2025年小升初复习(全国通用)：知识点10探索规律(原卷版+解析)

这是一份2025年小升初复习(全国通用)：知识点10探索规律(原卷版+解析)，共29页。

数列中的规律
【例1】
1. 按下面数列的排列规律填数
(1)，（ ）,（ ）,,
(2)4，1，（ ），，，（ ）
探索数列中数字排列的规律，要在数列中相邻两个数的和、差、倍、商（比）的关系中尝试发现规律。
【变式1】
2. 根据“2.12，2.18，2.24，2.30，2.36”中的规律，下一个数是（ ）。
A. 2.15B. 2.41C. 2.42
【例2】
3. 下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m＝（ ）。
A. 38B. 52C. 74D. 86
探索数字排列规律的过程中，有时候规律不那么明显，需要结合题目中的已知数据认真观察、分析、发现规律，推理出未知部分，进而解答问题。
【变式2】
4. 在如图百数表中，用十字架框住五个数（如图），这五个数之和可能是（ ）
A. 205B. 216C. 220D. 224
图形中的规律
【例3】
5. 下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。按规律，第6幅图铺瓷砖一共（ ）块，第8幅图中的黑瓷砖一共（ ）块，第10幅图中的白瓷砖共有（ ）块。
解决以直观图呈现的数字规律问题时，需要把“形”转化为“数”，再探索数字的变化规律。
【变式3】
（2022六下·陕西榆林）
6. 用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案。第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（ ）个白色正方形。
【例4】
7. 用相同的直角三角形进行拼图游戏（如下图），请观察图中的拼图规律，第⑤幅图的周长是（ ）cm，照这样排下去，第⑩幅图的周长是（ ）cm。
对于探索图形的变化规律，可以通过观察图形在某一方面的特征，找到他们的变化规律，并根据找到的规律来推断结果。对于稍微复杂的图形，有时需要把图形分成几个部分，单独考虑其中每个部分的变化，从而使复杂问题简单化。
【变式4】
（2021六下·河北秦皇岛）
8. 将完全相同的等腰梯形按图中的规律拼摆，请你填全表格。
算式中的规律
【例5】
9. 先用计算器计算，再找规律解决问题。
（1）66×99＝（ ）
（2）666×999＝（ ）
（3）6666×9999＝（ ）
（4）666666×999999＝（ ）
（5）的乘积是（ ）位数，所有数字之和是（ ）。
探索算式中的规律时，可以运用计算器计算、探索并发现规律，然后根据发现的规律计算出更加复杂的算式得数。
【变式5】
10. 用计算器计算，并找出规律。
1×1＝1
11×11＝121
111×111＝12321
1111×1111＝（ ）
11111×11111＝（ ）
111111×111111＝（ ）
1111111×1111111＝（ ）
11111111×11111111＝（ ）
111111111×111111111＝（ ）

【例6】
11. ，，观察算式，根据其中的规律请你写一道这样的算式（ ）。
在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
【变式6】
12. ①13+23＝9，（1+2）2＝9；
②13+23+33＝36，（1+2+3）2＝36；
③13+23+33+43＝100，（1+2+3+4）2＝100；
……
通过观察发现：13+23+33+43+53+63＝_____．（填得数）

一、填空。
（2021六下·深圳福田）
13. 德国数学家马力欧·西格麦尔于1980年发明了一个非常特别的数列。数列的规律与数的大小无关，从第二个数起，每个数都是对上一个数的描述。第一个数：1，第二个数：11，第三个数：21，第四个数：1211，第五个数：111221，第六个数是（ ）。
（2021六下·四川成都）
14. 有一串分数，按如下规律排列：、、、、、、、、、、、、、、、……。从左往右数，第一次出现的排在这串分数中的第（ ）个，第408个分数是（ ）。
（2022六下·河南郑州）
15. 中国是一个多民族国家，其中我国苗族的千人长桌宴席的最高形式与隆重礼仪已有几千年的历史。如上图所示，长桌像这样拼下去，5张桌子拼在一起可以坐（ ）人，n张桌子拼在一起可以坐（ ）人。
（2022六下·福建泉州）
16. 将任意一个长方形分成a、b、c、d四个小长方形，它们面积都暗藏规律。请观察下面的几个例子，回答问题。
（1）第三幅图中的小长方形c的面积是（ ）。
（2）请用一个等式表示a、b、c、d这四个小长方形面积之间的关系。（ ）
（2021六下·四川巴中）
17. 观察点阵中的规律，第17个方框中内有（ ）个点。
（2021六下·河南开封）
18. 如下图，按照前面四幅图的规律，写出第五幅图中的正方形里共有（ ）个圆，再写出第九幅图中的正方形里共有（ ）个圆。
（2022六下·河南郑州）
19. 某条道路上，每隔900米有一个红绿灯，所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换，一辆汽车在第一个路口处遇到绿灯后，要想在所有的红绿灯路口都遇到绿灯，则他最快该以每小时______千米的速度行驶。
二、选择。
（2021六上·福建宁德）
20. 如果▲＋◆＋●＝21，▲＝◆＋◆；◆＝●＋●；那么，◆＝（ ）。
A. 3B. 6C. 7D. 12
（2022六下·江苏盐城）
21. 下图中正方体的 6 个面分别写着 A、B、C、D、E、F，F相对的面是（ ）。
A. AB. BC. CD. E
（2021六下·江苏宿迁）
根据问题，选择答案。
问题：请观察下图中的规律，若要摆出10个正方形，需要几根火柴？
假设正方形的个数用表示。
解法一：开始先放1根火柴，第一个正方形增加3根，以此类推，所以规律是……
解法二：第一个正方形用了4根火柴，第二个正方形增加3根火柴，以此类推，所以规律是……
22. 解法一得到的规律可能是（ ）。
A. B. C.
23. 解法二得到规律可能是（ ）。
A. B. C.
24. 两种解法都正确吗？算算看，答案是（ ）。
A. 都正确，10个正方形共需要31根火柴
B. 只有解法一正确，10个正方形共需要34根火柴
C. 只有解法二正确，10个正方形共需要34根火柴
（2022六下·山西太原）
25. 下面算式中，与1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1的得数相等的是（ ）
A. 52＋32B. 42＋52C. 52﹣32
（2021六下·北京）
26. 小红用计算器探索计算规律，她算出了以下3个算式的积。
7×9＝63 77×99＝7623 777×999＝776223
照此规律，第7个算式的积是（ ）。
A. 777777762222222B. 7777776222222C. 77777762222223D. 7777762222223
三、根据规律计算。
（2021六下·江苏盐城）
27. 已知：＝＋，＝＋，＝＋，利用规律计算：1＋－＋－＋－。
四、探索与发现。
（2021六下· 浙江台州仙居）
28. 莉莉在研究“最多能分多少块”的问题，列了如下一张表格。
（1）若在一张圆形纸片上画4条直线，最多能把它分成（ ）块。
（2）若在一张圆形纸片上画6条直线，最多能把它分成（ ）块。
（3）若在一张圆形纸片上画n条直线，最多可以分成（ ）块。
（4）如果想分成56块，至少需要画（ ）条直线。
（2021六下·陕西西安）
29. 我国古代劳动人民创造了“铺地锦”的方法计算乘法。下面就是123×48＝5904的计算过程，仔细观察，发现规律，再试着用这种方法计算812×39。
（2020六下·江苏苏州）
30. 小明的爸爸经常往返上海——南京出差。为了方便爸爸查询沪宁高铁各站点间的距离，小明特意制作了一张高铁“里程速查表”（单位：千米）。从上海到南京的6个城市中，任意两个城市之间的铁路里程都可以迅速地从该表中查到。比如，查无锡到镇江的铁路里程，可以先在表中找到“无锡”，往下看，有一列数；再找到“镇江”，往左看一行数。这一列和一行数的交叉点处的数“114”，就是无锡到镇江的铁路里程数。仔细观察这张表，完成以下问题：
（1）苏州到镇江的铁路里程是（ ）千米，如果乘坐的高铁行驶的平均速度是200千米/小时，从苏州到镇江需要（ ）小时。
（2）按照图中规律可以推算：
（ ），（ ）。
第十节：数量关系（四） 探索规律
数列中的规律
【例1】
1. 按下面数列的排列规律填数
(1)，（ ）,（ ）,,
(2)4，1，（ ），，，（ ）
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【详解】思路引导：
（1）观察第一组数据发现：，，⋯⋯由此得出从第二个数开始，每个数都是前面数的3倍。
（2）观察第二组数据发现：4÷4＝1，1÷4＝，⋯⋯由此得出从第二个数开始，每个数都是前面数除以4（或乘）得到的。
正确解答：
（1）；；
（2）；
探索数列中数字排列的规律，要在数列中相邻两个数的和、差、倍、商（比）的关系中尝试发现规律。
【变式1】
2. 根据“2.12，2.18，2.24，2.30，2.36”中的规律，下一个数是（ ）。
A. 2.15B. 2.41C. 2.42
【答案】C
【解析】
【分析】分析“2.12，2.18，2.24，2.30，2.36”可知，前面的数加0.06等于后面的数，据此即可解答。
【详解】2.36＋0.06＝2.42，所以下一个数是2.42。
故答案为：C
【点睛】找出数字排列的规律是解答本题关键。
【例2】
3. 下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m＝（ ）。
A. 38B. 52C. 74D. 86
【答案】D
【解析】
【分析】观察各正方形中左上角的数，依次是0、2、4、6，依次加2；各正方形中右上角的数，依次是4、6、8，也是依次加2；各正方形中左下角的数，依次是2、4、6，也是依次加2；先求出第4个正方形中右上角的数是10，左下角的数是8；观察各正方形中右下角的数，，，，右下角的数等于左上角的数加上左下角与右上角的数之积，据此求出m的值。
【详解】
，故答案为：D
【点睛】不同考查的是数字找规律问题，右下角的数依次是8、26、52、86，相邻两个数的差依次是18、26、34。
探索数字排列规律的过程中，有时候规律不那么明显，需要结合题目中的已知数据认真观察、分析、发现规律，推理出未知部分，进而解答问题。
【变式2】
4. 在如图的百数表中，用十字架框住五个数（如图），这五个数之和可能是（ ）
A. 205B. 216C. 220D. 224
【答案】C
【解析】
【详解】解：设中间数为x，则上下两个数是x﹣10、x+10，左右两个数是x﹣1、x+1，
所以框住的5个数的和就是：x﹣10+x﹣1+x+x+1+x+10＝5x，
所以十字框中五个数的和是中间的数的5倍．
因为205、216、220、224中只有205和220是5的倍数，
205÷5＝41，220÷5＝44，而41在图表的最边上，不能框在中间位置，而44能框在中间，所以这五个数之和可能是220．
故选C．
图形中的规律
【例3】
5. 下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。按规律，第6幅图铺瓷砖一共（ ）块，第8幅图中的黑瓷砖一共（ ）块，第10幅图中的白瓷砖共有（ ）块。
【答案】 ①. 49 ②. 36 ③. 66
【解析】
【分析】（1）根据观察，图中三角形瓷砖个数分别是4、9、16……，4＝22；9＝32；16＝42；……由此即可得出第n个图形铺瓷砖的总块数为（n＋1）2块；
（2）第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），当n＝8时，计算得出：1＋2＋3＋……＋8的和即可解决问题；
（3）根据上述推理结果可得：第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为：1＋2＋3＋……＋n＋n＋1＝（n＋1）（n＋2）÷2，由此即可求得第10个图形中共有的白瓷砖的块数。
【详解】（1）根据题干得出图中三角形瓷砖的个数分别是4＝22；9＝32；16＝42；……则第n个图形铺瓷砖的总块数为（n＋1）2块；
（6＋1）2＝49（个）
第6个图形铺瓷砖的总块数为49块。
（2）第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋……＋n）
当n＝8时
1＋2＋3＋……8＝36（块）
第8个图形中黑瓷砖的块数是36块。
（3）由上述推理可得：第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为：1＋2＋3＋……＋n＋n＋1＝（n＋1）×（n＋2）÷2
当n＝10时
（n＋1）×（n＋2）÷2
＝（10＋1）×（10＋2）÷2
＝11×12÷2
＝66（块）
第10幅图中白瓷砖共有66块。
【点睛】由题干中的图形的排列以及个数特点，得出瓷砖的排列规律是解决此类问题的关键。
解决以直观图呈现的数字规律问题时，需要把“形”转化为“数”，再探索数字的变化规律。
【变式3】
（2022六下·陕西榆林）
6. 用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案。第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（ ）个白色正方形。
【答案】31
【解析】
【分析】对比两个相邻的图的不同之处，发现后一个图是在前一个图的右侧再添上了1个黑色正方形和3个白色正方形。因此第n个图中的白色正方形的个数是4＋（n－1）×3＝3n＋1，据此求解。
【详解】根据分析，第n个图中的白色正方形的个数是4＋（n－1）×3＝3n＋1，当n＝10，3n＋1＝31，第10个图中有31个白色正方形。
【点睛】能够根据图形的不同找出规律是解题的关键。
【例4】
7. 用相同的直角三角形进行拼图游戏（如下图），请观察图中的拼图规律，第⑤幅图的周长是（ ）cm，照这样排下去，第⑩幅图的周长是（ ）cm。
【答案】 ①. 24 ②. 38
【解析】
【分析】图①周长为（4＋5＋3×1）cm，图③周长为（4＋5＋3×3）cm，图⑤周长为（4＋5＋3×5）cm，得出第单数幅图周长＝（4＋5＋3×单数）cm。图②周长为（4＋4＋3×2）cm， 图④周长为（4＋4＋3×4）cm，得出第双数幅图周长＝（4＋4＋3×双数）cm。据此解答即可。
【详解】4＋5＋3×5
＝4＋5＋15
＝9＋15
＝24（cm）
第⑤幅图周长是24cm。
4＋4＋3×10
＝4＋4＋30
＝8＋30
＝38（cm）
第⑩幅图周长38cm。
【点睛】本题关键是求出已知图形周长之间的规律，再根据这个规律解决问题。
对于探索图形的变化规律，可以通过观察图形在某一方面的特征，找到他们的变化规律，并根据找到的规律来推断结果。对于稍微复杂的图形，有时需要把图形分成几个部分，单独考虑其中每个部分的变化，从而使复杂问题简单化。
【变式4】
（2021六下·河北秦皇岛）
8. 将完全相同的等腰梯形按图中的规律拼摆，请你填全表格。
【答案】 ①. 17 ②. 62
【解析】
【分析】根据图示以及所给统计表中的数据发现：1个等腰梯形的周长是：1×3＋2＝5；2个等腰梯形的周长为：2×3＋2＝8；3个等腰梯形的周长为：3×3＋2＝11；……n个等腰梯形的周长为：3n＋2。据此解答。
【详解】1个等腰梯形的周长是：1×3＋2＝5
2个等腰梯形的周长为：2×3＋2＝8
3个等腰梯形的周长为：3×3＋2＝11
……
n个等腰梯形的周长为：3n＋2
当n＝5时
3×5＋2
＝15＋2
＝17
3×20＋2
＝60＋2
＝62
如表：
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。算式中的规律
【例5】
9. 先用计算器计算，再找规律解决问题。
（1）66×99＝（ ）
（2）666×999＝（ ）
（3）6666×9999＝（ ）
（4）666666×999999＝（ ）
（5）的乘积是（ ）位数，所有数字之和是（ ）。
【答案】（1）6534
（2）665334 （3）66653334
（4）666665333334
（5） ①. 100 ②. 450
【解析】
【分析】用计算器计算出前4道题的结果，分别是6534，665334，66653334，666665333334，第一小题结果的位数是两个因数的位数的和，同样，第二、第三、第四结果都是因数的位数之和，可以推导出每道题的结果的数位是两个乘数数位的和，第一小题的所有数字之和是6×（2－1）＋5＋3×（2－1）＋4；第二小题所有数字之和是6×3＋9×3＋6×（3－1）＋5＋3×（3－1）＋4；第三小题所有数字之和是6×（4－1）＋5＋3×（4－1）＋4；由此可推导出所有数的和的规律是6×（n－1）＋5＋3×（n－1）＋4。
【小问1详解】
66×99＝6534
【小问2详解】
666×999＝665334
【小问3详解】
6666×9999＝66653334
【小问4详解】
66666×99999＝666665333334
【小问5详解】
数字之和是：6×（50－1）＋5＋3×（50－1）＋4
＝6×49＋5＋3×49＋4
＝294＋5＋147＋4
＝299＋147＋4
＝446＋4
＝450
所以的乘积是100位数，所有数字之和是450。
【点睛】在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
探索算式中的规律时，可以运用计算器计算、探索并发现规律，然后根据发现的规律计算出更加复杂的算式得数。
【变式5】
10. 用计算器计算，并找出规律。
1×1＝1
11×11＝121
111×111＝12321
1111×1111＝（ ）
11111×11111＝（ ）
111111×111111＝（ ）
1111111×1111111＝（ ）
11111111×11111111＝（ ）
111111111×111111111＝（ ）
【答案】 ①. 1234321 ②. 123454321 ③. 12345654321 ④. 1234567654321 ⑤. 12345678754321 ⑥. 1234567898754321
【解析】
【分析】仔细观察每个算式结果和原式的变化，发现它们的最高位都是1，是几位数相乘，就从1写到几，然后再回来。如11×11＝121；据此解题即可。
【详解】1×1＝1
11×11＝121
111×111＝12321
1111×1111＝1234321
11111×11111＝123454321
111111×111111＝12345654321
1111111×1111111＝1234567654321
11111111×11111111＝12345678754321
111111111×111111111＝1234567898754321
【点睛】本题考查学生运用运用计算器计算并找规律的能力。在探索规律中，不仅乘法中蕴含着一些有趣的规律，在加法、减法和除法中也蕴含着一些规律，这就需要我们去细心观察，发现其中的规律。仔细观察本题每个算式的结果和原式的变化，你会发现它们的最高位都是1，是几位数相乘，就从1写到几，然后再回来。

【例6】
11. ，，观察算式，根据其中的规律请你写一道这样的算式（ ）。
【答案】
【解析】
【分析】观察式子发现，等式左边的分母是两个相邻自然数的积，等式右边是以这两个相邻自然数为分母的分数的减法，等式左右两边分数的分子均为1。据此规律，直接填空即可。
【详解】，，观察算式，根据其中的规律请你写一道这样的算式：。
【点睛】本题考查了找规律，有一定的观察能力和总结能力是解题的关键。
在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
【变式6】
12. ①13+23＝9，（1+2）2＝9；
②13+23+33＝36，（1+2+3）2＝36；
③13+23+33+43＝100，（1+2+3+4）2＝100；
……
通过观察发现：13+23+33+43+53+63＝_____．（填得数）
【答案】441
【解析】
【详解】13+23+33+43+53+63
＝（1+2+3+4+5+6）2
＝212
＝441
即通过观察发现：13+23+33+43+53+63＝441．
故答案为441．

一、填空。
（2021六下·深圳福田）
13. 德国数学家马力欧·西格麦尔于1980年发明了一个非常特别的数列。数列的规律与数的大小无关，从第二个数起，每个数都是对上一个数的描述。第一个数：1，第二个数：11，第三个数：21，第四个数：1211，第五个数：111221，第六个数是（ ）。
【答案】312211
【解析】
【分析】1、11、21、1211、111221，观察这个数列，第一个数是“1”，第二数是对第一个数的理解“1个1”，也就是“11”；第三个数就是对第二个数“11”的理解“2个1”，也就是“21”；第四个数就是对第三个数的理解“1个2，1个1”，即“1211”；第五个数是对第四个数的理解“1个1，1个2，2个1”，即“111221”；那么，第六个数就是对第五个数的理解，即“3个1，2个2，1个1”，据此确定第六个数。
【详解】1、11、21、1211、111221，第六个数就是对第五个数的理解，“3个1， 2个2，1个1”，写成数字形式是312211。
【点睛】解答本题的关键是找出规律，然后利用规律解题。
（2021六下·四川成都）
14. 有一串分数，按如下规律排列：、、、、、、、、、、、、、、、……。从左往右数，第一次出现的排在这串分数中的第（ ）个，第408个分数是（ ）。
【答案】 ①. 103 ②.
【解析】
【分析】通过观察可以发现，分母是1的分数有1个，分母是2的分数有3个，分母是3的分数有5个，分母是4的分数有7个，则可以推出分母是几时，就有（2n－1）个分数，从分母是1的分数到分母是10的分数一共有分数的个数：1＋3＋5＋7＋……19，即可求出分母是10有多少个，第一次出现，则可以知道排在第3位，那么算出的结果加3即可；
根据公式（1＋2n－1）×n÷2可以求出当分母是n的时候有多少个分数，那么当这个结果等于408的时候，算出当n等于多少的时候结果接近408，然后再通过第一问的方法进行推算即可。
【详解】1＋3＋5＋7＋……＋17＋19
＝（1＋19）×10÷2
＝20×10÷2
＝100（个）
100＋3＝103（个）；
（1＋2n－1）×n÷2
＝2n×n÷2
＝n×n
当n＝20的时候结果能接近408，即当n＝20时，20×20＝400（个）
即第401个分数应该是分母为21的分数，
则第408个分数是
【点睛】本题主要考查数列的找规律，同时熟练掌握等差数列求和的公式，并能够灵活掌握。
（2022六下·河南郑州）
15. 中国是一个多民族国家，其中我国苗族的千人长桌宴席的最高形式与隆重礼仪已有几千年的历史。如上图所示，长桌像这样拼下去，5张桌子拼在一起可以坐（ ）人，n张桌子拼在一起可以坐（ ）人。
【答案】 ①. 22 ②. 4n＋2
【解析】
【分析】第1张桌子拼在一起可以坐（4＋2）人，第2张桌子拼在一起可以坐（4×2＋2）人，第3张桌子拼在一起可以坐（4×3＋2）人，依次类推，第n张桌子拼在一起可以坐（4×n＋2）人，再把n＝5代入，即可求出5张桌子拼在一起可以坐多少人。
详解】根据分析得，4×n＋2＝（4n＋2）人
即第n张桌子拼在一起可以坐（4n＋2）人。
当n＝5时，4×5＋2＝20＋2＝22（人）。
【点睛】此题的解题关键是运用数形结合的方法得出规律，并应用规律解决问题。
（2022六下·福建泉州）
16. 将任意一个长方形分成a、b、c、d四个小长方形，它们的面积都暗藏规律。请观察下面的几个例子，回答问题。
（1）第三幅图中的小长方形c的面积是（ ）。
（2）请用一个等式表示a、b、c、d这四个小长方形面积之间的关系。（ ）
【答案】（1）72 （2）＝
【解析】
【分析】（1）发现规律：b与a的比值与d与c的比值相等，据此规律列出正比例方程，求出c的面积；
（2）根据（1）发现的规律写出关系式即可。
【小问1详解】
第一幅图：＝＝20
第二幅图：＝＝1.5
＝
解：12c＝18×48
12c＝864
12c÷12＝864÷12
c＝72
【小问2详解】
a、b、c、d这四个小长方形面积之间的关系：＝
【点睛】关键是发现a、b、c、d这四个小长方形的面积成正比例关系，然后利用规律解题。
（2021六下·四川巴中）
17. 观察点阵中规律，第17个方框中内有（ ）个点。
【答案】65
【解析】
【分析】根据图得出，第一个图形有1个点，第二个图形有1＋4×1个点，第三个图形有1＋4×2个点，第四个图形有1＋4×3个点，则第n个图中共有1＋4（n－1）个点，第17个方框中内有1＋4×（17－1）个点，据此解答即可。
【详解】根据分析可知，题中图形的规律是1＋4（n－1），则第17个方框中内有：
1＋4×（17－1）
＝1＋64
＝65（个）
【点睛】解答此题的关键是根据方框的序数与点的个数之间的关系找出规律，再根据规律求第17个方框中点的个数。
（2021六下·河南开封）
18. 如下图，按照前面四幅图的规律，写出第五幅图中的正方形里共有（ ）个圆，再写出第九幅图中的正方形里共有（ ）个圆。
【答案】 ①. 25 ②. 81
【解析】
【分析】根据图形可知，第1幅图，正方形里共有1×1＝12个圆；第2幅图，正方形里共有2×2＝22个圆；第3幅图，正方形里共有3×3＝32个圆；第4幅图，正方形里共有4×4＝42个圆；第5幅图，正方形里共有5 ×5＝52个圆，……，第9幅图，正方形里共有9×9＝92个圆。
【详解】根据分析可得，第五幅图中的正方形里共有25个圆，再写出第九幅图中的正方形里共有81个圆。
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到规律。
（2022六下·河南郑州）
19. 某条道路上，每隔900米有一个红绿灯，所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换，一辆汽车在第一个路口处遇到绿灯后，要想在所有的红绿灯路口都遇到绿灯，则他最快该以每小时______千米的速度行驶。
【答案】54
【解析】
【分析】把每次红绿灯的变化看成一个周期，先求出路灯循环一个周期是多少秒，再化成小时；只要行驶的时间是一个周期即可，用路程除以一个周期的时间就是这辆车的速度。
【详解】30＋5＋25＝60（秒）
60秒＝小时
900米＝0.9千米
0.9÷＝54（千米）
【点睛】本题中把每次红绿灯的变化看成需要的时间，然后用路程除以时间就是需要的速度。
二、选择。
（2021六上·福建宁德）
20. 如果▲＋◆＋●＝21，▲＝◆＋◆；◆＝●＋●；那么，◆＝（ ）。
A. 3B. 6C. 7D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据◆＝●＋●，▲＝◆＋◆得出▲＝●＋●＋●＋●，由此代入▲＋◆＋●＝21解答即可。
【详解】根据◆＝●＋●，▲＝◆＋◆得出▲＝●＋●＋●＋●，●＋●＋●＋●＋●＋●＋●＝21，
所以●＝21÷7＝3，则◆＝●＋●＝3＋3＝6；
故选：B。
【点睛】本题主要考查简单的等量代换，解答本题的关键是找出几个图形之间的数量关系。
（2022六下·江苏盐城）
21. 下图中正方体的 6 个面分别写着 A、B、C、D、E、F，F相对的面是（ ）。
A. AB. BC. CD. E
【答案】C
【解析】
【详解】用排除法，从三张图可以看出，A不可能和C、D、E、F相对，所以A和B相对。又可以看出E不可能和A、F、C、B相对，所以E和F相对。
（2021六下·江苏宿迁）
根据问题，选择答案。
问题：请观察下图中的规律，若要摆出10个正方形，需要几根火柴？
假设正方形的个数用表示。
解法一：开始先放1根火柴，第一个正方形增加3根，以此类推，所以规律是……
解法二：第一个正方形用了4根火柴，第二个正方形增加3根火柴，以此类推，所以规律是……
22. 解法一得到的规律可能是（ ）。
A. B. C.
23. 解法二得到的规律可能是（ ）。
A. B. C.
24. 两种解法都正确吗？算算看，答案是（ ）。
A. 都正确，10个正方形共需要31根火柴
B. 只有解法一正确，10个正方形共需要34根火柴
C. 只有解法二正确，10个正方形共需要34根火柴
【答案】22. A 23. C 24. A
【解析】
【分析】根据两种解法的分析过程，到图示中寻找规律即可。
【22题详解】
先放最左侧的1根火柴，第一个正方形增加3根，第二个正方形再增加3根，以此类推，第n个正方形是根。把n＝1，n＝2，n＝3代入到式子中，验证是否正确。
故答案为：A。
【23题详解】
第一个正方形用了4根火柴，第二个正方形增加3根火柴，第三个正方形再增加3根火柴，以此类推，第n个正方形是根。把n＝1，n＝2，n＝3代入到式子中，验证是否正确。
故答案为：C。
【24题详解】
n＝10代入到和中，结果均为31。
故答案为：A。
【点睛】本题主要考查的是用字母表示数。需要学生有一定的分析问题的能力。
（2022六下·山西太原）
25. 下面算式中，与1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1的得数相等的是（ ）
A. 52＋32B. 42＋52C. 52﹣32
【答案】B
【解析】
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（1＋3＋5＋7）
＝52＋42
故答案为：B
（2021六下·北京）
26. 小红用计算器探索计算规律，她算出了以下3个算式的积。
7×9＝63 77×99＝7623 777×999＝776223
照此规律，第7个算式的积是（ ）。
A. 777777762222222B. 7777776222222C. 77777762222223D. 7777762222223
【答案】C
【解析】
【分析】观察小红算出的3个算式可知，随着一个因数中7的个数和另一个因数中9的个数增加，积中的7和2的个数也跟着增加，据此解答。
【详解】①7×9＝63，积中有0个7和0个2；
②77×99＝7623，与第1个算式比，一个因数多了1个7，另1个因数多了1个9，积多了1个7和1个2 ；
③777×999＝776223，与第1个算式比，一个因数多了2个7，另1个因数多了2个9，积多了2个7和2个2 ；
④7777×9999＝77762223，与第1个算式比，一个因数多了3个7，另1个因数多了3个9，积多了3个7和3个2 ；
可知规律是：乘积中的7和2的个数比因数中7或9的个数少1个；
第7个算式的积与第一个算式比，一个因数多了6个7，另1个因数多了6个9，积多了6个7和6个2 ，即：7777777×9999999＝77777762222223；
故答案为：C
【点睛】此题考查用计算器探索规律，关键能够观察因数变化对积的影响。
三、根据规律计算。
（2021六下·江苏盐城）
27. 已知：＝＋，＝＋，＝＋，利用规律计算：1＋－＋－＋－。
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知，将变为＝＋，即将分数的分母变为相邻两个数的乘积，分子变为相邻两个数的和，就可以将分数拆分为分别以这两个相邻数为分母，分子为1的分数和，故根据规律解答即可。
【详解】1＋－＋－＋－
＝1＋－＋－＋－
＝1＋－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋）
＝1＋－－＋＋－－＋＋－－
＝1－
＝
【点睛】此题主要考查学生对分数拆数计算的简便计算能力，需要掌握拆数的规律。
四、探索与发现。
（2021六下· 浙江台州仙居）
28. 莉莉在研究“最多能分多少块”的问题，列了如下一张表格。
（1）若在一张圆形纸片上画4条直线，最多能把它分成（ ）块。
（2）若在一张圆形纸片上画6条直线，最多能把它分成（ ）块。
（3）若在一张圆形纸片上画n条直线，最多可以分成（ ）块。
（4）如果想分成56块，至少需要画（ ）条直线。
【答案】（1）11 （2）22
（3）
（4）10
【解析】
【分析】根据题意找规律：一条直线把圆分成：1＋1＝2（块）；两条直线分成：1＋（1＋2）＝4（块）；三条直线最多分成：1＋（1＋2＋3）＝7（块）；四条直线最多分成：1＋（1＋2＋3＋4）＝11（块）；n条直线，最多分成：[1＋（1＋2＋3＋4＋...＋n）]块，据此解答即可。
【小问1详解】
1＋（1＋2＋3＋4）
＝1＋10
＝11（块）
【小问2详解】
1＋（1＋2＋3＋4＋5＋6）
＝1＋21
＝22（块）
【小问3详解】
1＋（1＋2＋3＋4＋...＋n）
＝
【小问4详解】
1＋＝56
解得n＝10
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中圆形图案的变化规律，利用数形结合的思想解答。
（2021六下·陕西西安）
29. 我国古代劳动人民创造了“铺地锦”的方法计算乘法。下面就是123×48＝5904的计算过程，仔细观察，发现规律，再试着用这种方法计算812×39。
【答案】见详解
【解析】
【分析】观察计算过程，得出计算方法：先画一个矩形，把它分成m×n个方格（m，n分别为两乘数的位数），在方格上边、右边分别写下两个因数。再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数。然后这些乘积由右下到左上，沿斜线方向相加，相加满十时向前进一，最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）。
【详解】如图：
【点睛】本题考查了多位数的乘法，有一定观察总结能力是解题的关键。
（2020六下·江苏苏州）
30. 小明的爸爸经常往返上海——南京出差。为了方便爸爸查询沪宁高铁各站点间的距离，小明特意制作了一张高铁“里程速查表”（单位：千米）。从上海到南京的6个城市中，任意两个城市之间的铁路里程都可以迅速地从该表中查到。比如，查无锡到镇江的铁路里程，可以先在表中找到“无锡”，往下看，有一列数；再找到“镇江”，往左看一行数。这一列和一行数的交叉点处的数“114”，就是无锡到镇江的铁路里程数。仔细观察这张表，完成以下问题：
（1）苏州到镇江的铁路里程是（ ）千米，如果乘坐的高铁行驶的平均速度是200千米/小时，从苏州到镇江需要（ ）小时。
（2）按照图中的规律可以推算：
（ ），（ ）。
【答案】 ①. 140 ②. 0.7 ③. 215 ④. 183
【解析】
【分析】（1）由图意可以看出，苏州和镇江交叉口处的数是140，苏州到镇江的铁路里程数就是140千米，根据路程÷速度＝时间，求出从苏州到镇江需要的时间；
（2）根据图中数据的规律，用上海到南京的距离284减去镇江到南京的距离69千米，即是上海到镇江的距离，即A处的数；无锡到南京的距离用无锡到镇江的距离加上镇江到南京的距离，即是B处的数。
【详解】（1）苏州到镇江的铁路里程是140千米，
140÷200＝0.7（小时）
（2）A＝284－69＝215
B＝114＋69＝183
【点睛】认真理解题意，找出数据排列的规律进行解答。
梯形个数
1
2
3
4
5
……
20
……
周长（cm）
5
8
11
14
（ ）
……
（ ）
……
……
直线条数
1
2
3
4
…
分成的块数
2
4
7
…
梯形个数
1
2
3
4
5
……
20
……
周长（cm）
5
8
11
14
（ ）
……
（ ）
……
梯形个数
1
2
3
4
5
……
20
……
周长（cm）
5
8
11
14
17
……
62
……
……
直线条数
1
2
3
4
…
分成的块数
2
4
7
…