2024-2025学年江西省“上进稳派”高二上学期第二次学情检测数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省“上进稳派”高二上学期第二次学情检测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有( )
A. 36种B. 60种C. 75种D. 85种
2.已知向量a=(1,−2,1)，b=(3,λ,μ)，若a/​/b，则λμ=( )
A. −18B. 18C. −29D. 29
3.已知焦点在x轴上的椭圆C1与椭圆C2:x29+y24=1的离心率相同，且C1的长轴长比其短轴长大4，则C1的标准方程为( )
A. x23+y22=1B. x245+y220=1C. x236+y216=1D. x218+y28=1
4.已知圆C1:x2+y2−4x−6y=0，圆C2:(x−3)2+(y−1)2=9，则圆C1，C2的公切线条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知四面体ABCD如图所示，其中点E为△ACD的重心，则CE=( )
A. 13BA+13BC−23BDB. 43BA+23BC−13BD
C. 13BA−43BC+13BDD. 13BA−23BC+13BD
6.已知双曲线C:x23−y2=1的右焦点为F2，点P在C的右支上，且Q(2,12)，则|PQ|+|PF2|的最小值为( )
A. 4−2 3B. 17−2 3C. 15−2 3D. 652−2 3
7.已知−3≤t≤2，点P(t−2,2t+3)，点Q(3+2csθ,−1+2sinθ)，则|PQ|的最小值为( )
A. 2 17−2B. 14 55−2C. 73−2D. 12 55−2
8.将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有( )
A. 576种B. 1152种C. 2304种D. 4608种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(2,−2,1)，b=(−1,1,0)分别为直线l，m的方向向量，n=(3,2,−2)为平面α的法向量，则( )
A. |a|=3B. b⋅nb>0)，则称圆心在原点O，半径为 a2+b2的圆为“椭圆C的伴随圆C′已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，点A(1,32)在C上，且|AF1|=52．
(1)求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆C′的方程;
(2)将C′向上平移6个单位长度得到曲线C″，已知D(0,−1)，动点E在曲线C″上，探究：是否存在定点G(0,t)(t≠−1)，使得|EG||ED|为定值，若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由;
(3)已知不过点A的直线l:y=12x+m与椭圆C交于M，N两点，点P(0,yP)，Q(0,yQ)分别在直线AM，AN上，证明：|AP|=|AQ|．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.D
6.D
7.B
8.D
9.ABD
10.BC
11.ACD
12.−243
13.45
14.[ 3,2 5]
15.解：(1)依题意，线段AC的中点为(−32,52)，
直线AC的斜率k=2−3−2−(−1)=1，
故线段AC的垂直平分线方程为y−52=−(x+32)，即x+y−1=0．
(2)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2−4F>0)，
因为圆M经过点A，B，C，
故10−D+3E+F=0,50+5D−5E+F=0,8−2D+2E+F=0,
解得D=−4,E=2,F=−20
故圆M的方程为x2+y2−4x+2y−20=0．
16.解：(1)(2x2−13x)7展开式的通项为Tn+1=C7r⋅(2x2)7−r⋅(−13x)r=C7r(−1)r×27−r⋅x14−73r，
令14−73r=0，解得r=6，
故所求常数项为C76⋅(−1)6×2=14．
(2)(2x2−13x)10展开式的通项为Tr+1=C10r⋅(2x2)10−r⋅−13xr=C10r⋅(−1)r×210−r⋅x20−73r，
令20−73r∈Z，则r=0，3，6，9，故有理项的个数为4．
17.解：(1)依题意，设双曲线C′的方程为x22−y218=λ(λ≠0)，
将(2,3 3)代入可得，42−2718=12=λ，
故双曲线C′的方程为x2−y29=1．
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，依题意，P为线段MN的中点，
故x1+x2=2，y1+y2=8，
由M，N在C′上，则x12−y129=1,x22−y229=1,
两式相减可得，(x1+x2)(x1−x2)−(y1+y2)(y1−y2)9=0，
则y1−y2x1−x2=94，故m=49．
18.解：(1)因为MN/​/平面SAB，MN⊂平面SBC，平面SBC∩平面SAB=SB，
所以MN//SB，
则BNCN=SMCM=1．
(2)因为二面角S−AB−C为直二面角，
故平面SAB⊥平面ACB．
由SA=AB，∠SBA=45∘，故∠SAB=90∘，即SA⊥AB．
而平面SAB∩平面ACB=AB，SA⊂平面SAB，
故SA⊥平面ACB．
因为AB,AC⊂平面ACB，
所以SA⊥AB，SA⊥AC．
由AB=12BC=2，∠ABC=60∘，及余弦定理得，AC=2 3，
故AB⊥AC，则AS，AB，AC两两垂直．
以A为坐标原点，AB，AC，AS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，M(0, 3,1)，S(0,0,2)，设N(t,2 3− 3t,0)(0