剪在C处。
D．7＋1＝8厘米），6＋1＝7（厘米），因此第二次不能剪在D处。
正确解答：D
此类题需要根据三角形边之间的关系来解答，要使剪成的三段铁丝能够围成三角形，其中任意两段的长度之和必须大于第三段的长度，任意两段的长度之差必须小于第三段的长度。
【变式5】
（2021六下·山西太原）
5. 15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成（ ）个不同的三角形。

【例6】
下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）。
A. B. C. D.
思路引导
观察图形，只有图形D中每一个点都可以与另外邻近的两个点构成三角形，根据三角形的稳定性可知其不容易变形。
正确解答：D
解答此题的关键是熟悉三角形和四边形的特性。三角形的特性是具有稳定性，长方形和正方形具有易变形的特性。
【变式6】
6. 用4根木条钉成一个长方形，然后向相反方向拉它的一组对角，就变成了一个平行四边形，这个平行四边形的内角和与原来长方形的内角和相比，（ ）。
A. 变大了B. 一样大C. 变小了D. 无法确定

【例7】
等腰三角形一个底角和顶角度数的比是2∶1，这个三角形的底角是（ ）°，按角分它是一个（ ）三角形。
思路引导
根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角相等，所以等腰三角形的三个角的度数比是2∶2∶1，三角形的内角和是180°，根据按比分配的方法，底角占三角形内角和的，顶角占三角形内角和的，利用求一个数的几分之几是多少，用乘法，求出三角形的顶角和底角，再根据三角形按角分类的标准，即可判别它是一个什么样的三角形。
正确解答：
等腰三角形的三个角的度数比是2∶2∶1，
180°×＝180°×＝72°
180°×＝180°×＝36°
两个底角是72°，顶角是36°；
三个角都小于90°，所以这是一个锐角三角形。
本题是对三角形特征知识的综合性考查，不仅有等腰三角形特征的知识，还有三角形的内角和三角形的分类的知识，先根据内角和按比分配求出各角的度数是此题的关键。
【变式7】
（2022六下·辽宁锦州）
7. 一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形最大的内角是（ ）度，这是一个（ ）角三角形。
【例8】
同学们，孔子曰“温故而知新”，学过的知识要善于进行回顾和梳理。请你想一想长方形、正方形、平行四边形、梯形和四边形的关系，并填入图中相应的位置。
思路引导
正方形是特殊的正方形，正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形、长方形和平行四边形是特殊的梯形，正方形、长方形、平行四边形、梯形都是四边形。
正确解答：
本题主要是四边形分类，考查正方形、长方形、平行四边形以及梯形和四边形的关系。
【变式8】
（2022六下·山西榆次）
8. 这学期我们认识了很多图形，他们之间有着密切的联系。比如长方形和正方形的关系可以用图1表示。除此之外，也可以用这样的图（如图2）表示关系的是（ ）。
A. A表示平行四边形，B表示四边形B. A表示平行四边形，B表示长方形
C. A表示平行四边形，B表示梯形D. A表示梯形，B表示四边形
平面图形的周长和面积
【例9】
如图，一个平行四边形相邻两条边长度分别是10厘米和7厘米，其中一条底边上的高是8厘米，这个平行四边形的面积是（ ）。
A.56平方厘米 B.70平方厘米 C.80平方厘米 D.无法确定
思路引导
第一步：判断平行四边形对应的底和高。相邻的两条边长度分别是10厘米和7厘米，底是10厘米时，与底垂直的高一定小于7厘米，因此8厘米的高只能与7厘米的底对应。
第二步：应用公式求出面积。平行四边形的面积为7×8 ＝56（平方厘米）。
正确解答：A
解答本题除了要用到平行四边形的面积计算公式，还要用到另一个知识点：从一点向已知直线作的所有线段中，垂线段最短。
【变式9】
（2019六下·河北沧州）
9. 一个平行四边形，相邻两条边的长度分别是8厘米和6厘米，量得它一条边上的高是7厘米，这个平行四边形的面积是56平方厘米。（ ）

【例10】
一个直角梯形，将上底延长1.2米后就变成了一个边长3米正方形，这个直角梯形的面积是多少平方米？
思路引导
第一步：借助图形理解“上底延长1.2米，就变成了一个正方形”。
根据图形可知：原梯形的高和下底相等，上底和下底相差1.2米。
第二步：求出上底、下底和高的长度。由“将上底延长1.2米后就变成了一个边长3米的正方形”，可推出下底和高为3米，上底为：3－1.2＝1.8（米）
第三步：根据梯形的面积公式来求面积。
正确解答：
上底：3－1.2＝1.8（米）
原梯形面积：（1.8＋3）×3÷2
＝4.8×3÷2
＝7.2（平方米）
答：这个直角梯形的面积是7.2平方米。
此类图形变化的问题，可以通过画图来理解，解题的关键是找到不变的量。
【变式10】
（2022六上·陕西西安）
10. 把一个梯形的上底缩短a厘米（上底长厘米），下底延长a厘米，高不变，新的梯形与原来的梯形相比，（ ）。
A. 面积变小B. 面积变大C. 面积不变D. 无法确定
【例11】
如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。
（1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？
（2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点（ ）。（括号里填、、或。）
思路引导
（1）当小圆从大圆上的点 A 出发，沿着大圆滚动，第一次回到点 A 时，小圆的圆心走过路线的长度是半径为6＋2＝8厘米的圆一周的长度；
（2）小圆的半径是 2cm ，大圆的半径是 6cm，则小圆滚动3圈后才能回到A点，这个过程中M点与大圆接触3次；M第9次与大圆接触时，小圆又回到A点，小圆第10次与大圆接触时，是走了大圆一周的，即12.56厘米，更接近于B点。
正确解答：
（1）2×3.14×（2＋6）
＝2×3.14×8
＝50.24（厘米）
答：小圆的圆心走过路线的长度是50.24厘米。
（2）根据分析可得，当点M第10次与大圆接触时，点M 更接近大圆上的点B。
本题考查圆的周长，首先是分析圆的运动轨迹，其次明确大圆与小圆的半径关系与周长关系，两个圆的周长比与半径比相同，大圆的半径是小圆半径的多少倍，大圆的周长就是小圆周长的多少倍。
【变式11】
（2020六下·北京西城）
11. 如下图，小圆贴着大圆的内侧从点开始按箭头所指方向滚动（大圆不动）。
（1）小圆自身至少需要滚动多少周才能回到点？（用你喜欢的方式说明理由）
（2）小圆经过滚动回到点，请在图3中用圆规画出小圆圆心走过的轨迹。
组合图形面积的计算
【例12】
在直径是4厘米圆中，有一个最大的正方形ABCD（如下图），求图中阴影部分的面积。
思路引导
第一步：求出圆的半径，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。
第二步：观察图形，因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成两个三角形，这两个三角形的底相当于圆的直径，高相当于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积。
第三步：用圆的面积减去正方形的面积。
正确解答：
圆的半径：4÷2＝2（厘米）
圆的面积：
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
正方形的面积：
4×2÷2×2
＝8÷2×2
＝8（平方厘米）
阴影部分的面积：12.56－8＝4.56（平方厘米）
本题考查正方形的对角线与圆的直径关系，利用圆的面积、正方形面积公式解答问题。特别提示：一般求正方形的面积采用“边长×边长”的方法，也可以用“对角线×对角线÷2”的方法。在这道题中正方形的对角线就是圆的直径，所以用后一种方法更方便。还可以把这个正方形看成四个小三角形，这四个小三角形都是等腰直角三角形，且直角边都相当于圆的半径。
【变式12】
（2022六下·四川成都）
12. 已知下图正方形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，求出小正方形的面积是（ ）平方厘米，它恰好是圆半径的平方，从而可求出圆面积是（ ）平方厘米，进而可求出阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
【例13】
下面是一个长方形的草坪，中间有两条人行道，求草坪的面积。（单位：米）
思路引导
仔细观察图形，可以发现草坪的面积有多种计算方法。
方法一：添补法，草坪的面积等于长方形的面积减去两个空白平行四边形的面积。
平行四边形的高是14米，平行四边形的底是（32－28）÷2＝2（米），长方形的面积是32×14＝448（平方米），人行道的面积是2×14×2＝56（平方米），草坪的面积就是448－56＝392（平方米）。
方法二：分割法，草坪的面积等于三个三角形的面积之和。
仔细观察会发现，上面两个倒放的三角形底的和是28米，下面正放的三角形的底是28米，三个三角形的高都是14米，因此，草坪的面积是28×14÷2×2＝392（平方米）。
方法三：转化法，即用等积变形的思想来分析。移动左右两个三角形，同中间的三角形接起来，就会得到一个新的长方形，这个长方形的长是28米，宽是14米，因此，草坪的面积是28×14＝392（平方米）。
正确解答：
方法一：（32－28）÷2＝2（米）
32×14＝448（平方米）
2×14×2＝56（平方米）
448－56＝392（平方米）
答：草坪的面积392平方米。
方法二：28×14÷2×2＝392（平方米）
答：草坪的面积392平方米。
方法三 ：28×14＝392（平方米）
答：草坪的面积392平方米。
比较复杂的组合图形在解答时，可能会有多种方法，只要灵活掌握各种方法的要领，就可以很简单地解决问题。
【变式13】
（2021六下·北京西城）
13. 下图中有一个半圆和一个扇形。甲、乙两个阴影部分相比较，甲面积（ ）乙面积。（括号里填“大于”“小于”或“等于”。）
一、填空。
（2021六下·北京）
14. 下面这篇数学日记中，说法不恰当的是（ ）。
数学日记
我今年10岁啦，上四年级，我的家在北京。今天的数学课上，我学习了线段、射线、直线和角的认识。我知道了①经过一点可以画无数条直线，②经过两点只能画一条直线。我在笔记本上画了③一条5厘米长的射线，④原来手电筒射出的光线也可以看成射线。
（2021六下· 浙江台州仙居）
15. 数一数下面的图形中有（ ）个平行四边形，（ ）个梯形。
（2021六下·江苏南京）
16. 在研究梯形面积公式时，小明把梯形分成了两个三角形，先用字母公式表示出两个三角形的面积，再把它们加起来，根据乘法分配律，也得到了梯形面积公式。（如下图，单位厘米），请你根据小明的思路完成下面填空。
（1）①号三角形的面积＝______；②号三角形的面积＝______；
（2）梯形面积S＝______＋______＝______ 。
（2021六下·江苏南京）
17. 一个平行四边形被分成甲、乙、丙3个三角形，已知甲的面积比丙小22.5平方厘米，丙的面积比乙大12.5平方厘米，则丙的面积是（ ）平方厘米。
（2022六下·河南洛阳）
18. 下图描述了我国魏晋时期数学家刘徽采用“（ ）”，来求圆周长的近似值。
（2021六上·福建南平）
19. “外圆内方”与“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处事的朴素道理。如果图1中外圆的半径是2dm，则圆内大正方形的面积是（ ）dm2。如果图2中外面正方形的面积是12dm2，则内圆的面积是（ ）dm2。
（2021六下·北京西城）
20. 如图，一张直径是的圆桌，上面铺了一块直径是的圆形桌布。桌布下垂部分的面积是（ ）。
二、判断。
（2021六下·四川成都）
21. 角的大小与角的两条边的长短无关。（ ）
（2022六下·山西太原）
22. 同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线。（ ）
（2021六下·广东广州）
23. 任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形。（ ）
（2022六下·山东潍坊）
24. 一个三角形的三个内角的度数比是1∶3∶5，它一定是钝角三角形。（ ）
（2022六下·吉林长春）
25. 两个圆的半径比是2∶5，这两个圆的面积比是4∶10。（ ）
三、选择。
（2022六下·福建厦门）
26. 下面说法错误的是（ ）。
A. 一条直线长6厘米B. 钟面上2时整，分针和时针成锐角
C. 角的两边张开得越大，角越大D. 经过两点，可以画1条线段
（2022六下·辽宁锦州）
27. 下面（ ）组中的三条线段不能围成一个三角形。
A. 5厘米、6厘米、7厘米B. 5厘米、5厘米、10厘米
C. 3厘米、6厘米、4厘米D. 2厘米、3厘米、4厘米
（2021六下·福建漳州）
28. 张爷爷要给自家的菜地围上篱笆，下面围法中，（ ）的围法更牢固些。
A. B. C. D.
2021六下·江苏扬州）
29. 一摞练习本摆成长方体，再均匀地斜放（如图），则前面变成了一个近似的平行四边形。长方形和近似平行四边形相比，（ ）。
A. 周长和面积都不变B. 周长不变，面积变小
C. 周长变大，面积不变D. 周长和面积都变了
（2022六下·北京 ）
30. 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。把下图中的三角形先沿虚线剪开，再将两部分重新拼成一个新图形（两部分不重叠），不可能拼成的图形是（ ）。
A. 长方形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 直角梯形
（2021六上·福建宁德）
31. 明明在估计下图树叶的面积时作了一些标记。若每个方格面积是1平方厘米，这片树叶的面积不可能（ ）。
A. 小于54平方厘米B. 大于22平方厘米C. 等于24平方厘米
（2021六下·福建漳州）
32. 在一个正方形内画一个最大的圆形（如图），正方形周长是8cm，圆的面积是（ ）。
A. 200.96cm2B. 25.12cm2C. 12.56cm2D. 3.14cm2
（2022六下·辽宁 ）
33. 如图是一个“禁止驶入”的交通标志，图中有一个70cm×12cm的白色长方形，其余部分为阴影（实际为红色）。这个图形中阴影部分的面积是（ ）cm2。
四、解决问题。
（2020六下·浙江杭州 ）
34. 阅读下面一段文字，用数学知识填空．
近年来，中国修建的高铁、公路让人们出行更加方便，让中国快速发展．港珠澳大桥是在2009年开始动工建设的，到2018年正式开通运营，历时九年的时间，堪称世界奇迹．
小明在感叹港珠澳大桥的同时，也像很多游客一样对此产生了疑惑：港珠澳大桥是建在一片无望的海洋上面，没有什么东西可以阻挡，为什么大桥会建设成弯曲的形状，从A地到B地，直着走不是更节约成本吗？小明从网上了解到，大海不像河流只有一个固定的水流方向，所以在不同的地方，大海水流也是不一样的．当遇到自然灾害的时候，特别是台风，弯曲的桥梁可以减少破坏，提高整体安全系数．当小明来到桥上时，发现桥墩及采用三角形结构，小明兴奋地说“我知道为什么要采用三角形的结构，数学与生活是紧密相连的”．
请问，小明觉得“直着走更节约成本”的数学理论依据是（ ）．图中红色部分采用三角形结构的数学理论依据是（ ）．
（2022六下·北京）
35. 《蝶几谱》是中国古代组合家具的设计图。“几”是指桌型器具，“蝶几”的桌面有6种基本形状，共13张，可以根据需要自由拼组。下面是一套“蝶几”模型的平面图。
（1）《蝶几谱》中有一种拼组好的桌面，名为“葵实”，形状如图。这张“葵实”桌面的面积是（ ）dm2。
（2）“葵实”可以由哪几种基本形状的桌面拼组成，把你的拼组方案画在下图中。（注意每种基本形状桌面的张数。）
（2021六下·江苏南通）
36. 我国古代的数学名著《九章算术》中的“方田章”，记载了一种求圆的面积的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。
（1）利用这个公式求直径为8米的圆的面积。
（2）你能用所学的数学知识解释验证这样算的道理吗？试一试？
（2022六下·河南洛阳）
37. 如图分别以长方形、平行四边形、梯形的四个顶点为圆心，画半径为1厘米的圆。求每个图形中阴影部分的面积。（取3.14）
（1）笑笑直接写出：3.14×12＝3.14（平方厘米），求出了每个图形中阴影部分的面积都是3.14平方厘米。
（2）你能理解笑笑的做法吗？并用学过的数学知识解释她这样算的道理。
（3）请你计算下面左图中阴影部分的面积、右图中阴影部分的周长。
（4）反思：解决这些问题你有什么感悟？写出来分享给大家。
（2022六下·四川成都）
38. 为助力乡村生态振兴，某村规划修建一个直径20米的圆形花圃，绕花圃修一条2米宽的小路，并在小路外圈边上每隔6.28米栽一棵银杏树。（取3.14）
（1）小路的占地面积是多少平方米？
（2）一共可以栽多少棵银杏树？
第十一节：图形的认识与测量（一）平面图形
线段、射线、直线
【例1】
如图所示的直线上有A、B、C、D 四个点。图中有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。

思路引导
A、B、C、D这几个点都在同一条直线上，所以只有1条直线；每个点都把直线分成了两个方向，向每个方向都是一条不同的射线。观图可知有4个点，构成的射线一共有4×2＝8（条）；按照端点的不同，顺次数出线段的条数，有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条线段。
正确解答：1；8；6
数线段时要按照一定的顺序数；数射线时，找准端点后，要沿着不同方向数；一般地，在一条直线上，如果有n个点，那么就有2n条射线，有（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1条线段。
【变式1】
1. 下图中有几条线段？几条射线？几条直线？
【答案】3条线段， 6条射线，1条直线
【解析】
【分析】一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段，线段有两个端点；
把线段向两端无限延伸，就得到一条直线，直线没有端点，是无限长的；
把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线只有一个端点；分别计算出它们的数量即可。
【详解】线段：AB、AC、BC共3条；
以A为端点时，射线有2条；以B为端点时，射线有2条；以C为端点时，射线有2条；
因此－共有3条线段， 6条射线，1条直线。
【点睛】熟练掌握对射线、线段和直线的认识是解答此题的关键。
【例2】
下面有4个点，经过每两点画一条直线，能画（ ）直线。
思路引导
两点确定一条直线，可以在图中画一画，数一数。
正确解答：6
在解决问题时，根据题意画出示意图，将出现的情况一一列举出来。当图示比较复杂时，也可以从简单的情况入手，发现其中的规律，再根据规律推导出复杂的情况。
【变式2】
2. 先画一画，再回答问题。
（1）如图1所示过点A可以画几条直线？
（2）如图1所示以点A为端点可以画几条射线？
（3）如图2所示每两点之间画一条线段，如下四点可以画几条线段？
【答案】图见详解过程
（1）一条
（2）无数条
（3）六条
【解析】
【分析】（1）依据“两点确定一条直线”可知：过点A可以画一条直线，据此解答即可；
（2）根据射线的特点：有一个端点，无限长，不可以度量；可以得出由一点可以引出无数条射线，由此解答即可；
（3）因为任意两个点确定一条线段，所以分别以上面的点为起始点向其它的点画出线段即可。
【详解】（1）如图1所示过点A可以画一条直线。
（2）如图1所示以点A为端点可以画无数条射线。
（3）如图2所示每两点之间画一条线段，如下四点可以画六条线段。
【点睛】（1）本题考查直线、射线、及线段的知识，属于基础题，注意掌握基本概念是关键。
（2）此题考查了射线的特点。
（3）关键是利用分类的方法，画出题中的线段，注意不要重复和遗漏。
平行与垂直
【例3】
作图：（1）请画出从甲地通向小河最近的路；
（2）请画出经过丙地，与小河平行的一条路。下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺。
思路引导
思路引导（1）点到直线的距离中，垂线段最短。过代表甲地的点画小河所在直线的垂线段即可。
第一步：把三角板的一条直角边与小河的岸边线重合，另一条直角边过代表甲地的点。第二步：过这一点沿三角板的直角边画重线段，并标注垂足。
（2）把三角板的一条直角边与小河的岸边线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来和小河岸边线重合的直角边经过代表丙地的点，过这一点沿三角板的直角边画直线即可。
正确解答：作图如下：
解答此题的关键是理解点到直线的最短距离是过这一点向直线所画的垂线段。
【变式3】
3. 图中是一条小河示意图，点P是一个果园，请按下列要求在图上画一画。
（1）要把河里的水引到果园去，怎样修水渠最短最省时。
（2）以果园所在的点P为起点，向东修一条路，使这条路平行于小河CB段。
【答案】见详解
【解析】
【分析】（1）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使修水渠最短，则从P分别向AC和CB作垂线，比较两条垂线的大小，最短的那条垂线即为所求。
（2）画已知直线的平行线：先固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。平移后，沿直角边画出另一条直线。
【详解】
【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。而这个性质常用于解决求最短路线的问题。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
角的认识
【例4】
从3时到3时45分，钟面上的分针转过（ ）°，时针转过（ ）°。
思路引导
从3时到3时45分，分针转了圈，转一圈正好是一个周角：是360°，转圈是360°×＝270°；把钟面的一圈分成12个大格，时针1小时转一个大格，所对应的角是360°÷12＝30°，时针小时转了个大格，所对应的角×30°＝22.5°。
正确解答：270°；22.5°
解决此类问题要掌握钟面上数字的分布。一个钟面是一个圆，即360"有12个大格，每一大格是360°÷12＝30°，有60个小格，每一小格是6°。所以有关钟面上分针与时针的夹角以及分针、时针旋转的角度，都可以根据每格的度数来计算。
【变式4】
4. 钟面上的时间是6时45分时，时针和分针形成（ ）°的角。
【答案】67.5
【解析】
【分析】钟表里，每一大格所对的圆心角是30°，每一小格所对的圆心角是6°，在钟面上分针转动360°时，时针才转动30°（即分针每转动1°，时针转动°），根据分针每转动1°，时针转动°关系，据此解答即可。
【详解】因为分针在钟面上每转动1°，时针转动°；
所以钟表上6时45分时，此时分针指在9上，分针转过的角度是30°×9＝270°，时针转过的角度是270°×＝22.5°
30°×2＋（30°－22.5°）
＝60°＋7.5°
＝67.5°
则时针和分针形成67.5°的角。
【点睛】本题的关键是求出时针和分针之间的格子数，再根据每个格子对应的圆心角的度数，列式解答。
三角形、四边形的特性与特征
【例5】
李明准备把一根14厘米长的铁丝剪成三段，围成一个三角形。如果他第一次在6厘米处剪了一刀。那么第二次不能剪在（ ）处。
A.A B.B C.C D.D
思路引导
任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边。
14－6＝8（厘米）
A.2＋6＝8（厘米），2＋6＞6，6－2＜6，因此第二次能剪在A处。
B．3＋5＝8（厘米），3＋5＞6，5－3＜6，因此第二次能剪在B处。
C．4＋4＝8厘米），4＋4＞6，6－4＜6，因此第二次能剪在C处。
D．7＋1＝8厘米），6＋1＝7（厘米），因此第二次不能剪在D处。
正确解答：D
此类题需要根据三角形边之间的关系来解答，要使剪成的三段铁丝能够围成三角形，其中任意两段的长度之和必须大于第三段的长度，任意两段的长度之差必须小于第三段的长度。
【变式5】
（2021六下·山西太原）
5. 15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成（ ）个不同的三角形。
【答案】7
【解析】
【分析】已知铁丝的总长是15厘米，即三角形三条边的和是15厘米，且三条边中最长的边最大只能是7厘米，如果是8厘米的话，就不符合任意两边之和大于第三边的说法了。所以围绕着最长边是7厘米来判定其他两边的长度即可。
【详解】由分析可知：
第一种：5厘米、5厘米、5厘米
第二种：4厘米、5厘米、6厘米
第三种：3厘米、5厘米、7厘米
第四种：4厘米、4厘米、7厘米
第五种：1厘米、7厘米、7厘米
第六种：3厘米、6厘米、6厘米
第七种：2厘米、6厘米、7厘米
则一共可以围成7个不同的三角形。
【点睛】本题主要考查三角形三边的关系。三角形任意两条边的和大于第三边，两边之差小于第三边。

【例6】
下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（ ）。
A. B. C. D.
思路引导
观察图形，只有图形D中每一个点都可以与另外邻近的两个点构成三角形，根据三角形的稳定性可知其不容易变形。
正确解答：D
解答此题的关键是熟悉三角形和四边形的特性。三角形的特性是具有稳定性，长方形和正方形具有易变形的特性。
【变式6】
6. 用4根木条钉成一个长方形，然后向相反方向拉它的一组对角，就变成了一个平行四边形，这个平行四边形的内角和与原来长方形的内角和相比，（ ）。
A. 变大了B. 一样大C. 变小了D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】因为任意四边形的内角和都是，所以不管形状怎样变化，只要变成的图形还是四边形，它的内角和就与原来的长方形的内角和相等。据此解答即可。
【详解】这个平行四边形的内角和与原来长方形的内角和相比，一样大。
故答案为：B。
【点睛】解决本题的关键是明确任意一个四边形的内角和都是。

【例7】
等腰三角形一个底角和顶角度数的比是2∶1，这个三角形的底角是（ ）°，按角分它是一个（ ）三角形。
思路引导
根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角相等，所以等腰三角形的三个角的度数比是2∶2∶1，三角形的内角和是180°，根据按比分配的方法，底角占三角形内角和的，顶角占三角形内角和的，利用求一个数的几分之几是多少，用乘法，求出三角形的顶角和底角，再根据三角形按角分类的标准，即可判别它是一个什么样的三角形。
正确解答：
等腰三角形的三个角的度数比是2∶2∶1，
180°×＝180°×＝72°
180°×＝180°×＝36°
两个底角是72°，顶角是36°；
三个角都小于90°，所以这是一个锐角三角形。
本题是对三角形特征知识的综合性考查，不仅有等腰三角形特征的知识，还有三角形的内角和三角形的分类的知识，先根据内角和按比分配求出各角的度数是此题的关键。
【变式7】
（2022六下·辽宁锦州）
7. 一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶3，这个三角形最大的内角是（ ）度，这是一个（ ）角三角形。
【答案】 ①. 90 ②. 直
【解析】
【分析】三角形的内角和是180°，三个内角的度数比已知，利用按比例分配的方法即可求出最大角的度数，再根据最大角的度数判断三角形的形状。
【详解】180°×
＝180°×
＝90°
所以，这是一个直角三角形。
【点睛】本题主要考查按比例分配问题，解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°。
【例8】
同学们，孔子曰“温故而知新”，学过的知识要善于进行回顾和梳理。请你想一想长方形、正方形、平行四边形、梯形和四边形的关系，并填入图中相应的位置。
思路引导
正方形是特殊的正方形，正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形、长方形和平行四边形是特殊的梯形，正方形、长方形、平行四边形、梯形都是四边形。
正确解答：
本题主要是四边形分类，考查正方形、长方形、平行四边形以及梯形和四边形的关系。
【变式8】
（2022六下·山西榆次）
8. 这学期我们认识了很多图形，他们之间有着密切的联系。比如长方形和正方形的关系可以用图1表示。除此之外，也可以用这样的图（如图2）表示关系的是（ ）。
A. A表示平行四边形，B表示四边形B. A表示平行四边形，B表示长方形
C. A表示平行四边形，B表示梯形D. A表示梯形，B表示四边形
【答案】B
【解析】
【分析】A．平行四边形是特殊的四边形，四边形包括平行四边形；
B． 长方形是特殊的平行四边形，所以长方形是平行四边形的一种；
C．平行四边形是两组对边分别平行且相等的四边形，梯形是只有一组对边平行的四边形，两者没有重叠关系；
D．梯形是四边形的一种。
【详解】A．A表示四边形，B表示平行四边形，此选项错误；
B．A表示平行四边形，B表示长方形，此选项正确；
C．平行四边形和梯形不存在重叠关系，此选项错误；
D．A表示四边形，B表示梯形，此选项错误；
所以长方形和正方形的关系可以用图1表示。除此之外，也可以用这样的图（如图2）表示关系的是A表示平行四边形，B表示长方形。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握四边形的分类及其关系是解答本题的关键。
平面图形的周长和面积
【例9】
如图，一个平行四边形相邻两条边长度分别是10厘米和7厘米，其中一条底边上的高是8厘米，这个平行四边形的面积是（ ）。
A.56平方厘米 B.70平方厘米 C.80平方厘米 D.无法确定
思路引导
第一步：判断平行四边形对应的底和高。相邻的两条边长度分别是10厘米和7厘米，底是10厘米时，与底垂直的高一定小于7厘米，因此8厘米的高只能与7厘米的底对应。
第二步：应用公式求出面积。平行四边形的面积为7×8 ＝56（平方厘米）。
正确解答：A
解答本题除了要用到平行四边形的面积计算公式，还要用到另一个知识点：从一点向已知直线作的所有线段中，垂线段最短。
【变式9】
（2019六下·河北沧州）
9. 一个平行四边形，相邻两条边的长度分别是8厘米和6厘米，量得它一条边上的高是7厘米，这个平行四边形的面积是56平方厘米。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】根据平行四边形的特点可知，底边上的高一定小于另一条斜边，所以高为7厘米对应的底为6厘米，利用平行四边形面积底高，计算即可。
【详解】（平方厘米）
题干的说法是错误的。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查平行四边形的特点，分析出相对应的底和高，据公式解答即可。

【例10】
一个直角梯形，将上底延长1.2米后就变成了一个边长3米的正方形，这个直角梯形的面积是多少平方米？
思路引导
第一步：借助图形理解“上底延长1.2米，就变成了一个正方形”
根据图形可知：原梯形的高和下底相等，上底和下底相差1.2米。
第二步：求出上底、下底和高的长度。由“将上底延长1.2米后就变成了一个边长3米的正方形”，可推出下底和高为3米，上底为：3－1.2＝1.8（米）
第三步：根据梯形的面积公式来求面积。
正确解答：
上底：3－1.2＝1.8（米）
原梯形面积：（1.8＋3）×3÷2
＝4.8×3÷2
＝7.2（平方米）
答：这个直角梯形的面积是7.2平方米。
此类图形变化的问题，可以通过画图来理解，解题的关键是找到不变的量。
【变式10】
（2022六上·陕西西安）
10. 把一个梯形的上底缩短a厘米（上底长厘米），下底延长a厘米，高不变，新的梯形与原来的梯形相比，（ ）。
A. 面积变小B. 面积变大C. 面积不变D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，若“缩短a厘米（上底长厘米），下底延长a厘米，高不变”则（上底＋下底）的和不变，且高不变，从而得知梯形的面积也不变。
【详解】因为梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，
若“缩短a厘米（上底长厘米），下底延长a厘米，高不变”则
新梯形面积＝（上底－a＋下底＋a）×高÷2＝（上底＋下底）×高÷2
所以梯形的面积不变。
故答案为：C
【点睛】此题主要考查梯形面积公式，关键是明白上底与下底的和不变，高不变，则其面积不变。
【例11】
如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。
（1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？
（2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点（ ）。（括号里填、、或。）
思路引导
（1）当小圆从大圆上的点 A 出发，沿着大圆滚动，第一次回到点 A 时，小圆的圆心走过路线的长度是半径为6＋2＝8厘米的圆一周的长度；
（2）小圆的半径是 2cm ，大圆的半径是 6cm，则小圆滚动3圈后才能回到A点，这个过程中M点与大圆接触3次；M第9次与大圆接触时，小圆又回到A点，小圆第10次与大圆接触时，是走了大圆一周的，即12.56厘米，更接近于B点。
正确解答：
（1）2×3.14×（2＋6）
＝2×3.14×8
＝50.24（厘米）
答：小圆的圆心走过路线的长度是50.24厘米。
（2）根据分析可得，当点M第10次与大圆接触时，点M 更接近大圆上的点B。
本题考查圆的周长，首先是分析圆的运动轨迹，其次明确大圆与小圆的半径关系与周长关系，两个圆的周长比与半径比相同，大圆的半径是小圆半径的多少倍，大圆的周长就是小圆周长的多少倍。
【变式11】
（2020六下·北京西城）
11. 如下图，小圆贴着大圆的内侧从点开始按箭头所指方向滚动（大圆不动）。
（1）小圆自身至少需要滚动多少周才能回到点？（用你喜欢的方式说明理由）
（2）小圆经过滚动回到点，请在图3中用圆规画出小圆圆心走过的轨迹。
【答案】（1）2周（2）见详解
【解析】
【分析】（1）小圆贴着大圆的内侧从A点开始按箭头所指方向滚动，所走的路程等于大圆周长时能够回到A点；
（2）小圆圆心走过的轨迹就是以大圆圆心为圆心，小圆半径为半径的圆。
【详解】（1）（3.14×6）÷[3.14×（6÷2）]
＝18.84÷[3.14×3]
＝18.84÷9.42
＝2（周）
答：小圆自身至少需要滚动2周才能回到A点。
（2）
【点睛】本题主要考查圆的周长公式的应用，解题的关键是理解所走的路程与大圆周长之间的关系。
组合图形面积的计算
【例12】
在直径是4厘米的圆中，有一个最大的正方形ABCD（如下图），求图中阴影部分的面积。
思路引导
第一步：求出圆的半径，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。
第二步：观察图形，因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成两个三角形，这两个三角形的底相当于圆的直径，高相当于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积。
第三步：用圆的面积减去正方形的面积。
正确解答：
圆的半径：4÷2＝2（厘米）
圆的面积：
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
正方形的面积：
4×2÷2×2
＝8÷2×2
＝8（平方厘米）
阴影部分面积：12.56－8＝4.56（平方厘米）
本题考查正方形的对角线与圆的直径关系，利用圆的面积、正方形面积公式解答问题。特别提示：一般求正方形的面积采用“边长×边长”的方法，也可以用“对角线×对角线÷2”的方法。在这道题中正方形的对角线就是圆的直径，所以用后一种方法更方便。还可以把这个正方形看成四个小三角形，这四个小三角形都是等腰直角三角形，且直角边都相当于圆的半径。
【变式12】
（2022六下·四川成都）
12. 已知下图正方形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，求出小正方形的面积是（ ）平方厘米，它恰好是圆半径的平方，从而可求出圆面积是（ ）平方厘米，进而可求出阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
【答案】 ①. 7 ②. 21.98 ③. 6.02
【解析】
【分析】解答此题的思路是在无法直接求出半径的情况下，我们可以直接求出半径的平方，再计算圆的面积，据此解答。
【详解】已知下图正方形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，求出小正方形的面积是28÷4＝7（平方厘米），它恰好是圆半径的平方，从而可求出圆面积是3.14×7＝21.98（平方厘米），进而可求出阴影部分的面积是28－21.98＝6.02（平方厘米）。
【点睛】此题运用到了数学中常见的转化思想，做题时要学会灵活运用，使问题简单化。
【例13】
下面是一个长方形的草坪，中间有两条人行道，求草坪的面积。（单位：米）
思路引导
仔细观察图形，可以发现草坪的面积有多种计算方法。
方法一：添补法，草坪的面积等于长方形的面积减去两个空白平行四边形的面积。
平行四边形的高是14米，平行四边形的底是（32－28）÷2＝2（米），长方形的面积是32×14＝448（平方米），人行道的面积是2×14×2＝56（平方米），草坪的面积就是448－56＝392（平方米）。
方法二：分割法，草坪的面积等于三个三角形的面积之和。
仔细观察会发现，上面两个倒放的三角形底的和是28米，下面正放的三角形的底是28米，三个三角形的高都是14米，因此，草坪的面积是28×14÷2×2＝392（平方米）。
方法三：转化法，即用等积变形的思想来分析。移动左右两个三角形，同中间的三角形接起来，就会得到一个新的长方形，这个长方形的长是28米，宽是14米，因此，草坪的面积是28×14＝392（平方米）。
正确解答：
方法一：（32－28）÷2＝2（米）
32×14＝448（平方米）
2×14×2＝56（平方米）
448－56＝392（平方米）
答：草坪的面积392平方米。
方法二：28×14÷2×2＝392（平方米）
答：草坪的面积392平方米。
方法三 ：28×14＝392（平方米）
答：草坪的面积392平方米。
比较复杂的组合图形在解答时，可能会有多种方法，只要灵活掌握各种方法的要领，就可以很简单地解决问题。
【变式13】
（2021六下·北京西城）
13. 下图中有一个半圆和一个扇形。甲、乙两个阴影部分相比较，甲面积（ ）乙面积。（括号里填“大于”“小于”或“等于”。）
【答案】等于
【解析】
【分析】甲的面积＝半圆－空白部分，乙的面积＝扇形－空白部分，求出半圆和扇形面积比较即可。
【详解】3.14×（2÷2）²÷2
＝3.14×1÷2
＝1.57（平方分米）
3.14×2²×
＝3.14×4×
＝1.57（平方分米）
半圆面积＝扇形面积，减去同样的空白部分依然相等，所以甲面积等于乙面积。
【点睛】关键是明白两个阴影部分的求法，半圆面积＝圆的面积÷2，扇形面积＝圆的面积×。
一、填空。
（2021六下·北京）
14. 下面这篇数学日记中，说法不恰当的是（ ）。
数学日记
我今年10岁啦，上四年级，我的家在北京。今天的数学课上，我学习了线段、射线、直线和角的认识。我知道了①经过一点可以画无数条直线，②经过两点只能画一条直线。我在笔记本上画了③一条5厘米长的射线，④原来手电筒射出的光线也可以看成射线。
【答案】③
【解析】
【分析】线段有两个端点；把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线只有一个端点；把线段向两端无限延伸，就得到一条直线，直线没有端点，是无限长的，据此解答。
【详解】①经过一点可以画无数条直线，题目说法正确；
②经过两点只能画一条直线，题目说法正确；
③把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线是无限长的，题目说法错误；
④手电筒或探照灯等射出来的光线，都可以看作射线，题目说法正确。
【点睛】掌握射线、线段、直线的意义是解答题目的关键。
（2021六下· 浙江台州仙居）
15. 数一数下面的图形中有（ ）个平行四边形，（ ）个梯形。
【答案】 ①. 6 ②. 8
【解析】
【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；由两个小图形组成的平行四边形有4个，由四个小图形组成的平行四边形有2个；
只有一组对边平行的四边形叫做梯形，单个的梯形有4个，由两个小图形组成的梯形有1个，由三个小图形组成的梯形有2个，由六个小图形组成的梯形有1个，依此计算。
【详解】4＋2＝6（个），即图形中有6个平行四边形；
4＋1＋2＋1＝8（个），即图形中有8个梯形。
【点睛】熟练掌握平行四边形和梯形的特点是解答此题的关键。
（2021六下·江苏南京）
16. 在研究梯形面积公式时，小明把梯形分成了两个三角形，先用字母公式表示出两个三角形的面积，再把它们加起来，根据乘法分配律，也得到了梯形面积公式。（如下图，单位厘米），请你根据小明的思路完成下面填空。
（1）①号三角形的面积＝______；②号三角形的面积＝______；
（2）梯形面积S＝______＋______＝______ 。
【答案】 ①. bh÷2 ②. ah÷2 ③. bh÷2 ④. ah÷2 ⑤. （a＋b）×h÷2
【解析】
【分析】（1）把梯形分成两个三角形，根据三角形的面积公式：底×高÷2，①号三角形的面积＝bh÷2，②号三角形的面积＝ah÷2；
（2）由图可知，梯形的面积＝①号三角形的面积＋②号三角形的面积，梯形的面积＝bh÷2＋ah÷2，通过变形即可求出梯形的面积公式。
【详解】（1）①号三角形的面积＝bh÷2；②号三角形的面积＝ah÷2；
（2）梯形的面积＝bh÷2＋ah÷2＝（a＋b）×h÷2
【点睛】此题考查的目的是理解掌握梯形面积公式的推导过程。
（2021六下·江苏南京）
17. 一个平行四边形被分成甲、乙、丙3个三角形，已知甲的面积比丙小22.5平方厘米，丙的面积比乙大12.5平方厘米，则丙的面积是（ ）平方厘米。
【答案】35
【解析】
【分析】由图可知：丙的面积是平行四边形面积的一半，故丙的面积＝甲的面积＋乙的面积；甲的面积比丙小22.5平方厘米，则乙的面积是22.5平方厘米；丙的面积比乙大12.5平方厘米，则甲的面积是12.5平方厘米，由此可得丙的面积是22.5＋12.5平方厘米；据此解答。
【详解】22.5＋12.5＝35（平方厘米）
【点睛】理解“丙的面积＝甲的面积＋乙的面积”是解答本题的关键。
（2022六下·河南洛阳）
18. 下图描述了我国魏晋时期数学家刘徽采用“（ ）”，来求圆的周长的近似值。
【答案】割圆术
【解析】
【详解】刘徽从圆内接六边形开始，将边数逐次加倍，得到的圆内接正多边形就逐步逼近圆，则图中描述了我国魏晋时期数学家刘徽采用“割圆术”，来求圆的周长的近似值。
（2021六上·福建南平）
19. “外圆内方”与“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处事的朴素道理。如果图1中外圆的半径是2dm，则圆内大正方形的面积是（ ）dm2。如果图2中外面正方形的面积是12dm2，则内圆的面积是（ ）dm2。
【答案】 ①. 8 ②. 9.42
【解析】
【分析】图1，外圆内方，正方形的对角线长度等于圆的直径，把正方形分成两个完全一样的等腰三角形，每个三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答；
图2，外方内圆，圆的直径等于正方形的边长，由正方形的面积可以求出正方形的边长，再根据圆的面积公式：，把数据代入公式解答。
【详解】2×2×2××2
＝8××2
＝8（dm2）
图6，因为正方形面积＝边长×边长＝12dm2，则
3.14×
＝3.14××边长2
＝3.14××12
＝9.42（dm2）
【点睛】此题考查的目的是理解掌握外方内圆、外圆内方，正方形内最大圆的面积和圆内最大正方形的面积的计算方法及应用。
（2021六下·北京西城）
20. 如图，一张直径是的圆桌，上面铺了一块直径是的圆形桌布。桌布下垂部分的面积是（ ）。
【答案】62.8
【解析】
【分析】先分别求出桌布和圆桌的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，把数据分别带入求出圆形桌布和圆桌的面积，最后根据桌布下垂部分的面积＝圆形桌布面积－圆桌的面积，求解即可。
【详解】3.14×（12÷2）2－3.14×（8÷2）2
＝3.14×6×6－3.14×4×4
＝113.04－50.24
＝62.8（）
桌布下垂部分的面积是62.8。
【点睛】本题重点考查圆环的面积，明确桌布下垂部分的面积就是圆环的面积是解答本题的关键。
二、判断。
（2021六下·四川成都）
21. 角的大小与角的两条边的长短无关。（ ）
【答案】√
【解析】
【分析】由一点引出的两条射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关，叉开越大角就越大，反之越小；据此即可解答。
【详解】根据分析可知，角的大小与边的长短没有关系，只与角的两条边叉开的大小有关系，原说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查学生对影响角的大小因素的掌握和灵活运用。
（2022六下·山西太原）
22. 同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线。（ ）
【答案】√
【解析】
【分析】在同一平面内，两条直线不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况，据此解答。
【详解】同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线。原题说法正确，故答案为：√。
【点睛】本题考查同一平面内两条直线的关系，掌握分析中的概念是解题的关键。
（2021六下·广东广州）
23. 任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】有两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
两个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形，据此判断。
【详解】两个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形，等底等高的梯形不一定是完全一样的，所以不一定能拼成平行四边形。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】明确等底等高的两个梯形的面积相等，但形状不一定相同。
（2022六下·山东潍坊）
24. 一个三角形的三个内角的度数比是1∶3∶5，它一定是钝角三角形。（ ）
【答案】√
【解析】
【分析】已知三角形的内角和是180°，根据三角形的内角度数之比，按比例分配求出最大的一个角，即可判断三角形的类型。
【详解】180÷（1＋3＋5）×5
＝180÷9×5
＝20×5
＝100（度），这个三角形是钝角三角形。
故答案为：√
【点睛】此题考查了按比例分配问题，牢记三角形的内角和认真计算即可。
（2022六下·吉林长春）
25. 两个圆的半径比是2∶5，这两个圆的面积比是4∶10。（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】根据题干可知，假设两个圆的半径比是2和5，根据圆面积公式：S＝πr²求出两个圆的面积比即可解答。
【详解】假设两个圆的半径比是2和5，他们的面积分别是：2²π和5²π；
这两个圆的面积比是：
（2²π）∶（5²π）
＝4∶25
故答案：×
【点睛】此题考查的是半径比和圆面积比的关系，解答此题关键是根据圆面积公式分别求出面积。
三、选择。
（2022六下·福建厦门）
26. 下面说法错误的是（ ）。
A. 一条直线长6厘米B. 钟面上2时整，分针和时针成锐角
C. 角的两边张开得越大，角越大D. 经过两点，可以画1条线段
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线、线段的含义；
2时整时，分针指向12，时针指向2，中间有2个大格，每个大格之间的夹角是30度，所以2个大格之间的度数是：30°×2＝60°，再根据锐角的含义：小于90°的角是锐角；
角的大小与两边张口的大小有关，张口越大，角越大，张口越小，角越小，和两边的长短无关；
据此解答即可。
【详解】A、因为直线无端点，无限长，所以一条直线长6厘米说法错误；
B、钟面上2时整时，分针和时针成的角是：2×30°＝60°，60度是锐角，说法正确；
C、角的两边张开的越大，角越大，说法正确；
D．线段有两个端点，经过两点，可以画1条线段，说法正确。
故选：A。
【点睛】此题涉及的知识点较多直线、线段、角，应注意平时基础知识的积累。
（2022六下·辽宁锦州）
27. 下面（ ）组中的三条线段不能围成一个三角形。
A. 5厘米、6厘米、7厘米B. 5厘米、5厘米、10厘米
C. 3厘米、6厘米、4厘米D. 2厘米、3厘米、4厘米
【答案】B
【解析】
【分析】能组成三角形，三条边必须要符合三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边；据此解答。
【详解】A．5＋6＝13，13＞7；
5厘米、6厘米、7厘米能围成一个三角形；
B．5＋5＝10
5厘米、5厘米、10厘米不能围成一个三角形；
C．3＋4＝7，7＞6；
3厘米、6厘米、4厘米能围成一个三角形；
D．2＋3＝5，5＞4；
2厘米、3厘米、4厘米能围成一个三角形。
故答案为：B
【点睛】掌握三角形的三边关系及应用是解题的关键。
（2021六下·福建漳州）
28. 张爷爷要给自家的菜地围上篱笆，下面围法中，（ ）的围法更牢固些。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形易变形的特征进行判断。
【详解】B、C、D围成的图形是四边形，易变形，这些围法不牢固；A围成的图形是三角形，三角形具有稳定性，这种围法更牢固些。
故答案为：A
【点睛】理解和运用三角形的稳定性是解题的关键。
2021六下·江苏扬州）
29. 一摞练习本摆成长方体，再均匀地斜放（如图），则前面变成了一个近似的平行四边形。长方形和近似平行四边形相比，（ ）。
A. 周长和面积都不变B. 周长不变，面积变小
C. 周长变大，面积不变D. 周长和面积都变了
【答案】C
【解析】
【分析】观察图可知，把一摞练习本先摆成长方体，再均匀地斜放，则前面由长方形变成一个近似平行四边形，有两条边长度变长了，所以这个长方形和近似平行四边形相比，周长变大了，底与长方形的长相等，高与长方形的宽相等，所以面积不变。
【详解】由分析可知：由长方形变成近似的平行四边形，周长变大了，面积不变。
故答案为：C。
【点睛】解决本题的关键是了解两个图形变化前后各边的长度变化，以及底和高的变化。本题属于易错题。
（2022六下·北京 ）
30. 我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。把下图中的三角形先沿虚线剪开，再将两部分重新拼成一个新图形（两部分不重叠），不可能拼成的图形是（ ）。
A. 长方形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 直角梯形
【答案】D
【解析】
【分析】认真观察，通过旋转、对称等图形运动的方法，可以拼成新的图形，根据分割、移补的集中情况进行选择，也可以拿张三角形纸片拼一拼，帮助理解。
【详解】A．上半部分沿右边中点顺时针旋转，可以拼成长方形；
B．上半部分沿左边中点顺时针旋转，可以拼成平行四边形；
C．上半部分先对称再拼到下半部分的左侧，可以拼成等腰梯形；
D．无法拼成直角梯形。
故答案为：D
【点睛】这种以盈补虚出入相补的证明方式从刘徽之后，一直是中国古代数学推导图形面积公式的传统方法。
（2021六上·福建宁德）
31. 明明在估计下图树叶的面积时作了一些标记。若每个方格面积是1平方厘米，这片树叶的面积不可能（ ）。
A. 小于54平方厘米B. 大于22平方厘米C. 等于24平方厘米
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形发现，是心形，左右两边对称，左边的面积大于11平方厘米，整片树叶大于22平方厘米，而剩下不满1格的面积肯定大于2平方厘米，所以这片树叶的面积不可能等于24平方厘米。
【详解】这片树叶的面积不可能等于24平方厘米。
故答案为：C。
【点睛】本题考查不规则图形的面积，解答本题的关键是掌握求不规则图形的面积的方法。
（2021六下·福建漳州）
32. 在一个正方形内画一个最大的圆形（如图），正方形周长是8cm，圆的面积是（ ）。
A. 200.96cm2B. 25.12cm2C. 12.56cm2D. 3.14cm2
【答案】D
【解析】
【分析】正方形的周长公式：周长＝边长×4，计算出边长＝2cm，即圆的直径等于2cm，所以圆的半径等于1cm，利用圆的面积求出圆的面积。
【详解】8÷4＝2（cm）
2÷2＝1（cm）
3.14×1×1＝3.14（cm2）
故答案为：D
【点睛】此题的解题关键是掌握正方形的周长公式和圆的面积公式，先求出边长，利用边长和圆的直径的关系，解出最终的结果。
（2022六下·辽宁 ）
33. 如图是一个“禁止驶入”的交通标志，图中有一个70cm×12cm的白色长方形，其余部分为阴影（实际为红色）。这个图形中阴影部分的面积是（ ）cm2。
【答案】4184
【解析】
【分析】圆的直径是80cm，根据圆的面积公式S＝πr2，用3.14×（80÷2）2求出圆的面积，再用圆的面积减去白色长方形的面积即可求出阴影部分的面积。
【详解】3.14×（80÷2）2－70×12
＝3.14×40×40－70×12
＝5024－840
＝4184（cm2）
所以这个图形中阴影部分的面积是4184cm2。
【点睛】本题重点考查圆的面积公式，明确阴影部分的面积＝圆的面积－白色长方形面积是解题的关键。
四、解决问题。
（2020六下·浙江杭州 ）
34. 阅读下面一段文字，用数学知识填空．
近年来，中国修建的高铁、公路让人们出行更加方便，让中国快速发展．港珠澳大桥是在2009年开始动工建设的，到2018年正式开通运营，历时九年的时间，堪称世界奇迹．
小明在感叹港珠澳大桥的同时，也像很多游客一样对此产生了疑惑：港珠澳大桥是建在一片无望的海洋上面，没有什么东西可以阻挡，为什么大桥会建设成弯曲的形状，从A地到B地，直着走不是更节约成本吗？小明从网上了解到，大海不像河流只有一个固定的水流方向，所以在不同的地方，大海水流也是不一样的．当遇到自然灾害的时候，特别是台风，弯曲的桥梁可以减少破坏，提高整体安全系数．当小明来到桥上时，发现桥墩及采用三角形结构，小明兴奋地说“我知道为什么要采用三角形的结构，数学与生活是紧密相连的”．
请问，小明觉得“直着走更节约成本”的数学理论依据是（ ）．图中红色部分采用三角形结构的数学理论依据是（ ）．
【答案】 ①. 两点之间，线段最短 ②. 三角形具有稳定性
【解析】
【详解】直着走更节约成本，主要考虑的是“两点之间，线段最短”；采用三角形的结构的原因是“三角形具有稳定性”．
故答案为两点之间，线段最短；三角形具有稳定性．
（2022六下·北京）
35. 《蝶几谱》是中国古代组合家具的设计图。“几”是指桌型器具，“蝶几”的桌面有6种基本形状，共13张，可以根据需要自由拼组。下面是一套“蝶几”模型的平面图。
（1）《蝶几谱》中有一种拼组好的桌面，名为“葵实”，形状如图。这张“葵实”桌面的面积是（ ）dm2。
（2）“葵实”可以由哪几种基本形状的桌面拼组成，把你的拼组方案画在下图中。（注意每种基本形状桌面的张数。）
【答案】（1）16；（2）见详解
【解析】
【分析】（1）“葵实”的面积占了12个整格和8个半格，算出面积相加即可；
（2）数清楚基本形状的边长等数据，和“葵实”的形状比较就能找到拼组方案。
【详解】（1）12×1＋8÷2
＝12＋4
＝16（dm2）
（2）
（答案不唯一）
【点睛】本题考查图形的拼组和不规则图形的面积计算。
（2021六下·江苏南通）
36. 我国古代的数学名著《九章算术》中的“方田章”，记载了一种求圆的面积的方法：“周径相乘，四而一。”意思就是用圆的周长和直径相乘，再除以4，就可以得到这个圆的面积。
（1）利用这个公式求直径为8米的圆的面积。
（2）你能用所学的数学知识解释验证这样算的道理吗？试一试？
【答案】（1）50.24平方米
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）可按照题目里的公式来计算即可；
（2）用圆的周长乘直径，再除以4，即C×d÷4＝（π×d）×d÷4＝π××＝πr2，说明两种方法本质上是一样的。
【详解】（1）C＝πd＝3.14×8＝25.12（米）
25.12×8÷4
＝200.96÷4
＝50.24（平方米）
（2）C×d÷4
＝（π×d）×d÷4
＝π××
＝πr2
即“周径相乘，四而一。”的方法与我们现在计算圆面积的方法不同，但结果一致。
【点睛】通过推导计算，明白古人的方法也是合理的，使我们对于圆面积的求法得到了拓展。
（2022六下·河南洛阳）
37. 如图分别以长方形、平行四边形、梯形的四个顶点为圆心，画半径为1厘米的圆。求每个图形中阴影部分的面积。（取3.14）
（1）笑笑直接写出：3.14×12＝3.14（平方厘米），求出了每个图形中阴影部分的面积都是3.14平方厘米。
（2）你能理解笑笑的做法吗？并用学过的数学知识解释她这样算的道理。
（3）请你计算下面左图中阴影部分的面积、右图中阴影部分的周长。
（4）反思：解决这些问题你有什么感悟？写出来分享给大家。
【答案】（2）理解，理由见详解；
（3）左图面积：28.26平方厘米，右图周长：85.68厘米；
（4）见详解
【解析】
【分析】（2）笑笑的做法是正确的，因为四边形内角和为360°，也就是4个扇形拼成一个圆，即长方形、平行四边形、梯形中阴影部分面积均等于同半径的圆的面积；
（3）左图中两侧的半圆，经过水平移动，能拼接成一个直径为6厘米的整圆，则S左图阴影＝3.14×（6÷2）2＝28.26（平方厘米）；
右图中阴影部分周长可看作一个直径为12厘米的圆的周长与一个边长为12厘米的正方形的周长之和，则C右图阴影＝3.14×12＋12×4＝85.68（厘米）；
（4）由以上解答可知：是把复杂分散的图形转化为简单集中的图形，从而便于计算其面积和周长。
【详解】（2）理解；
理由如下：
①长方形中阴影部分是4个圆心角为90°、半径为1的扇形，90°×4＝360°，则阴影部分面积相当于一个半径为1厘米的圆的面积，即：3.14×12＝3.14（平方厘米）；
②③平行四边形内角和＝（4－2）×180°＝360°，同理，平行四边形4个顶点上的阴影部分面积相当于半径为1厘米的圆的面积，即：3.14×12＝3.14（平方厘米）；梯形也是一样的道理。
（3）S左图阴影＝3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
C右图阴影＝3.14×12＋12×4
＝37.68＋48
＝85.68（厘米）
（4）我的感悟：数学要学会运用转化思想，把复杂的规律转化为简单易懂的知识。
【点睛】充分理解四边形内角和是360°，以及联想平移变换使图形组合为利于解题的形状；这些也是转化思想的体现。
（2022六下·四川成都）
38. 为助力乡村生态振兴，某村规划修建一个直径20米的圆形花圃，绕花圃修一条2米宽的小路，并在小路外圈边上每隔6.28米栽一棵银杏树。（取3.14）
（1）小路的占地面积是多少平方米？
（2）一共可以栽多少棵银杏树？
【答案】（1）138.16平方米；
（2）12棵
【解析】
【分析】（1）根据花圃的直径求出花圃的半径，外圈半径＝花圃半径＋小路宽，最后利用“”求出小路的占地面积；
（2）根据“”求出小路外圈周长，在封闭图形上面植树，棵数等于间隔数，最后利用“间隔数＝总长÷间距”求出栽种银杏树的棵数。
【详解】（1）20÷2＝10（米）
314×[（10＋2）2－102]
＝3.14×[122－102]
＝3.14×44
＝138.16（平方米）
答：小路的占地面积是138.16平方米。
（2）2×3.14×（20÷2＋2）÷6.28
＝2×3.14×（10＋2）÷6.28
＝2×3.14×12÷6.28
＝6.28×12÷6.28
＝6.28÷6.28×12
＝12（棵）
答：一共可以栽12棵银杏树。
【点睛】掌握圆环的面积和圆的周长计算公式是解答题目的关键。