湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二(上)期末考试数学试卷(解析版)

这是一份湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高二(上)期末考试数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题的作答， 假设，且A与B相互独立，则，3B， 过圆， 已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答；用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为.
故选：D.
2. 若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】C
【解析】由题意得，
又，故.
故选：C
3. 两条平行直线与间的距离为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】直线化为：，
所以平行直线与间的距离为.
故选：D
4. 假设，且A与B相互独立，则（ ）
A. 0.3B. 0.4C. 0.7D. 0.58
【答案】D
【解析】由，，且A与B相互独立，得，
所以.故选：D
5. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，故在上的投影向量的模为
，
故B点到直线的距离为.故选：A
6. 过圆：内一点的2023条弦恰好可以构成一个公差为（）的等差数列，则公差的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因经过圆：内一点的最长的弦为圆的直径，长度为10，最短弦长为以点为中点且与垂直的弦，其长度为.(理由如下)
如图，过点且与垂直，过点另作弦,过点作于点，
在中，显然,
而,
因，则得，即为过点的最短弦长.
要使公差d最大，则这2023条弦构成的等差数列应以最短弦长为首项，以最长弦长为末项.
即，解得：，故公差的最大值为.
故选：B.
7. 已知椭圆C：，过右焦点F作直线与椭圆C交于两点，以为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
【答案】C
【解析】如图，依题知，设过点的直线方程为，代入椭圆方程，整理得：，
设线段的中点为，由韦达定理，
则，即，
，
则圆的半径为，
此时，圆心到直线的距离为：，
由可知直线与圆相离.
当直线斜率为0时，圆的圆心在原点，半径为，显然该圆与直线相离.
故选：C.
8. 如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则，
而分别是中点，则，又O为上底面中心，则，
因此四边形是平面截正四棱柱所得截面，
延长，由是的中点，得，连接，
则四边形是平面截正四棱柱所得截面，
显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则，
而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足，
选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足.
故选：A

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选得0分）
9. 若数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A. 数列为等差数列B. 数列为单调递增数列
C. 数列为单调递增数列D. 数列为等差数列
【答案】BC
【解析】当时，，
当时，，
当时，不满足上式，
所以，
所以数列不是等差数列，A错误；
因为，，且当时，为公差大于零的等差数列，
所以为单调递增数列，所以B正确；
由于，
而，数列为单调递增数列，所以C正确；
由，则且，
显然数列不可能是等差数列，D错误.
故选：BC
10. 已知点和：，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点.则以下命题正确的是（ ）
A.
B.
C. P、A、Q、B均圆上
D. A，B所在直线方程为
【答案】ACD
【解析】根据题意，圆心，半径为2，
过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，如图，
则，所以，，
所以A正确，B错误；
四边形为正方形，中心为
所以P、A、Q、B均在圆上，C正确；
所在直线方程为，D正确.
故选：ACD.
11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（ ）
A. 当时，点P到平面的距离为
B. 当时，点P到平面的距离为
C. 当时，存在点P，使得
D. 当时，存在点P，使得平面
【答案】BD
【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，
对于A，当时，，，，
点P到平面的距离，A错误；
对于B，当时，，，，
点P到平面的距离，B正确；
对于C，当时，，
则，，
当时，
显然，方程无实根，即与不垂直，C错误；
对于D，当时，，
则，，
显然，即，由，得，
即当时，，而平面，因此平面，D正确.故选：BD
12. 已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则的面积为
C. 若，则的内切圆半径为
D. 以为直径的圆与圆相切
【答案】ACD
【解析】A选项，设，，，，
则，，两式相减得，故，
，
所以，解得，
点P为双曲线右支上一动点，由双曲线定义得，A正确；
B选项，因为，，
若，由余弦定理得
，
故，解得，
故的面积为，B错误；
C选项，因为，，
若，由勾股定理得，
解得，
故的面积为，
设的内切圆半径为，
故，即，
解得，C正确；
D选项，设，，，其中，
设的中点为，
则，，
又，
故，故以为直径的圆与圆相切，D正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.39，乙获胜的概率为0. 51，则甲不输的概率为__________.
【答案】0.49
【解析】甲不输分为甲获胜和甲乙和棋，它是乙获胜事件的对立事件，
所以.故答案为：0.49
14. 已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则__________.
【答案】39
【解析】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，
即：，
则，解得：，故.
故答案：39.
15. 已知圆，直线若圆上有两个点到直线距离等于1，则实数b的取值范围是_______.
【答案】
【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为2，
因为直线若圆上有两个点到直线的距离等于1，
则圆心到直线距离为：，，
所以此时b的取值范围是
故答案为：
16. 在平面直角坐标系中,P为椭圆C:上的动点,Q为直线l：上的动点，且.则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设三点坐标分别为.
由可得.
所以，，
所以.
，
假设存在一点，则有.
因为，所以，因此点在直线上，
令为点到直线的距离，
设点坐标为.显然有，
又.
因此，
即的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 递增等比数列中，，.
（1）求；
（2）若，求数列的前n项的和.
解：（1）在递增等比数列中，，
解得，，
设公比为q，则，
又因为为递增数列，故，所以，，
所以.
（2）由题，则且，
所以数列是等比数列，
故.
18. 已知过、两点，且圆心M在直线上.
（1）求的标准方程；
（2）若直线l：与圆交于E，F两点，且（O为坐标原点），求直线l的方程.
解：（1）设的方程为.
因为.过、两点，且圆心M在直线上.
所以 解得：，，，
所以的标准方程为：.
（2）设，，
联立立得，
由题意得：，即，
由根与系数关系得：，，
所以
，
解得，
又因为满足，
故所求直线l的方程为.
19. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p（），乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）当时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率；
（2）若“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，求p的值.
解：（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.
根据独立性假定，得，.，.
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以,
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
（2）由（1）知甲两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，，
乙两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为，，，
因为甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，
所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为，
整理得，又因为，所以.
20. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）中，，，，
所以，所以.
又，，平面，平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）取的中点O，因为，所以，
且
因为，平面平面，平面平面，
所以平面.
在平面内作，以为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
设平面的法向量为，
由，，
得，令，得，，
所以平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
由，，
得，令，得，，
所以平面的一个法向量.
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21. 在如图三角形数阵中，第n行有n个数，表示第i行第j个数，例如，表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中），已知，，.

（1）求m及；
（2）记，求.
解：（1）由题意，可知，
，
，
∵，∴，
化简整理，得，解得（舍去），或，
∴，
∴.
（2）由（1），可得，
当时，，（*）
又∵，，
∴，均满足（*）式，∴，，
∴，
，
，
两式相减，可得
∴.
22. 动点G到点的距离比到直线的距离小2.
（1）求G的轨迹的方程；
（2）设动点G的轨迹为曲线C,过点F作斜率为,的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点,其中.设线段和的中点分别为A，B,过点F作，垂足为D，试问：是否存在定点T，使得线段的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由.
解：（1）因为动点G到点的距离比到直线的距离小2，
则点G到点的距离和它到直线的距离相等，
因此点G轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
设抛物线方程为（），由，得，
所以G的轨迹的方程为.
（2）显然直线的方程为，直线的方程为，其中，且，
由消去y并整理得，
该方程的判别式，设，，
则，，
点，同理，的斜率，
直线的方程为，即，，
所以，因此直线：过定点，
又，则点D在以为直径的圆上，
所以存在定点，使得线段的长度为定值2.