重庆市涪陵区2024届高三数学上学期周考十含解析

这是一份重庆市涪陵区2024届高三数学上学期周考十含解析，共19页。试卷主要包含了复数，则z的共轭复数的虚部为，下列不等关系成立的有，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则下列关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．复数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．在等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A．B．C．或D．
4．白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为的PBAT的已分解质量（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量与时间的函数关系式为.据此研究结果可以推测，总质量为的PBAT被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：）
A．8个月B．9个月C．10个月D．11个月
5．下列不等关系成立的有（ ）
A．B．C．D．
6．已知中，角所对的边分别为.设的面积为，且，则（ ）
A．1B．2C．D．-2
7．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
8．已知函数是偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数的零点是和
C．的最小值为0
D．是成立的充分条件但不是必要条件
10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．数列的最大项为和D．满足的最大的正整数为10
11．下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．设函数若有四个实数根，且，则的值不可以是（ ）
A．B．C．3D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．
14. 已知角的终边在直线上，则．
15．若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是．
16．已知对任意，都有，则实数的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求a；
（2）若，求的周长l的取值范围．
18. 已知等差数列满足，，数列满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．美团跑腿是美团新推出的同城帮买帮送服务，上线一个月时间里，“跑腿”业务已覆盖北京､上海､广州､南京､常州､济南､厦门等20个城市.美团公司为了解某地美团跑腿服务的需求情况，随机统计了800名不同年龄消费者每月的跑腿服务使用频率得到如下频数分布表：
(1)若把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，每月使用跑腿服务低于5次的为使用频率低，不低于5次的为使用频率高，补全下面的列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关？
(2)从样本中每月使用跑腿服务次且年龄在内的消费者中按照年龄段利用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在内的人数分别为，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
20. 如图，在四边形中，
（1）求角的值；
（2）若，，求四边形的面积
21．设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
42．已知函数.
(1)若，使得成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的为自然对数的底数.
涪陵高级中学校高 2024 届高三上数学周考十
（时间：120分钟 总分：150分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则下列关系中，正确的是（ D）
A．B．C．D．
2．复数，则z的共轭复数的虚部为（ B）
A．B．C．D．
3．在等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】首先求得的关系式，由此计算出，从而求得.
【详解】由于，是方程的两根，
所以，
由于，所以为正数，
所以．所以．
故选：A.
4．白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为的PBAT的已分解质量（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量与时间的函数关系式为.据此研究结果可以推测，总质量为的PBAT被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：）
A．8个月B．9个月C．10个月D．11个月
【答案】C
【分析】根据题意，令，求解即可.
【详解】令，得，解得，
故至少需要10个月，总质量为的PBAT才会被分解为对环境无害的物质.
故选：C.
5．下列不等关系成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】A选项，根据的单调性得到；B选项，由单调性和中间值比较大小；C选项，由的单调性比较出大小；D选项，先利用对数换底公式变形，再结合比较出大小.
【详解】A选项，因为在上单调递增，故，A错误；
B选项，，故，B正确；
C选项，因为在上单调递增，故，C错误；
D选项，因为，
由于，所以，即，D错误
故选：B
6．已知中，角所对的边分别为.设的面积为，且，则（ ）
A．1B．2C．D．-2
【答案】B
【分析】由已知条件结合三角形面积公式可得，再将所求式子利用余弦定理化简可得解.
【详解】，又，可得，
又，
.
故选：B.
7．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
综上，.
因为，所以三点共线，则，即.
因为均为正数，所以，则，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故选：B
8．已知函数是偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知画出的图象，并将不等式化为，数形结合求不等式解集.
【详解】根据题意，作偶函数的图象，如下图示.
由，不等式可化为，则，
所以或，由图知：或或或.
所以不等式解集为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数的零点是和
C．的最小值为0
D．是成立的充分条件但不是必要条件
【答案】ACD
【分析】对于A选项，根据分式不等式解法即可判断正误；
对于B选项，根据函数零点定义，通过解一元二次方程即可得到函数零点，进而判断正误；
对于C选项，通过凑形后使用基本不等式即可求解最小值，进而判断正误；
对于D选项，根据充分不必要条件的定义即可判断正误.
【详解】对于A选项，由得解集为，故正确；
对于B选项，二次函数的零点是指其图象与轴交点的横坐标，应为-2和4，故B错误；对于选项，，当且仅当，即时，取等号，故C正确；
对于D选项，由，得，能够推出，但反之不成立，所以是充分条件但不是必要条件.故D正确
故选：ACD
10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．
C．数列的最大项为和D．满足的最大的正整数为10
【答案】BCD
【分析】由与关系求通项判断AB，由二次函数性质判断CD．
【详解】由得当时，，
当时，，时也满足，
故，，A错误，B正确，
由二次函数的对称轴为，故当或时最大，故C正确，
满足得，，最大的正整数为10，故D正确，
故选：BCD
11．下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】A选项，利用三角恒等变化得到，结合，判断出函数值的正负，求出答案；B选项，利用正切和角公式逆运算得到；C选项，利用平方差公式，同角三角函数关系及二倍角公式求出C错误；D选项，利用差角公式化简计算出D正确.
【详解】A中，
.
，
,
，，
，
原式，所以A错误；
B中，
，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，
，D正确；
故选：BD
12．设函数若有四个实数根，且，则的值不可以是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】ACD
【分析】根据函数特征，画出函数图象，根据图象判断选项即可.
【详解】由分段函数知，当时，，且单调递减；
当时，，且单调递增；当时，，且单调递减；
当时，，且单调递增.的图象如图所示.
有四个实数根，且.
由图知，当时，有四个实数根，且.
又，由对数函数的性质知，可得.
设，且.由在上单调递增，
可知，所以.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．
14. 已知角的终边在直线上，则．
【答案】
【分析】根据终边上一点求出角的正切，再结合二倍角正弦公式，余弦公式，化简求值即可.
【详解】因为角的终边在直线上，故，
所以.
15．若函数f (x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是．
【答案】
【分析】通过参变分离，转化为在上有解，转化为求函数t＝x＋，x∈的值域.
【详解】由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
16．已知对任意，都有，则实数的取值范围是.
【答案】
【分析】首先利用参变分离出恒成立，再利用恒成立，求解的最小值，即求出的取值范围.
【详解】根据题意可知，，
由，可得恒成立，
令，则，
现证明恒成立，设，
，当时，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故时，函数取得极小值即最小值，，
所以，即恒成立，
，
，
当且仅当（该方程显然有解）时取等号，所以，即.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，本题的关键是利用不等式的放缩，即利用，转化 ，求函数的最小值.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求a；
（2）若，求的周长l的取值范围．
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
18. 已知等差数列满足，，数列满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【19题答案】
【答案】（1），；
（2）
19．美团跑腿是美团新推出的同城帮买帮送服务，上线一个月时间里，“跑腿”业务已覆盖北京､上海､广州､南京､常州､济南､厦门等20个城市.美团公司为了解某地美团跑腿服务的需求情况，随机统计了800名不同年龄消费者每月的跑腿服务使用频率得到如下频数分布表：
(1)若把年龄在内的人称为青年，年龄在内的人称为中年，每月使用跑腿服务低于5次的为使用频率低，不低于5次的为使用频率高，补全下面的列联表，并判断根据小概率值的独立性检验，能否认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关？
(2)从样本中每月使用跑腿服务次且年龄在内的消费者中按照年龄段利用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在内的人数分别为，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
【答案】(1)二联表见解析，有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关；
(2)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）由已知计算补全列联表，再由卡方计算观测值并与临界值比对即可；
（2）根据分层抽样确定抽取人数，利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可.
【详解】（1）由已知可得
所以，
故有%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关；
（2）由数表可知符合题意的且年龄在和分别有100人和60人，由分层抽样的定义可得两区间各抽取5人和3人，
则可知可取0，1，2，3，
，，
分布列如下：
故.
20. 如图，在四边形中，
（1）求角的值；
（2）若，，求四边形的面积
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简得，再判断得，结合，即可求解得；（2）由余弦定理求解得，再由正弦定理以及，可得，从而解得，然后计算和面积的和即可.
【小问1详解】
，
因为，得，
或，
解得或，因为，得，
【小问2详解】
在中，，
在中，，
，
，，得，
，所以四边形的面积为
21．设为实数，函数，．
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）由导数得出函数的单调性，进而得出极值；
（2）由导数得出，的值域，由的值域是的值域的子集得出实数的取值范围．
【详解】（1），当时，；当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
函数的极小值为，无极大值.
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，则.
，，当时，；当时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增；
因为，所以，.
即.
因为，，都有，
所以的值域是的值域的子集.
即，解得.
即实数的取值范围为.
42．已知函数.
(1)若，使得成立，求实数的取值范围；
(2)证明：对任意的为自然对数的底数.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.
（2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.
【详解】（1）函数，则不等式，令，
求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，依题意，，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，，即当时，，
而当时，，
因此，
于是
，
即有，
所以.
每月1次
50
40
40
90
每月次
80
80
100
60
每月次
60
75
56
47
每月10次以上
10
5
4
3
青年
中年
合计
使用频率高
使用频率低
合计
.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
每月1次
50
40
40
90
每月次
80
80
100
60
每月次
60
75
56
47
每月10次以上
10
5
4
3
青年
中年
合计
使用频率高
使用频率低
合计
.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
青年
中年
合计
使用频率高
150
110
260
使用频率低
250
290
540
合计
400
400
800
X
0
1
2
3
P