重庆市涪陵区2024届高三数学上学期开学考试试题含解析

这是一份重庆市涪陵区2024届高三数学上学期开学考试试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合，再求交集即可.
【详解】由得，故，
所以，又，
所以．
故选：B．
2. 下列函数中，既是偶函数又在上不单调是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数奇偶性与单调性的概念判断即可.
【详解】对于A，定义域，但，为奇函数，且在上单调递减，故A错误；
对于C，为偶函数，且在上既有增区间，也有减区间，所以在上不单调，故B正确；
对于C，在单调递减，不符合题意，故C错误；
对于D，在单调递增，不符合题意，故D错误.
故选：B
3. 设，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
4. 已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）
A. 9B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的曲线，求出，再利用“1”的妙用求出最小值作答.
【详解】曲线且中，由，得，因此该曲线过定点，
即，于是，又，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16.
故选：C
5. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 的解集为或
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项.
【详解】由不等式和解集的形式可知，
，且方程的实数根为或，
那么，所以，
所以，且，故ABC正确；
不等式，
即，解得:,
所以不等式的解集为，故D错误.
故选：ABC
6. 已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数两段都是减函数，以及端点处函数值的关系可得答案．
【详解】因为是上的单调递减函数，
所以，解得．
故选：C．
7. 设函数，若是奇函数，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性求参数，然后求函数值即可.
【详解】由已知可得，则．
因为是奇函数，
所以，即，
因为，解得，所以，
所以.
故选：D．
8. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且当时，，则方程根的个数为（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为与的交点个数，由解析式画出在上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数.
【详解】要求方程根的个数，即为求与的交点个数，
由题设知，在上的图象如下图示，
∴由图知：有3个交点，又由在上是偶函数，
∴在上也有3个交点，故一共有6个交点.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将问题转化为与的交点个数，利用数形结合思想及偶函数的对称性求交点的个数.
二、多选题
9. 当时，幂函数的图像在直线的下方，则的值可能为（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
转化为当时，恒成立，可得，由此可得解.
【详解】根据题意得当时，，可知，
故选：AB
【点睛】关键点点睛：由不等式得出是解题关键.
10. 已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（）
A. 图象关于直线对称B.
C. 的最小正周期为4D. 对任意都有
【答案】ABD
【解析】
【分析】由奇偶性知的对称中心为、对称轴为，进而推得，即可判断各选项的正误.
【详解】由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
故选：ABD
11. 下列说法正确的是（）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于成中心对称
D. 的递减区间是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由求解判断，对于B，利用换元法根据指数函数的单调性分析判断，对于C，对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图象变换规律分析判断，对于D，利用换元法分析判断
【详解】对于A，由题意得，得，所以函数的定义域为，所以A正确，
对于B，令，则，因为，且在定义域内递减，
所以，所以最小值为，所以B错误，
对于C，因为，所以是由反比例函数向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，
因为的对称中心为，所以的对称中心为，所以C正确，
对于D，由，得或，所以函数的定义域为，令，则，
因为在上递减，在上递增，且在上递增，
所以在上递减，在上递增，所以D错误，
故选：AC
12. 已知，，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式和不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据基本不等式可知，则，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；
因为，，变形得，
所以
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，故B错误；
由，，，所以，即，故C正确；
由，可得，
根据前面分析得，即，所以，即，故D正确．
故选：ACD
三、填空题
13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．
【详解】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
14. 若函数满足，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据，分别令，求解.
【详解】因为，
令可得：，①
令可得：，②
联立①②可得：，
故答案为：1.
15. 已知函数是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间是减函数，若，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用奇偶性及单调性将原命题等价转化为，从而解该不等式组即可求得正解.
【详解】由已知可得原不等式等价于，结合单调性可得．
故答案为：
16. 已知函数，的最大值为，最小值为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果.
【详解】令，且，
，
所以为奇函数，且在上连续，
根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，
则，故.
故答案为：
四、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）4（2）
【解析】
【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
原式
.
18. 已知集合，．
（1）若，求m的取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，由得到，得到不等式组，求出m的取值范围；（2）根据充分不必要条件得到是的真子集，分与两种情况进行求解，求得m的取值范围.
【小问1详解】
，解得：，故，
因为，所以，
故，解得：，
所以m的取值范围是.
【小问2详解】
若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，
则是的真子集，
当时，，解得：，
当时，需要满足：或，
解得：
综上：m的取值范围是
19. 已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求的最小值；
（2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将函数在上单调递增转化为在恒成立，即，然后求最值即可；
（2）将函数与有且只有一个交点转化为只有一个根，再转化为的图象与的图象只有一个交点，然后根据图象求的范围即可.
【小问1详解】
，，
因函数在上单调递增，
所以在恒成立，即，，
的最小值为．
【小问2详解】
与有且只有一个交点，
即只有一个根，
只有一个根，
令，所以的图象与的图象只有一个交点，
，令，解得或，
令，解得，所以在，上单调递增，上单调递减，的图象如下所示：
，
又的图象与的图象只有一个交点，
.
20. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某机构从某地区抽取了500名近期购买新能源汽车的车主，调查他们的年龄情况，其中购买甲车型的有200人，统计得到如下的频率分布直方图.
（1）将年龄不低于45岁的人称为中年，低于45岁的人称为青年，购买其他车型的车主青年人数与中年人数之比为.完成下列列联表，依据的独立性检验，能否认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关？
（2）用分层抽样方法从购买甲车型的样本中抽取8人，再从中随机抽取4人，记青年有人，求的分布列和数学期望.
附：.
【答案】（1）列联表见详解，能认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关.
（2）分布列见详解，
【解析】
【分析】（1）根据分布列和已知条件求出购买甲车型和其他车型的青年、中年人数，可得列联表，然后计算卡方，查表可作出判断；
（2）先计算各层所抽取人数，然后由超几何分布概率公式求概率可得分布列，再根据期望公式可解.
【小问1详解】
由直方图可知，购买甲车型的青年人数为人，中年人数为人，
购买其他车型的青年人数为人，中年人数为人，
于是的列联表：
因为，
所以，有的把握认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关.
【小问2详解】
用分层抽样方法从购买甲车型的样本中抽取8人，则青年有人，中年有人，所以X的可能取值为1,2,3,4.
，，
，，
得分布列：
所以
21. 已知函数．
（1）判断函数在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若，
①判断函数的奇偶性，并证明；
②若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）函数是上的增函数，证明见详解；
（2）①函数为奇函数，证明见详解；②
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可.
（2）当时，①，直接利用函数奇偶性的定义判断；
②利用函数是奇函数，将，转化为，再利用是上的单调增函数求解.
【小问1详解】
函数是增函数，定义域：，
任取，不妨设，
，
，
∵，
∴.
又，
∴，
即，
∴函数是上的增函数.
【小问2详解】
当时，
①，定义域为，关于原点对称，
，
∴函数是定义域内的奇函数.
②等价于
，
∵是上的单调增函数，
∴，即恒成立，
∴，
解得.
22. 已知函数，.
（1）若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）2（2）[， +∞）
【解析】
【分析】（1）分别求得和，根据，列出方程，即可求解；
（2）将不等式变形转化为，构造函数，，利用导数求得函数单调性和最值，即可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
依题意，，，
则，，
因为在点,处的切线与在点,处的切线互相平行，
所以，又因为，所以
【小问2详解】
由，得，
即，即，
设，则，，
由，设，可得，
所以时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以,
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即对恒成立，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，故，
青年
中年
合计
甲车型
其他车型
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青年
中年
合计
甲车型
125
75
200
其他车型
225
75
300
合计
350
150
500
X
1
2
3
4
P