吉林省四平市2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟试卷（二）

这是一份吉林省四平市2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟试卷（二），共13页。试卷主要包含了方程的解为 等内容，欢迎下载使用。

1．1．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．顶点坐标为D．当时，y随x的增大而减小
2．一个袋子里有7个红球、4个黄球和1个绿球．从中任意摸出1个球，摸出的球（ ）
A．一定是绿球B．一定是黄球
C．一定是红球D．红球的可能性大
3．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（ ）

A．点B．点C．线段的中点D．线段的中点
4．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
5．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（ ）
A．3B．4C．D．2
7．方程的解为 ．
8．如图，P是正方形内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则 ．

9．已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为 ．
10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，运动2秒时，小球的高度是 米．
11．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1200棵，成活的大约有 棵．
12．已知方程的解是，，则方程的解是 ．
13．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．
14．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ．
15．解方程：．
16．已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标．
17．如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点D，连接，．若，，求的面积．

18．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．

19．相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，
(1)利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
(2)若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由．

20．如图，是⊙O的直径，与相切于点B，连接、，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，的半径为2，求阴影部分的面积．

21．在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
(1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的 ；
(2)在（1）的基础上， 求线段和线段夹角的度数．

22．在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．
(1)如图①，测得草坪的面积是，求道路的宽度；
(2)后来要在这块矩形地面上，重新进行规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？

23．如图，在中，经过A、B两点的与边交于点E，圆心O在上，过点O作交于点D，连接交于点F，且．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．

24．如图，正方形中对角线相交于点O，
(1)在图1中E是上一点，F是上一点，且，回答下列问题：可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，如何变换使变到的位置？答：_____．
(2)若点E、F分别在的延长线上，并且（如图2），试比较与长度的大小并说明理由．


25．将两个能完全重合的等腰直角三角板按图①所示的位置放置，其中，边在同一条直线上，点A与点F重合，点E与点B在点的两侧．现将三角板沿射线方向平移，如图②所示，在平移的过程中始终保持边在同一条直线上，平移至点F和点B重合时停止运动．设平移的距离为．
(1)________；
(2)当________时，点C落在边上；当________时，点C落在边上；
(3)设在平移的过程中，两个三角板重合部分的图形的面积为，求出S关于x的函数关系式．
26．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标．
题号
一
二
三
四
五
六
总分
得分
评卷人
得分
一、选择题（每小题2分，共12分）
评卷人
得分
二、填空题（每小题3分，共24分）
评卷人
得分
三、解答题（每小题5分，共20分）
评卷人
得分
四、解答题（每小题7分，共28分）
评卷人
得分
五、解答题（每小题8分，共16分）
评卷人
得分
六、解答题 （每小题10分，共20分）
参考答案：
1．C
【详解】解：A，，开口向下，原说法错误；
B，对称轴是直线，原说法错误；
C，顶点坐标为，原说法正确；
D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误；
故选C．
2．D
【分析】先分别求出摸出三种球的概率，再比较大小进行求解．本题考查了概率公式，可能性的大小，会求简单事件的概率是解题的关键．
【详解】解：依题意，摸出红球的概率为：，摸出黄球的概率为：，摸出绿球的概率为：，
∵，
∴摸出的球是红球的可能性大，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可．
【详解】解：与成中心对称，、是对称点，
对称中心可能是线段的中点，
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．据此求解即可，注意这一隐含条件．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键．
易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：．
故选：C．
6．B
【分析】连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，得到四边形A′E′DB是矩形，解直角三角形得到F′H＝1，A′H＝，求得A′E′＝2，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，
则四边形A′E′DB是矩形，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，∠A′F′E′＝120°，
∴∠F′A′E′＝30°，
∴F′H＝1，A′H＝，
∴A′E′＝2，
∵将它沿AB方向平移1个单位，
∴A′B＝1，
∴阴影部分A′BCDE′F′的面积＝S△A′F′E′+S矩形A′E′DB+S△BCD＝2××2×1+1×2＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形的性质，矩形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
7．
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．将方程移项，提公因式，将方程化为两个一元一次方程，即可求解．
【详解】解：
x=0或
解得：，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，根据正方形和旋转的性质，推出为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵绕点C逆时针方向旋转后与重合，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
9．5
【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径及勾股定理，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．直角三角形的外接圆圆心就是斜边的中点，所以外接圆的半径就是斜边的一半．根据勾股定理，斜边为，所以外接圆的半径就是．
【详解】解：的两直角边的长分别为和，
斜边为，
外接圆的半径就是．
故答案为：5
10．40
【分析】本题考查了二次函数求值．将代入函数解析式中进行计算求解．
【详解】解：，运动2秒时，
（米）．
故答案为：40．
11．960
【分析】本题考查利用样本的频率估计总体的数量，根据图形可以发现，在0.8附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据概率总体数量即可．
【详解】解：由图形可得，可估计这种树苗移植成活的概率约是0.8，
∴这种树苗移植1200棵，成活的大约有：（棵），
故答案为：960．
12．，
【分析】把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可．
【详解】解：∵方程的解是，，
∴方程的解为或，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．
13．60°/度
【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点，

∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∵点为的中点，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴，即弧的度数为60°
故答案为：60°．
14．/
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程．利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当时，．
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程 ，把方程左边分解因式，再转化为两个一元一次方程，求解即可．
【详解】.解：原方程变为：，.
∴或，
∴或．
16．点的横坐标为−2，点的横坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，根据题意，联立方程组求解即可．
【详解】解：根据题意，联立方程组得，
，整理，得，
解得，或，
∴交点坐标为，
∵点在点 的左侧，
∴点的横坐标为−2，点的横坐标为．
17．
【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解．
【详解】解：设的半径是，
点是的中点，过圆心，
，
，，
，，
在直角中，由勾股定理得，
，
解得，
，
．
18．见解析
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转得到，即可得到，，根据等边对等角得到是解题的关键．
【详解】证明：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
19．(1)此游戏所有可能出现的结果见详解
(2)此游戏的规则对小明、小芳不公平，理由见详解
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，理解“配成紫色”的转法，掌握列表法或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据随机事件的概率计算公式进行求解是解题的关键．
（1）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来即可；
（2）根据（1）中的计算结果，再由概率公式计算配成紫色的概率和不能配成紫色的概率，进行判定即可．
【详解】（1）解：如图所示，运用列表法把所有等可能结果表示出来，
（2）解：此游戏的规则对小明、小芳不公平，理由如下，
根据上述表格可得，共有种等可能结果，其中（红，蓝）或（蓝，红）的结果有种结果，
∴配成紫色的概率为，则不能配成紫色的概率为，
∵，即不能配成紫色的可能性大一些，
∴此游戏对小明、小芳不公平．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理和平行线的性质证得，再根据等腰三角形的性质证得，进而可得证；
（2）先根据直角三角形斜边中线性质和等边三角形的判定证明是等边三角形，则，则，利用含30度角的直角三角形的性质求得，，然后利用阴影部分的面积等于求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与相相切于点B，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质：
（1）根据网格的特点和旋转方式找到A、B对应点的位置，再顺次连接即可；
（2）由旋转的性质可得，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：∵以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴线段和线段夹角的度数为．
22．(1)道路的宽度为
(2)道路的宽度应设计为
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用：
（1）利用平移的性质得到方程，求解即可；
（2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的四分之一列得方程，解答即可．
【详解】（1）解：设道路的宽度为．
根据题意，得．
整理，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：道路的宽度为．
（2）解：设道路的宽度应设计为．
根据题意，得．
整理，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为．
23．(1)相切；理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，求出，根据，得出，说明，即可证明结论；
（2）过点A作于点M，设，根据勾股定理得出，求出，在中，根据直角三角形的性质得出，求出，，即可得出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线，即与相切．
（2）解：过点A作于点M，如图所示：
设，
，，
在中，由勾股定理，得；，
解得：，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了扇形面积计算，三角形面积的计算，勾股定理，切线的判定定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
24．(1)以点O为旋转中心，逆时针旋转90度
(2)；理由见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟悉以上性质与判定是解题的关键．
（1）根据图形特点即可得到答案；
（2）延长交于M，根据正方形性质求出，证，推出．
【详解】（1）解：旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度，理由如下，
正方形中，，且，
，
，
以点O为旋转中心，逆时针旋转90度，重合；
（2）解：．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
25．(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解；
（2）根据点的位置，分4种情况讨论，分别求得重叠面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
（2）∵，
∴当点在的中点时，即当时，点C落在上，
当点C落在边DE上时，；
即当时，点C落在边上；
故答案为：，．
（3）解：如图所示，
设交于点，
由（2）可得，当时，重合面积为的面积，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
当时，如图所示，
；
当重合时，此时，
当时，
如图所示，设交分别为，依题意，是等腰直角三角形，
当时，
如图所示，
∴
∴
【点睛】本题考查了动点问题的 二次函数关系式，勾股定理，平移的性质，分类讨论是解题的关键．
26．(1)
(2)存在，或
(3)，，，
【分析】（1）由题意得出，C0,6．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可；
（2）由勾股定理得出．设中点为，则D1,3，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解；
（3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，C0,6．
∵对称轴，
∴．
设抛物线解析式为
由题意得，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：存在，
∵，C0,6，
∴．
设中点为，则D1,3，连接．
设点，则．
当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，
此时，为直角，，则，
∴，
化简得，
解得，．
∴的坐标为或时，为直角．
（3）解：设点．
则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，
当在抛物线上时，，
化简得，
解得，．
∴时，，时，．
经检验，此时点不在抛物线上．
当在抛物线上时，，
化简得，
解得，．
∴当时，，当时，．
经检验，此时点不在抛物线上．
综上，满足题意的点的坐标为，，，．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
D
D
B
C
B




红
蓝
红
黄
红
（红，红）
（蓝，红）
（红，红）
（黄，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（红，蓝）
（黄，蓝）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（红，黄）
（黄，黄）