吉林省四平市2024-2025学年九年级(上)期末模拟(十)数学试卷(解析版)

这是一份吉林省四平市2024-2025学年九年级(上)期末模拟(十)数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故选B．
2. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A. B. 2024C. D. 1
【答案】D
【解析】∵，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故选：D．
3. 已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当a>0时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
4. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】∵点是的内心，
∴，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵点是的内心，
∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，
∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点是的内心，
∴，
∴,
∵点为的中点，
∴线段AD经过圆心O，
∴成立，故③正确；
∵点是的内心，
∴，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，
∴，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴，
∴∠DBE=∠BED，
∴，故④正确；
∴正确的有4个．
故选：D
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C. 一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D. “367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
【答案】C
【解析】A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
6. 经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段AB长为（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
【答案】B
【解析】∵抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过两点，
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为1,0，0,1，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】由题意可得：点，，，，，……
∴可知6个点一个循环，，
∴点的坐标与点的坐标相同，为．
8. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接，若与的面积相等，则___________．

【答案】
【解析】∵图中，，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），
∴．
9. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．
【答案】
【解析】∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=，∴小球停在黑色区域的概率是．
10. 已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是_____．

【答案】
【解析】如图所示：

当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即
解得，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1．
11. 如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是________（结果保留）
【答案】
【解析】如图，连接OD，OE，
∵ ∴


∵与边AB相切于点D，∴
∴

的长．
12. 如图，正三角形与正五边形内接于，则的度数是______．

【答案】
【解析】连接，
∵正三角形与正五边形内接于，
∴，
∴，
故答案为：．

13. 如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接．若，，，则_______．

【答案】2
【解析】过点作于点F，则，
∵，
∴．
又，
∴.
∴．
设，矩形中，，
，
，，解得，
∴．

14. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】设该抛物线的解析式是，
由题意结合图象可知，点在函数图象上，
代入得：，解得：，
∴该抛物线的解析式是，
则水面上升了米，此时，
∴，解得：，
则此时水面的宽度是米，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，；
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）由题意得：，
整理得：，解得：．，
∵让顾客得到更大的实惠，∴.
答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．
16. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）直线过点，
，
，
，
，
二次函数解析式为，
顶点坐标为；
（2）存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．
顶点坐标为，
对称轴为直线，
过点作于点，
在中，．
①当时，设，
在中，，
，
解之得，
；
②当时，根据等腰三角形三线合一得：，
，
；
③当时，，
，．
综上所述：点的坐标为或或或．
17. 如图，点是等边内的一点，，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）求的度数．
（2）若，，求的长．
解：（1）由旋转的性质得：，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
；
（2）由旋转的性质得，，，
，
，
为等边三角形，
，
在直角中，．
18. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
解：（1）当时，
，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，
∴和为单项式的概率为．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，．

（1）求的半径长；
（2）连接，作于点F，求的长．
解：（1）连接，如图，设的半径长为r，
∵，
∴，，
中，
∵，，，
∴，
解得，
即的半径长为5；
（2）在中，
∵，，∴，
∵，
∴，，
在中，，
即的长为．

20. 如图，在平面直角坐标系中A，B坐标分别为（2，0），（–1，3），若△OAC与△OAB全等．
（1）试尽可能多的写出点C的坐标；
（2）在（1）的结果中请找出关于点（1，0）成中心对称的两个点．
解：（1）如图所示，
点C的坐标为（3，3）或（–1，–3）或（3，–3）；
（2）由图知点（–1，–3）与点（3，3）关于（1，0）成中心对称．
21. 如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点．连接，点是线段上方抛物线上的点，过点作轴垂线交于点，交轴于点．求线段的最大值．
解：与轴交于、两点，
令，即．
解得，．
点在点左侧，
、．
与轴交于点，
．
易得直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
，
当时，长取得最大值，最大值为．
22. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．
解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA=PB，∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．
∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=70°，∴∠P=180°﹣70°×2=40°．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6．
（1）求的度数；
（2）求线段的长；
（3）若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和．
解：（1）如图1，连接，
正六边形为的内接正六边形，
是的直径，，
，
；
（2）与相切，是的直径，
，
正六边形为的内接正六边形，
，
在中，，
；
（3）正六边形为的内接正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大产量？最大产量为多少千克？
解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴（，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
．
∴当时，w有最大值12.5千克．
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
六、解答题 （每小题10分，共20分）
25. 已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，直线经过点B和点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交直线于点D，连接．
①如图1，若动点P在直线上方运动时，过点P作于点F，试求三角形的周长的最大值．
②如图2，当点P在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点D的对应点为点Q，若以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标．
解：（1）当时，，解得：，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点B，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）令，则，
、B4,0，，
①设，的周长为，
则，，
轴，
，
，
，
，
，
由题意可知，，，
，
的周长为，
，
，
当时，，
即的周长的最大值为；
②将沿直线翻折后，以、、、为顶点的四边形能成为菱形，
，且，
点落在轴上，
如图2，过点作轴于点，

设，则、，
，，
在中，，
，
或，
解方程①得：或（不符合题意，舍去），
解方程②得：或（不符合题意，舍去）．
当时，，当时，．
故以、、、为顶点的四边形能成为菱形的点的坐标为或．
26. 【初步感知】
如图1，点，，均在上，若，则锐角的大小为____；
【深入探究】
如图2，小聪遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接，，．求证：；小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图3，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，，，若，则的值为______．
解：初步感知：∵点，，均在上，，
∴，
故答案为：45．
深入探究：延长至点，使，连接，
∵是等边三角形，
∴，
由圆周角定理得：，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴．
启发应用：如图，延长至点，使，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．第一次
和
第二次
第一次
和
第二次