2023~2024学年河北省唐山市高二(上)期末数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年河北省唐山市高二(上)期末数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了非选择题必须用0，考生必须保持答题卡的整洁， 已知直线与，则， 数列满足等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.
1. 抛物线y2＝x的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由y2＝x知抛物线的焦点在轴上，且开口向右，,∴，
焦点坐标为，
故选:B．
2. 已知向量，则（ ）
A. 1B. C. D. 5
【答案】C
【解析】,
故选：C.
3. 记是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 27B. 36C. 45D. 78
【答案】D
【解析】因是等差数列的前n项和，则成等差数列，
于是，代入，，解得：，
又,代入上述值，解得：.
故选：D.
4. 已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，
所以两圆的公切线共有3条，
故选：C
5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
【答案】B
【解析】由于，均为等差数列，则为等差数列，
因此，，所以的公差为1，
故，
故选：B
6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】，设为线段中点，
，
设，则，
即．
则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；
故线段中点的轨迹所围成图形的面积为.
故选：D
7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正三棱柱中，向量不共面，，
，
令，则，而，，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为.
故选：B
8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，，
，，
因为，
即，
整理得，即，
即，
由题可知，则，即，
则，则，则，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.
9. 已知直线与，则（ ）
A. 若，则两直线垂直B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点D. 直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】当时，，
，则，所以两直线垂直，A正确；
若两直线平行，则，解得，
经检验，当时，两直线平行，B错误；
由，即，
所以直线恒过定点，C正确；
由，与两坐标轴的截距分别为，不相等，D错误.
故选：AC
10. 数列满足：，，则（ ）
A. B.
C. 为单调递减数列D. 为等差数列
【答案】ACD
【解析】由可得，
因此为等差数列，且公差为1，故D正确，
由于为等差数列，且公差为1，
所以，
故，
故为单调递减数列，C正确，
，故，A正确，
，，B错误，
故选：ACD
11. 已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（ ）
A. C的焦点到其渐近线的距离为
B. 直线与的斜率之积为2
C. 过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条
D. 点P到两条渐近线的距离之积为
【答案】AD
【解析】对A，由已知得渐近线方程为，焦点为，
则焦点到渐近线的距离，A正确；
对B，由双曲线和直线的对称性可设，，，
则，
所以，故B错误；
对C，过C的一个焦点的直线，当其斜率不存在时，所以此时弦长为2；
当斜率存在时，分别与双曲线上下支各有一个交点时，结合图形可知弦长可以无穷大；
综上，过C的一个焦点的直线与双曲长相交时得到的弦长范围为，
又由双曲线的对称性可知，过C的一个焦点作弦长为4的直线至少有两条，故C错误；
对D，点到两条渐近线的距离之积：
，D正确.
故选：AD.

12. 已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（ ）

A. 四面体的体积是定值
B. 直线与平面所成角的范围是
C. 若P，Q分别是棱，的中点，则
D. 若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为
【答案】ABC
【解析】对A，因为四面体的体积为，h为到底面的距离，且为定值2，
为定值，故四面体的体积是定值，A正确；
对B，连接，易得平面，
故平面，则到平面的距离即为到平面的距离；
又，平面，
则平面，则到平面的距离为，
易得，则直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的范围是，故B正确；

对C，若P，Q分别是棱，的中点，易得，故C正确；
对D，取中点M,中点N,连接，
易知
故四边形为平行四边形，
则，
易知，故，
故经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面为梯形，
如图：

又易得，，
作易得为矩形，
设，则，
由则，解得，
故，
故四边形的面积为，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知等比数列的公比为q，且，，，则______.
【答案】
【解析】因为等比数列的公比为q，且，，，
所以，即，即，
解得或（舍），
故答案为：.
14. 已知，，且，则______.
【答案】
【解析】因为，所以，解得.
故答案为：.
15. 已知直线l与圆相切，且切点的横、纵坐标均为整数，则直线l的方程为______.（写出一个满足条件的方程即可）
【答案】或或或（任写一个都对）
【解析】易知圆C的圆心为点，半径为；
圆C经过的整点有4个，即，，，.
①切点为时，圆心与切点连线的斜率为，
则切线斜率为1，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为；
②切点为时，圆心与切点连线的斜率为，
则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为；
③切点为时，圆心与切点连线的斜率为，
则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为；
④切点为时，圆心与切点连线的斜率为，
则切线斜率为，所以由直线的点斜式方程可得切线方程为；
故答案为：或或或（任写其一）
16. 已知点在抛物线上，则______；过点M作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（不同于点M），则直线经过的定点坐标为______.
【答案】2；
【解析】因为点在抛物线上，所以，解得；
抛物线，由题意知，直线斜率不存在时，不符合题意，
设直线的方程为：，，
联立，得，
所以，
因，所以，
，，
所以，即，
所以，即，
验证 ，
所以，直线经过的定点坐标为，
故答案为：2；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线与圆相交于A，B两点.
（1）若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离；
（2）求弦的长度.
解：（1）圆，圆心，半径，
圆心到直线的距离，所以点P到直线l的最大距离为.
（2），即，解得.
18. 数列是首项为1，公比为正数的等比数列，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
解：（1）因为，，
所以，
或，又因为，所以，
所以.
（2），
则
.
19. 如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）如图，取的中点F，连结，.
因为E为的中点，
所以，.
因为，，所以，.
即四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）如图，取的中点O，的中点G，连结，，则，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，故.
分别以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，则，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
则令，则
设直线与平面所成角为，则
.
即直线与平面所成角的正弦值为.
20. 数列满足，，.
（1）求，；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）若，求数列的前n项和.
解：（1）令，得；
令，得.
（2），
所以是以为首项，2为公差等差数列.
（3）由（2）得，
所以
，
所以，
所以.
21. 如图，三棱柱的侧面和均为正方形，，交于点O，D为中点，.
（1）证明：；
（2）设，当为何值时，平面与平面夹角的余弦值等于？
解：（1）因为，，，平面，
所以平面，
又因平面，
所以.
（2）如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
由，得，
得，
设平面的法向量为.
由得
取，
取平面的一个法向量为.
设面与面夹角为，则
，
即，解得.
.
22. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，长轴长为4，过点的直线l交于M，N两点（M在x轴上方）.
（1）求的方程；
（2）记的面积为，的面积为，求的取值范围.
解：（1）已知长轴长为4，则，解得， 因为的离心率为，
所以，解得，所以，
所以的方程为.
（2），，，

①当l斜率不存在时，，，，
②当l斜率存在时，显然斜率不为零，
设，，，
联立，得，，
所以，，，
因为，
所以，又，
设，则，，解得且，
所以，
综上所述：的取值范围为.